स्थानीय रूप से सीमित संग्रह

सांस्थितिक समष्टि के उपवर्ग का संग्रह $X$ इसे स्थानीय रूप से परिमित कहा जाता है यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु में एक प्रतिवैस (गणित) होता है जो संग्रह में केवल कई सम्मुच्चय को प्रतिच्छेद करता है।

सांस्थिति के गणित क्षेत्र में, स्थानीय परिमितता एक सांस्थितिक समष्टि के उपवर्ग के सम्मुच्चय के वर्ग की एक संपत्ति है। यह पैराकॉम्पैक्टनेस और सांस्थितिक आयाम के अध्ययन में मौलिक है।

ध्यान दें कि स्थानीय रूप से परिमित (बहुविकल्पी) शब्द के अन्य गणितीय क्षेत्रों में अलग-अलग अर्थ हैं।

उदाहरण और गुण

सांस्थितिक समष्टि के उपवर्ग का एक सीमित सम्मुच्चय संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है। अनंत संग्रह भी स्थानीय रूप से परिमित हो सकते हैं: उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक $n$ के लिए प्ररूप $(n,n+2)$ के सभी उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ का संग्रह है। उपसमुच्चय के गणनीय संग्रह को स्थानीय रूप से परिमित होने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि एक प्राकृतिक संख्या n के लिए $\mathbb {R}$ फॉर्म $(-n,n)$ के सभी उपसमुच्चय के संग्रह द्वारा दिखाया गया है।

यदि सम्मुच्चय का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है, तो सभी संवरण का संग्रह भी स्थानीय रूप से सीमित है। इसका कारण यह है कि यदि एक विवृत सम्मुच्चय जिसमें एक बिंदु होता है, एक सम्मुच्चय के संवरक को काटता है, तो यह आवश्यक रूप से सम्मुच्चय को ही काटता है, इसलिए एक प्रतिवैस अधिकतम समान संख्या में संवरक को काट सकता है (यह कम प्रतिच्छेद कर सकता है, क्योंकि दो अलग-अलग, वास्तव में) असंयुक्त, समुच्चयों का समापन समान हो सकता है)। हालाँकि, यदि सम्मुच्चय के संवरक अलग-अलग नहीं हैं, तो पारस्परिक क्रिया विफल हो सकती है। उदाहरण के लिए, परिमित पूरक सांस्थिति में $\mathbb {R}$ सभी विवृत सम्मुच्चय का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित नहीं है, लेकिन इन सम्मुच्चय के सभी संवरक का संग्रह स्थानीय रूप से सीमित है (क्योंकि केवल संवरक $\mathbb {R}$ और रिक्त सम्मुच्चय हैं)।

संक्षिप्त स्थान

किसी सघन स्थान के उपसमुच्चय का प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह परिमित होना चाहिए। वास्तव में, मान लीजिये $G=\{G_{a}|a\in A\}$ एक सघन स्थान $X$ के उपवर्ग के सम्मुच्चय का स्थानीय रूप से परिमित वर्ग बनें। प्रत्येक बिंदु $x\in X$ के लिए, एक विवृत प्रतिवैस $U_{x}$ चुनें जो उपसमुच्चय की एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है। स्पष्ट रूप से सम्मुच्चय का वर्ग: $\{U_{x}|x\in X\}$ का एक विवृत आवरण $X$ है, और इसलिए इसका एक सीमित उपकवर $\{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}$ है। प्रत्येक $U_{k_{i}}$ के बाद से उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है, ऐसे सभी $U_{k_{i}}$ का मिलन उपसमुच्चय की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेद करता है। चूँकि यह मिलन ही सम्पूर्ण स्थान $X$ है, यह इस प्रकार है कि Failed to parse (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle } संग्रह में उपसमुच्चयों की केवल एक सीमित संख्या $G$ को प्रतिच्छेदित करता है, और चूँकि G, X के उपसमुच्चय से बना है, G के प्रत्येक सदस्य को X को प्रतिच्छेद करना चाहिए, इस प्रकार G परिमित है।

एक सांस्थितिक समष्टि जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण स्थानीय रूप से परिमित विवृत शोधन (सांस्थिति) को स्वीकार करता है, अनुसंहतसमष्‍टि कहलाता है। सांस्थितिक समष्टि के उपसमुच्चय का प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह भी बिंदु-परिमित संग्रह है। एक सांस्थितिक समष्टि जिसमें प्रत्येक विवृत आवरण एक बिंदु-परिमित विवृत शोधन को स्वीकार करता है, अधिसंहत समष्टि कहलाता है।

द्वितीय गणनीय रिक्त स्थान

लिंडेलॉफ समष्टि का कोई भी असंख्य आवरण (सांस्थिति) स्थानीय रूप से सीमित नहीं हो सकता है, अनिवार्य रूप से संहतसमष्‍टि की स्तिथि में उसी तर्क के आधार पर। विशेष रूप से, दूसरे-गणनीय स्थान का कोई भी बेशुमार आवरण स्थानीय रूप से सीमित नहीं है।

संवृत सम्मुच्चय

संवृत समुच्चय का एक परिमित संघ सदैव संवृत रहता है। कोई भी संवृत सम्मुच्चय के अनंत संयोजन का उदाहरण आसानी से दे सकता है जो संवृत नहीं है। हालाँकि, यदि हम संवृत सम्मुच्चय के स्थानीय रूप से सीमित संग्रह पर विचार करते हैं, तो संघ संवृत है। इसे देखने के लिए हम ध्यान देते हैं कि यदि $x$ संवृत सम्मुच्चय के इस स्थानीय रूप से सीमित संग्रह के मिलन के बाहर एक बिंदु है, हम केवल $x$ का एक प्रतिवैस $V$ चुनते हैं जो इस संग्रह को इनमें से केवल कुछ सम्मुच्चयों पर ही प्रतिच्छेद करता है। सम्मुच्चयों के संग्रह से एक विशेषण मानचित्र को परिभाषित करें जिसे $V$ को ${1,\dots ,k}$ प्रतिच्छेदित करता है और इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक देता है। इस प्रकार इनमें से प्रत्येक सम्मुच्चय को एक सूचकांक दिया जाता है। फिर प्रत्येक सम्मुच्चय के लिए, एक खुला सम्मुच्चय $U_{i}$ चुनें जिसमें $x$ हो जो इसे प्रतिच्छेद न करता हो। $V$ के साथ प्रतिच्छेदित $1\leq i\leq k$ के लिए ऐसे सभी $U_{i}$ का प्रतिच्छेदन, $x$ का एक प्रतिवैस है जो बंद सम्मुच्चयों के इस संग्रह के मिलन को प्रतिच्छेद नहीं करता है।

गणनीय रूप से स्थानीय रूप से सीमित संग्रह$X$

किसी स्थान X में एक संग्रह स्थानीय रूप से परिमित (या σ-स्थानीय रूप से परिमित) है यदि यह उपसमुच्चय के स्थानीय रूप से सीमित संग्रहों के गणनीय वर्ग $X$ का संघ है। गणनीय रूप से स्थानीय परिमितता नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिज़ेशन प्रमेय में एक प्रमुख परिकल्पना है, जो बताती है कि एक सांस्थितिक समष्टि मेट्रिज़ेबल है यदि और केवल अगर यह नियमित स्थान है और इसका गणनीय स्थानीय रूप से परिमित आधार (सांस्थिति) है।

यह भी देखें

• बिंदु-परिमित संग्रह

संदर्भ

• James R. Munkres (2000), Topology (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2