अंकित कोण

File:Inscribed angles2.svg

उत्कीर्ण कोण θ केंद्रीय कोण 2θ का आधा है जो वृत्त पर समान चाप अंतरित करता है। कोण θ नहीं बदलता है क्योंकि इसका शीर्ष वृत्त के चारों ओर घूमता है।

ज्यामिति में, उत्कीर्ण कोण वृत्त के आंतरिक भाग में बनने वाला कोण होता है जब दो जीवा (ज्यामिति) वृत्त पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसे वृत्त पर दिए गए दो बिंदुओं द्वारा वृत्त के बिंदु पर बनाए गए कोण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

सामान्यतः, उत्कीर्ण कोण को समापन बिंदु साझा करने वाले वृत्त की दो जीवाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है।

उत्कीर्ण कोण प्रमेय उत्कीर्ण कोण के कोण मापने वाले कोण को उसी वृत्ताकार चाप को अंतरित करने वाले केंद्रीय कोण से संबंधित करता है।

उत्कीर्ण कोण प्रमेय यूक्लिड के अवयव या यूक्लिड के अवयव की पुस्तक 3 पर प्रस्ताव 20 के रूप में दिखाई देता है।

प्रमेय

कथन

File:ArcCapable.gif

निश्चित बिंदु ए और बी के लिए, विमान में बिंदु एम का सेट जिसके लिए कोण एएमबी α के समान है, वृत्त का चाप है। ∠ AOB का माप, जहां O वृत्त का केंद्र है, 2α है।

उत्कीर्ण कोण प्रमेय बताता है कि वृत्त में उत्कीर्ण कोण θ केंद्रीय कोण 2θ का आधा होता है जो वृत्त पर समान चाप (ज्यामिति) को अंतरित करता है। इसलिए, कोण नहीं बदलता है क्योंकि इसके शीर्ष (ज्यामिति) को वृत्त पर विभिन्न स्थितियों में ले जाया जाता है।

प्रमाण

उत्कीर्ण कोण जहां एक जीवा एक व्यास है

File:InscribedAngle 1ChordDiam.svg

केस: राग व्यास है

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, जैसा कि दाईं ओर दिए गए चित्र में है। वृत्त पर दो बिंदु चुनें, और उन्हें V और A नाम दें। रेखा VO खींचें और O से आगे बढ़ाएं जिससे यह वृत्त को बिंदु B पर प्रतिच्छेद करे जो बिंदु V के व्यास के विपरीत है। कोण बनाएं जिसका शीर्ष (ज्यामिति) बिंदु V है और जिनकी भुजाएँ बिंदु A और B से होकर निकलती हैं।

रेखा OA खींचिए. कोण बीओए केंद्रीय कोण है; इसे कॉल करें θ. रेखाएँ OV और OA दोनों वृत्त की त्रिज्या हैं, इसलिए उनकी लंबाई समान है। इसलिए, त्रिभुज VOA समद्विबाहु है, इसलिए कोण BVA (उत्कीर्ण कोण) और कोण VAO समान हैं; मान लीजिए कि उनमें से प्रत्येक को ψ के रूप में दर्शाया गया है।

कोण BOA और AOV का योग 180° होता है, क्योंकि O से निकलने वाली रेखा VB सीधी रेखा है। इसलिए, कोण AOV का माप 180° - θ है।

यह ज्ञात है कि त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180° होता है, और त्रिभुज VOA के तीन कोण हैं:

180° − θ

ψ

ψ.

इसलिए,

$2\psi +180^{\circ }-\theta =180^{\circ }.$

घटाना

$(180^{\circ }-\theta )$

दोनों तरफ से,

$2\psi =\theta ,$

जहां θ चाप AB को अंतरित करने वाला केंद्रीय कोण है और ψ चाप AB को अंतरित करने वाला उत्कीर्ण कोण है।

उनके आंतरिक भाग में वृत्त के केंद्र के साथ उत्कीर्ण कोण

File:InscribedAngle CenterCircle.svg

केस: केंद्र से आंतरिक कोण तक

एक वृत्त दिया गया है जिसका केंद्र बिंदु O है, वृत्त पर तीन बिंदु V, C और D चुनें। रेखाएँ VC और VD खींचिए: कोण DVC उत्कीर्ण कोण है। अब रेखा VO खींचें और इसे बिंदु O से आगे बढ़ाएं जिससे यह वृत्त को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करे। कोण DVC वृत्त पर चाप DC को अंतरित करता है।

मान लीजिए कि इस चाप में बिंदु E सम्मिलित है। बिंदु E, बिंदु V के पुर्णतः विपरीत है। कोण DVE और EVC भी उत्कीर्ण कोण हैं, किन्तु इन दोनों कोणों की भुजा है जो वृत्त के केंद्र से होकर निकलती है, इसलिए उपरोक्त भाग 1 का प्रमेय उन पर प्रयुक्त किया जा सकता है।

इसलिए,

$\angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.$

तो करने दें

$\psi _{0}=\angle DVC,$

$\psi _{1}=\angle DVE,$

$\psi _{2}=\angle EVC,$

जिससे

$\psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)$

रेखाएँ OC और OD खींचिए। कोण DOC केंद्रीय कोण है, किन्तु कोण DOE और EOC भी हैं, और

$\angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.$

मान लीजिए

$\theta _{0}=\angle DOC,$

$\theta _{1}=\angle DOE,$

$\theta _{2}=\angle EOC,$

जिससे

$\theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)$

भाग एक से हम जानते हैं कि $\theta _{1}=2\psi _{1}$ और वह $\theta _{2}=2\psi _{2}$ इन परिणामों को समीकरण (2) के साथ संयोजित करने पर परिणाम प्राप्त होते हैं

$\theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2(\psi _{1}+\psi _{2})$

इसलिए, समीकरण (1) द्वारा,

$\theta _{0}=2\psi _{0}.$

उनके बाहरी भाग में वृत्त के केंद्र के साथ उत्कीर्ण कोण

File:InscribedAngle CenterCircleExtV2.svg

केस: कोण के बाहर मध्य भाग

पिछले स्थिति को उस स्थिति को कवर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है जहां उत्कीर्ण कोण का माप दो उत्कीर्ण कोणों के बीच का अंतर है जैसा कि इस प्रमाण के पहले भाग में चर्चा की गई है।

एक वृत्त दिया गया है जिसका केंद्र बिंदु O है, वृत्त पर तीन बिंदु V, C और D चुनें। रेखाएँ VC और VD खींचिए: कोण DVC उत्कीर्ण कोण है। अब रेखा VO खींचें और इसे बिंदु O से आगे बढ़ाएं जिससे यह वृत्त को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करे। कोण DVC वृत्त पर चाप DC को अंतरित करता है।

मान लीजिए कि इस चाप में बिंदु E सम्मिलित नहीं है। बिंदु E, बिंदु V के पुर्णतः विपरीत है। कोण EVD और EVC भी उत्कीर्ण कोण हैं, किन्तु इन दोनों कोणों की भुजा है जो वृत्त के केंद्र से होकर निकलती है, इसलिए उपरोक्त भाग 1 का प्रमेय उन पर प्रयुक्त किया जा सकता है।

इसलिए,

$\angle DVC=\angle EVC-\angle EVD$.

तो करने दें

$\psi _{0}=\angle DVC,$

$\psi _{1}=\angle EVD,$

$$