सुपरमल्टीप्लेट

सैद्धांतिक भौतिकी में, एक सुपरमल्टीप्लेट एक सुपरसिमेट्री बीजगणित का एक समूह प्रतिनिधित्व है, संभवतः विस्तारित सुपरसिमेट्री के साथ।

फिर एक सुपरफ़ील्ड सुपरस्पेस पर एक फ़ील्ड है जिसे इस तरह के प्रतिनिधित्व में महत्व दिया जाता है। भोलेपन से, या फ्लैट सुपरस्पेस पर विचार करते समय, एक सुपरफ़ील्ड को केवल सुपरस्पेस पर एक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है। औपचारिक रूप से, यह संबंधित वेक्टर बंडल का एक खंड (फाइबर बंडल) है।

घटनात्मक रूप से, कणों का वर्णन करने के लिए सुपरफ़ील्ड का उपयोग किया जाता है। यह सुपरसिमेट्रिक क्षेत्र सिद्धांतों की एक विशेषता है कि कण जोड़े बनाते हैं, जिन्हें सुपरपार्टनर कहा जाता है, जहां बोसॉन को फरमिओन्स के साथ जोड़ा जाता है।

इन सुपरसिमेट्रिक फ़ील्ड्स का उपयोग सुपरसिमेट्रिक क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांतों के निर्माण के लिए किया जाता है, जहां फ़ील्ड्स को हर्मिटियन ऑपरेटरों के लिए बढ़ावा दिया जाता है।

इतिहास

सुपरफील्ड्स की शुरुआत 1974 के एक लेख में नमस्ते अब्दुस और जे. ए. स्ट्रैथडी द्वारा की गई थी। कुछ महीनों बाद सर्जियो फेरारा, जूलियस वेस और ब्रूनो ज़ुमिनो द्वारा सुपरफ़ील्ड पर संचालन और आंशिक वर्गीकरण प्रस्तुत किया गया। रेफरी नाम = fwz >Ferrara, Sergio; Wess, Julius; Zumino, Bruno (1974). "सुपरगेज मल्टीप्लेट्स और सुपरफील्ड्स". Phys. Lett. B. 51 (3): 239–241. Bibcode:1974PhLB...51..239F. doi:10.1016/0370-2693(74)90283-4. Retrieved 3 April 2023.</ref>

नामकरण और वर्गीकरण

सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सुपरमल्टीप्लेट्स वेक्टर मल्टीप्लेट्स, चिरल मल्टीप्लेट्स (इंच) हैं $d=4,{\mathcal {N}}=1$ उदाहरण के लिए सुपरसिमेट्री), हाइपरमल्टीप्लेट्स (में $d=4,{\mathcal {N}}=2$ उदाहरण के लिए सुपरसिमेट्री), टेंसर मल्टीप्लेट्स और ग्रेविटी मल्टीप्लेट्स। वेक्टर मल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक गेज बोसॉन है, चिरल या हाइपरमल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक स्पिनर है, गुरुत्वाकर्षण मल्टीप्लेट का उच्चतम घटक एक ग्रेविटॉन है। नामों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि वे आयामी कमी के तहत अपरिवर्तनीय रहें, हालांकि लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व के रूप में क्षेत्रों का संगठन बदल जाता है।

अलग-अलग मल्टीप्लेट्स के लिए इन नामों का उपयोग साहित्य में भिन्न-भिन्न हो सकता है। एक चिरल मल्टीप्लेट (जिसका उच्चतम घटक एक स्पिनर है) को कभी-कभी स्केलर मल्टीप्लेट के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, और $d=4,{\mathcal {N}}=2$ SUSY, एक वेक्टर मल्टीप्लेट (जिसका उच्चतम घटक एक वेक्टर है) को कभी-कभी चिरल मल्टीप्लेट के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

डी में सुपरफ़ील्ड = 4, एन = 1 सुपरसिमेट्री

इस खंड में कन्वेंशन नोट्स का पालन करते हैं Figueroa-O'Farrill (2001).

एक सामान्य जटिल सुपरफ़ील्ड $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ में $d=4,{\mathcal {N}}=1$ सुपरसिमेट्री का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है

$\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+\theta \chi (x)+{\bar {\theta }}{\bar {\chi }}'(x)+{\bar {\theta }}\sigma ^{\mu }\theta V_{\mu }(x)+\theta ^{2}F(x)+{\bar {\theta }}^{2}{\bar {F}}'(x)+{\bar {\theta }}^{2}\theta \xi (x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\xi }}'(x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D(x)$,

कहाँ $\phi ,\chi ,{\bar {\chi }}',V_{\mu },F,{\bar {F}}',\xi ,{\bar {\xi }}',D$ विभिन्न जटिल क्षेत्र हैं. यह एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व सुपरमल्टीप्लेट नहीं है, और इसलिए अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व को अलग करने के लिए विभिन्न बाधाओं की आवश्यकता होती है।

चिरल सुपरफ़ील्ड

ए (एंटी-)चिरल सुपरफ़ील्ड एक सुपरमल्टीप्लेट है $d=4,{\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति.

चार आयामों में, न्यूनतम ${\mathcal {N}}=1$ सुपरसममेट्री को सुपरस्पेस की धारणा का उपयोग करके लिखा जा सकता है। सुपरस्पेस में सामान्य स्पेस-टाइम निर्देशांक होते हैं $x^{\mu }$, $\mu =0,\ldots ,3$, और चार अतिरिक्त फर्मिओनिक निर्देशांक $\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}$ साथ $\alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2$, दो-घटक (वेइल) स्पिनर और उसके संयुग्म के रूप में परिवर्तित हो रहा है।

में $d=4,{\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति, एक चिरल सुपरफ़ील्ड, चिरल सुपरस्पेस पर एक फ़ंक्शन है। (पूर्ण) सुपरस्पेस से चिरल सुपरस्पेस तक एक प्रक्षेपण मौजूद है। तो, चिरल पर एक फ़ंक्शन सुपरस्पेस पूर्ण सुपरस्पेस के लिए विभेदक ज्यामिति हो सकता है। ऐसा कार्य $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ सहसंयोजक बाधा को संतुष्ट करता है ${\overline {D}}\Phi =0$, कहाँ ${\bar {D}}$ सहसंयोजक व्युत्पन्न है, जो सूचकांक संकेतन में दिया गया है

${\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }.$

एक चिरल सुपरफ़ील्ड $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ फिर इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है

$\Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),$

कहाँ $y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}$. सुपरफ़ील्ड 'संयुग्मित स्पिन निर्देशांक' से स्वतंत्र है ${\bar {\theta }}$ इस अर्थ में कि यह निर्भर करता है ${\bar {\theta }}$ केवल भीतर से $y^{\mu }$. इसकी जांच की जा सकती है ${\bar {D}}_{\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.$ विस्तार की व्याख्या यह है कि $\phi$ एक जटिल अदिश क्षेत्र है, $\psi$ एक वेइल स्पिनर है। सहायक जटिल अदिश क्षेत्र भी है $F$, नामित $F$ परंपरा के अनुसार: यह एफ-टर्म है जो कुछ सिद्धांतों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

फिर फ़ील्ड को मूल निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके $y$:

$\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).$

एंटीचिरल सुपरफ़ील्ड

इसी तरह, एंटीचिरल सुपरस्पेस भी है, जो कि चिरल सुपरस्पेस और एंटीचिरल सुपरफील्ड्स का जटिल संयुग्म है।

एक एंटीचिरल सुपरफ़ील्ड $\Phi ^{\dagger }$ संतुष्ट $D\Phi ^{\dagger }=0,$ कहाँ

$D_{\alpha }=\partial _{\alpha }+i\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}\partial _{\mu }.$

एक एंटीचिरल सुपरफील्ड का निर्माण चिरल सुपरफील्ड के जटिल संयुग्म के रूप में किया जा सकता है।

चिरल सुपरफ़ील्ड से क्रियाएँ

एक क्रिया के लिए जिसे एकल चिरल सुपरफ़ील्ड से परिभाषित किया जा सकता है, वेस-ज़ुमिनो मॉडल देखें।

वेक्टर सुपरफ़ील्ड

वेक्टर सुपरफील्ड का एक सुपरमल्टीप्लेट है ${\mathcal {N}}=1$ अतिसममिति.

एक वेक्टर सुपरफ़ील्ड (जिसे वास्तविक सुपरफ़ील्ड भी कहा जाता है) एक फ़ंक्शन है $V(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ जो वास्तविकता की स्थिति को पूरा करता है $V=V^{\dagger }$. ऐसा क्षेत्र विस्तार को स्वीकार करता है

$V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).$

घटक क्षेत्र हैं

• दो वास्तविक अदिश क्षेत्र $C$ और $D$
• एक जटिल अदिश क्षेत्र $M+iN$
• दो वेइल स्पिनर फ़ील्ड $\chi _{\alpha }$ और $\lambda ^{\alpha }$
• एक वास्तविक वेक्टर फ़ील्ड (गेज क्षेत्र) $A_{\mu }$

सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत में उनके परिवर्तन गुणों और उपयोगों पर आगे चर्चा की गई है।

गेज परिवर्तन का उपयोग करते हुए, फ़ील्ड $C,\chi$ और $M+iN$ शून्य पर सेट किया जा सकता है. इसे वेस-ज़ुमिनो गेज के नाम से जाना जाता है। इस गेज में, विस्तार बहुत सरल रूप धारण कर लेता है

$V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.$

तब $\lambda$ का सुपरपार्टनर है $A_{\mu }$, जबकि $D$ एक सहायक अदिश क्षेत्र है. इसे परंपरागत रूप से कहा जाता है $D$, और इसे डी-टर्म के रूप में जाना जाता है।

स्केलर

एक अदिश राशि कभी भी सुपरफ़ील्ड का उच्चतम घटक नहीं होती है; यह किसी सुपरफ़ील्ड में दिखाई देता है या नहीं, यह स्पेसटाइम के आयाम पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, 10-आयामी एन = 1 सिद्धांत में वेक्टर मल्टीप्लेट में केवल एक वेक्टर और एक मेजराना-वेइल स्पिनर होता है, जबकि डी-डायमेंशनल टोरस्र्स पर इसकी आयामी कमी एक वेक्टर मल्टीप्लेट होती है जिसमें डी वास्तविक स्केलर होते हैं। इसी प्रकार, 11-आयामी सिद्धांत में सीमित संख्या में फ़ील्ड, गुरुत्वाकर्षण गुणक के साथ केवल एक सुपरमल्टीप्लेट होता है, और इसमें कोई स्केलर नहीं होता है। हालाँकि, फिर से डी-टोरस पर अधिकतम गुरुत्वाकर्षण गुणक में इसकी आयामी कमी में स्केलर शामिल होते हैं।

हाइपरमल्टीप्लेट

हाइपरमल्टीप्लेट एक विस्तारित सुपरसिमेट्री बीजगणित का एक प्रकार का प्रतिनिधित्व है, विशेष रूप से मैटर मल्टीप्लेट का ${\mathcal {N}}=2$ 4 आयामों में सुपरसिममेट्री, जिसमें दो जटिल अदिश क्षेत्र ए शामिल हैं_i, एक डिराक स्पिनर फ़ील्ड ψ, और दो अतिरिक्त सहायक फ़ील्ड कॉम्प्लेक्स स्केलर F_i.

हाइपरमल्टीप्लेट नाम N=2 सुपरसिमेट्री के लिए प्रयुक्त पुराने शब्द हाइपरसिमेट्री से आया है Fayet (1976); इस शब्द को छोड़ दिया गया है, लेकिन इसके कुछ अभ्यावेदन के लिए हाइपरमल्टीप्लेट नाम अभी भी उपयोग किया जाता है।

विस्तारित सुपरसिममेट्री (एन > 1)

यह खंड विस्तारित सुपरसिमेट्री में आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले कुछ इरेड्यूसेबल सुपरमल्टीप्लेट्स को रिकॉर्ड करता है $d=4$ मामला। इनका निर्माण उच्चतम-वजन प्रतिनिधित्व निर्माण द्वारा इस अर्थ में किया गया है कि सुपरचार्ज द्वारा नष्ट किया गया एक वैक्यूम वेक्टर है $Q^{A},A=1,\cdots ,{\mathcal {N}}$. इरेप्स का आयाम है $2^{\mathcal {N}}$. द्रव्यमान रहित कणों का प्रतिनिधित्व करने वाले सुपरमल्टीप्लेट्स के लिए, भौतिक आधार पर अधिकतम अनुमत है ${\mathcal {N}}$ है ${\mathcal {N}}=8$, जबकि पुनर्सामान्यीकरण के लिए, अधिकतम अनुमति है ${\mathcal {N}}$ है ${\mathcal {N}}=4$.

=== एन = 2 === ${\mathcal {N}}=2$ h> वेक्टर या चिरल मल्टीप्लेट $\Psi$ एक गेज फ़ील्ड शामिल है $A_{\mu }$, दो वेइल फर्मियन $\lambda ,\psi$, और एक अदिश राशि $\phi$ (जो एक गेज समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व में भी रूपांतरित होता है)। इन्हें एक जोड़ी में भी व्यवस्थित किया जा सकता है ${\mathcal {N}}=1$ मल्टीप्लेट्स, ए ${\mathcal {N}}=1$ वेक्टर मल्टीप्लेट $W=(A_{\mu },\lambda )$ और चिरल मल्टीप्लेट $\Phi =(\phi ,\psi )$. इस तरह के मल्टीप्लेट का उपयोग सीबर्ग-विटन सिद्धांत को संक्षिप्त रूप से परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। ${\mathcal {N}}=2$ h> हाइपरमल्टीप्लेट या स्केलर मल्टीप्लेट में दो वेइल फ़र्मियन और दो जटिल स्केलर, या दो होते हैं ${\mathcal {N}}=1$ चिरल मल्टीप्लेट्स।

=== एन = 4 === ${\mathcal {N}}=4$ h> वेक्टर मल्टीप्लेट में एक गेज फ़ील्ड, चार वेइल फ़र्मियन, छह स्केलर और सीपीटी समरूपता संयुग्म शामिल हैं। यह एन = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत में दिखाई देता है।

यह भी देखें

• सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत
• डी-टर्म
• एफ-टर्म

संदर्भ

• Fayet, P. (1976), "Fermi-Bose hypersymmetry", Nuclear Physics B, 113 (1): 135–155, Bibcode:1976NuPhB.113..135F, doi:10.1016/0550-3213(76)90458-2, MR 0416304
• Stephen P. Martin. A Supersymmetry Primer, arXiv:hep-ph/9709356 .
• Yuji Tachikawa. N=2 supersymmetric dynamics for pedestrians, arXiv:1312.2684.
• Figueroa-O'Farrill, J. M. (2001). "Busstepp Lectures on Supersymmetry". arXiv:hep-th/0109172.