अनेक न्यूनीकरण

कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल संगणना सिद्धांत में, अनेक न्यूनीकरण (जिसे मैपिंग न्यूनीकरण भी कहा जाता है) एक न्यूनीकरण है जो एक निर्णय समस्या के उदाहरणों को परिवर्तित करती है (एक उदाहरण $L_{1}$ में हो) एक अन्य निर्णय समस्या (चाहे एक उदाहरण $L_{2}$) में एक प्रभावी फलन का उपयोग कर रहा है। घटाया गया उदाहरण भाषा $L_{2}$ में है यदि और केवल यदि प्रारंभिक उदाहरण इसकी भाषा $L_{1}$ में है। इस प्रकार यदि हम यह तय कर सकते हैं कि $L_{2}$ उदाहरण $L_{2}$ भाषा में हैं या नहीं, तो हम न्यूनीकरण और समाधान प्रयुक्त करके यह तय कर सकते हैं कि $L_{1}$ उदाहरण इसकी भाषा में हैं या नहीं है $L_{2}$. इस प्रकार, न्यूनीकरण का उपयोग दो समस्याओं की सापेक्ष कम्प्यूटेशनल कठिनाई को मापने के लिए किया जा सकता है। ऐसा कहा जाता है कि $L_{1}$ कम होकर $L_{2}$ हो जाता है, यदि समान व्यक्ति के शब्दों में $L_{2}$ को हल करना $L_{1}$ की तुलना में कठिन है। कहने का तात्पर्य यह है कि, $L_{2}$ को हल करने वाले किसी भी एल्गोरिदम का उपयोग (अन्यथा अपेक्षाकृत सरल) प्रोग्राम के भाग के रूप में भी किया जा सकता है जो $L_{1}$ को हल करता है

अनेक न्यूनीकरण एक विशेष स्थिति है और ट्यूरिंग न्यूनीकरण का सशक्त रूप है। अनेक न्यूनीकरण के साथ, दैवज्ञ (अर्थात, b के लिए हमारा समाधान) को अंत में केवल एक बार प्रयुक्त किया जा सकता है, और उत्तर को संशोधित नहीं किया जा सकता है। इसका कारण यह है कि यदि हम यह दिखाना चाहते हैं कि समस्या A को समस्या B में घटाया जा सकता है, तो हम B के लिए अपने समाधान का उपयोग A के समाधान में केवल एक बार कर सकते हैं, ट्यूरिंग न्यूनीकरण के विपरीत होते है, जहां हम B के लिए अपने समाधान का उपयोग जितनी बार कर सकते हैं a को हल करते समय आवश्यक है।

इसका कारण यह है कि अनेक न्यूनीकरण एक समस्या के उदाहरणों को दूसरी समस्या के उदाहरणों में मैप करती है, जबकि ट्यूरिंग न्यूनीकरण एक समस्या के समाधान की गणना करती है, यह मानते हुए कि दूसरी समस्या को हल करना सरल है। समस्याओं को अलग-अलग सम्मिश्रता वर्गों में अलग करने में अनेक न्यूनीकरण अधिक प्रभावी है। चूँकि, अनेक कटौतियों पर बढ़े हुए प्रतिबंधों से उन्हें खोजना अधिक कठिन हो गया है।

अनेक न्यूनीकरण का उपयोग पहली बार एमिल पोस्ट द्वारा 1944 में प्रकाशित एक पेपर में किया गया था। इसके पश्चात् नॉर्मन शापिरो ने 1956 में स्ट्रांग रिड्यूसिबिलिटी नाम से इसी अवधारणा का उपयोग किया था।

परिभाषाएँ

औपचारिक भाषाएँ

मान लीजिए कि $A$ और $B$ क्रमशः $\Sigma$ और $\Gamma$ वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) पर औपचारिक भाषाएँ हैं। $A$ को $B$ तक अनेक-एक न्यूनीकरण एक कुल गणना योग्य फलन है जिसमें यह गुण है कि प्रत्येक शब्द $w$ $A$ में है यदि और केवल यदि $f(w)$ $B$ में है

यदि ऐसा कोई फलन $f$ अस्तित्व में है, हम $A$ ऐसा कहते हैं $B$ अनेक कम करने योग्य या एम-कम करने योग्य है

$A\leq _{\mathrm {m} }B.$

प्राकृत संख्याओं का उपसमुच्चय

दो समुच्चय दिए गए $A,B\subseteq \mathbb {N}$ हम कहते हैं $A$ और $B$ कम करने योग्य है

$A\leq _{\mathrm {m} }B$

यदि कुल गणना योग्य फलन $f$ उपस्थित है इस प्रकार साथ $x\in A$ आईएफएफ $f(x)\in B$. है यदि इसके अतिरिक्त $f$ विशेषण है, हम कहते हैं $A$ के लिए पुनरावर्ती $B$ रूप से समरूपी है

$A\equiv B$

अनेक तुल्यता

यदि $A\leq _{\mathrm {m} }B\,\mathrm {and} \,B\leq _{\mathrm {m} }A$ हम कहते हैं इस प्रकार $A$ अनेक समतुल्य या m-समतुल्य $B$ है

$A\equiv _{\mathrm {m} }B.$

अनेक पूर्णता (एम-पूर्णता)

एक समुच्चय $B$ यदि इसे अनेक पूर्ण या केवल 'एम-पूर्ण' कहा जाता है इस प्रकार $$