अनंत का अभिगृहीत
अभिगृहीतीय समुच्चय सिद्धांत और इसका उपयोग करने वाली गणित एवं दर्शनशास्त्र की शाखाओं में अनंत का अभिगृहीत, जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के अभिगृहीतों में से एक है। यह कम से कम एक अपरिमित समुच्चय (अर्थात् प्राकृतिक संख्याओं एक समुच्चय) के अस्तित्व का आश्वासन देता है। यह सर्वप्रथम वर्ष 1908 में अर्नस्ट ज़र्मेलो द्वारा उनके समुच्चय सिद्धांत के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था।[1]
औपचारिक वक्तव्य
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीतों की औपचारिक भाषा में, अभिगृहीत इस प्रकार पढ़ा जाता है:
शब्दों में, एक ऐसे समुच्चय I (जिसे अपरिमित माना जाता है) का अस्तित्व इस प्रकार है, कि रिक्त समुच्चय, I में है, और जब भी कोई x, I का सदस्य होता है, तो x और इसके एकल समुच्चय {x} के संघ से बना समुच्चय भी I का एक सदस्य होता है। इस प्रकार के समुच्चय को कभी-कभी आगमनात्मक समुच्चय कहा जाता है।
व्याख्या और परिणाम
यह अभिगृहीत समुच्चय सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के वॉन न्यूमैन निर्माण से निकटता से संबंधित है, जिसमें x के परवर्ती को x ∪ {x} के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि x एक समुच्चय है, तो यह समुच्चय सिद्धांत के अन्य अभिगृहीतों से अनुसरण करता है कि यह परवर्ती भी एक अद्वितीय रूप से परिभाषित समुच्चय होता है। परवर्तियों का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य समुच्चय-सैद्धांतिक कूट-लेखन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस कूट-लेखन में शून्य रिक्त समुच्चय होता है:
- 0 = {}
नंबर 1, 0 का परवर्ती है:
- 1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.
इसी प्रकार, 2, 1 का परवर्ती है:
- 2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = { {}, {{}} },
और इसी प्रकार आगे भी:
- 3 = {0,1,2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };
- 4 = {0,1,2,3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } } .
इस परिभाषा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या, सभी पूर्ववर्ती प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बराबर होती है। प्रत्येक समुच्चय में शीर्ष स्तर पर तत्वों की गणना, निरूपित की गई प्राकृतिक संख्या के समान होती है, और सबसे गहन नेस्टेड (नीड़ित) रिक्त समुच्चय {} की नेस्टिंग (नीडन) गहराई भी समुच्चय द्वारा निरूपित की जाने वाली प्राकृतिक संख्या के बराबर होती है, इसमें उस समुच्चय में इसकी नेस्टिंग भी सम्मिलित है, जो उस संख्या का निरूपण करता है जिसका वह एक हिस्सा है।
यह निर्माण प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण करता है। हालाँकि, अन्य अभिगृहीत सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय, के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए अपर्याप्त हैं। इसलिए, इसके अस्तित्व को एक अभिगृहीत, अनंत का अभिगृहीत, के रूप में लिया जाता है। यह अभिगृहीत दावा करता है कि एक ऐसे समुच्चय I का अस्तित्व है जिसमें 0 को समाहित करता है और परवर्ती लेने की संक्रिया के तहत बंद है; अर्थात्, I के प्रत्येक तत्व के लिए, उस तत्व का परवर्ती भी I में होता है।
इस प्रकार अभिगृहीत का सार है:
- I, एक ऐसा समुच्चय है, जिसमें सभी प्राकृत संख्याएँ सम्मिलित हैं।
अनंत का अभिगृहीत भी वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल अभिगृहीतों में से एक है।
अनंत समुच्चय से प्राकृतिक संख्या निकालना
अपरिमित समुच्चय I प्राकृतिक संख्याओं का अधिसमुच्चय है। प्राकृतिक संख्याएँ स्वयं एक समुच्चय का गठन करती हैं, यह दर्शाने के लिए सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N को छोड़कर, अवांछित तत्वों को हटाने के लिए विशिष्टता की अभिगृहीत रूपरेखा को लागू किया जा सकता है। विस्तार के अभिगृहीत द्वारा यह समुच्चय अद्वितीय है।
प्राकृतिक संख्याएँ निकालने के लिए, हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन से समुच्चय प्राकृतिक संख्याएँ हैं। प्राकृतिक संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है जो विस्तार के अभिगृहीत और आगमन के अभिगृहीत को छोड़कर किसी भी अभिगृहीत को नहीं मानता है, एक प्राकृतिक संख्या या तो शून्य या एक परवर्ती है और इसका प्रत्येक तत्व या तो शून्य है या इसके किसी अन्य तत्व का परवर्ती है। औपचारिक भाषा में, परिभाषा का कथन है:
या, और भी औपचारिक रूप से:
वैकल्पिक विधि
एक वैकल्पिक विधि निम्नलिखित है। माना वह सूत्र है, जो यह कहता है कि "x आगमनात्मक" है; अर्थात्,
अनौपचारिक रूप से, हम सभी आगमनात्मक समुच्चयों के प्रतिच्छेदन को लेते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, हम एक ऐसे अद्वितीय समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध करना चाहते हैं कि
- (*)
अस्तित्व के लिए, हम विशिष्टता के अभिगृहीत रूपरेखा के साथ संयुक्त अनंत के अभिगृहीत का उपयोग करते हैं। माना अनंत के अभिगृहीत द्वारा आश्वस्त आगमनात्मक समुच्चय है। फिर हम अपने समुच्चय