अंतिम टोपोलॉजी

गणित के सामान्य टोपोलॉजी और संबंधित क्षेत्रों में, अंतिम टोपोलॉजी (अंतिम सांस्थिति) (या सहप्रेरित, शक्तिशाली, कोलिमिट, या इंडक्टिव टोपोलॉजी) एक सम्मुच्चय $X$ पर, सांस्थितिक समष्टि से $X$ में कार्यों के वर्ग के संबंध में $X$ पर बेहतरीन टोपोलॉजी है जो उन सभी कार्यों को निरंतर बनाता है।

अनुपात स्थल (टोपोलॉजी) एक अंतिम टोपोलॉजी है, जो कि एकल विशेषण फलन के संबंध में है, अर्थात् भागफल मानचित्र। समावेशन मानचित्रों के संबंध में विसंधित संघ (टोपोलॉजी) अंतिम टोपोलॉजी है। अंतिम टोपोलॉजी भी टोपोलॉजी है जो सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी में प्रत्येक सीधी सीमा से संपन्न है, और यह प्रत्यक्ष सीमा के संदर्भ में है कि अंतिम टोपोलॉजी प्रायः प्रकट होती है। एक टोपोलॉजी उपसमष्‍टि टोपोलॉजी के कुछ संग्रह के साथ सुसंगत टोपोलॉजी है यदि और केवल यदि यह प्राकृतिक समावेशन से प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी है।

दोहरी धारणा प्रारंभिक टोपोलॉजी है, जो एक सम्मुच्चय से कार्यों के दिए गए वर्ग सांस्थितिक समष्टि के लिए $X$ है सांस्थितिक समष्टि में सबसे मोटे टोपोलॉजी $X$ है जो उन कार्यों को निरंतर करता है।

परिभाषा

संबंधित कार्यों के साथ सांस्थितिक स्थल $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ के सम्मुच्चय $X$ और $I$-तालिका वर्ग को देखते हुए

$$f_{i}:Y_{i}\to X,$$

$X$ अंतिम सांस्थिति  कार्यों के वर्ग द्वारा प्रेरित ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}$ $X$ पर बेहतरीन टोपोलॉजी $\tau _{\mathcal {F}}$ है पर ऐसा है कि

$$f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$$

प्रत्येक $i\in I$ के लिए निरंतर (टोपोलॉजी) है।

स्पष्ट रूप से, अंतिम टोपोलॉजी को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

उपसमुच्चय $U$ का $X$ अंतिम टोपोलॉजी $\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ (वह है, $U\in \tau _{\mathcal {F}}$) में खुला है यदि और केवल यदि $f_{i}^{-1}(U)$ में $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ खुला $i\in I$ है .

बंद उपसमुच्चय में एक समान विशेषता है:

उपसमुच्चय $C$ का $X$ अंतिम टोपोलॉजी में बंद $\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ है यदि और केवल यदि $f_{i}^{-1}(C)$ में बंद $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ है।

$X$ पर अंतिम टोपोलॉजी को प्रेरित करने वाले कार्यों का वर्ग ${\mathcal {F}}$ सामान्यतः कार्यों का एक सम्मुच्चय है। लेकिन वही निर्माण किया जा सकता है यदि ${\mathcal {F}}$ कार्यों का एक उचित वर्ग है, और परिणाम अभी भी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सम्मुच्चय सिद्धांत में अच्छी तरह से परिभाषित है। उस मामले में हमेशा ${\mathcal {F}}$ का एक उपवर्ग ${\mathcal {G}}$ होता है, जिसमें ${\mathcal {G}}$ एक सम्मुच्चय होता है, जैसे कि $X$ पर अंतिम टोपोलॉजी ${\mathcal {F}}$ द्वारा प्रेरित होती है। और ${\mathcal {G}}$ से संपाती हैं। इस पर अधिक जानकारी के लिए, उदाहरण के लिए यहां चर्चा देखें। एक उदाहरण के रूप में, सघन रूप से उत्पन्न स्थान की धारणा के एक सामान्य रूप से प्रयुक्त संस्करण को कार्यों के एक उचित वर्ग के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है।

उदाहरण

महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि जहां मानचित्र का वर्ग ${\mathcal {F}}$ एक विशेषण मानचित्र से मिलकर भागफल मानचित्र की धारणा का उपयोग करके पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है। एक विशेषण फलन $f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)$ सांस्थितिक समष्टि के बीच एक भागफल मानचित्र है यदि और केवल यदि टोपोलॉजी $\tau$ पर $X$ अंतिम टोपोलॉजी ${\mathcal {F}}=\{f\}$ वर्ग द्वारा प्रेरित $\tau _{\mathcal {F}}$ के साथ मेल खाता है। विशेष रूप से: भागफल स्थान (टोपोलॉजी) द्वारा प्रेरित भागफल स्थान पर भागफल टोपोलॉजी अंतिम टोपोलॉजी है।

$X$-मूल्यवान मानचित्र के एक वर्ग द्वारा प्रेरित एक सम्मुच्चय $X$ पर अंतिम टोपोलॉजी को भागफल टोपोलॉजी के दूरगामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जहां केवल एक के स्थान पर कई मानचित्रों का उपयोग किया जा सकता है और जहां इन मानचित्रों को अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है।

सांस्थितिक रिक्त स्थान $X_{i}$ दिया गया, विसंधित संघ पर विसंधित संघ (टोपोलॉजी) $\coprod _{i}X_{i}$ प्राकृतिक अंतःक्षेपण द्वारा प्रेरित विसंधित संघ पर अंतिम टोपोलॉजी है।

टोपोलॉजी के सम्मुच्चय के एक वर्ग $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}$ को देखते हुए एक निश्चित सम्मुच्चय $X$ पर अंतिम टोपोलॉजी पहचान $X$ मानचित्र के संबंध में $\operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}\right)\to X$ जैसा $i$ $I,$ से अधिक है इसे $\tau ,$कहते हैं और इन टोपोलॉजी में से कम (या मिलना) ${(}_{}$