सीगल मॉड्यूलर रूप

गणित में, सीगल मॉड्यूलर फॉर्म एक प्रमुख प्रकार का स्वचालित रूप है। ये पारंपरिक अण्डाकार मॉड्यूलर रूपों को सामान्यीकृत करते हैं जो अण्डाकार वक्रों से निकटता से संबंधित हैं। सीगल मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में निर्मित जटिल मैनिफोल्ड्स सीगल मॉड्यूलर किस्म हैं, जो कि एबेलियन किस्मों के लिए एक मॉड्यूलि स्थान (कुछ अतिरिक्त स्तर की संरचना (बीजगणितीय ज्यामिति) के साथ) के लिए बुनियादी मॉडल हैं और सीगल ऊपरी के भागफल के रूप में निर्मित होते हैं अलग-अलग समूहों द्वारा ऊपरी आधे-तल के बजाय आधा-स्थान।

सीगल मॉड्यूलर फॉर्म सकारात्मक निश्चित काल्पनिक भाग के साथ सममित मैट्रिक्स एन × एन मैट्रिक्स के सेट पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन हैं; प्रपत्रों को ऑटोमोर्फि शर्त को पूरा करना होगा। सीगल मॉड्यूलर रूपों को बहुपरिवर्तनीय मॉड्यूलर रूपों के रूप में माना जा सकता है, यानी कई जटिल चर के विशेष कार्यों के रूप में।

सीगल मॉड्यूलर फॉर्म की जांच सबसे पहले किसके द्वारा की गई थी Carl Ludwig Siegel (1939)विश्लेषणात्मक रूप से द्विघात रूपों का अध्ययन करने के उद्देश्य से। ये मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत की विभिन्न शाखाओं में उत्पन्न होते हैं, जैसे अंकगणितीय ज्यामिति और अण्डाकार सहसंगति। सीगल मॉड्यूलर रूपों का उपयोग भौतिकी के कुछ क्षेत्रों में भी किया गया है, जैसे अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत में ब्लैक होल थर्मोडायनामिक्स।

परिभाषा

प्रारंभिक

होने देना $g,N\in \mathbb {N}$ और परिभाषित करें

${\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{\mathrm {T} }=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau ){\text{ positive definite}}\right\},$ सीगल ऊपरी आधा स्थान। स्तर के सहानुभूति समूह को परिभाषित करें $N$, द्वारा चिह्नित $\Gamma _{g}(N),$ जैसा

$\Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},$

कहाँ $I_{g}$ है $g\times g$ शिनाख्त सांचा। अंत में, चलो

$\rho :{\textrm {GL}}_{g}(\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)$ एक तर्कसंगत प्रतिनिधित्व हो, जहां $V$ एक परिमित-आयामी जटिल सदिश स्थल है।

सीगल मॉड्यूलर फॉर्म

दिया गया

$\gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$ और

$\gamma \in \Gamma _{g}(N),$ संकेतन को परिभाषित करें

$(f{\big |}\gamma )(\tau )=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau ).$

फिर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन

$f:{\mathcal {H}}_{g}\rightarrow V$ डिग्री का सीगल मॉड्यूलर रूप है $g$ (कभी-कभी जीनस भी कहा जाता है), वजन $\rho$, और स्तर $N$ अगर

$(f{\big |}\gamma )=f$

सभी के लिए $\gamma \in \Gamma _{g}(N)$. उस मामले में $g=1$, हमें इसकी और भी आवश्यकता है $f$ 'अनंत पर' होलोमोर्फिक बनें। यह धारणा आवश्यक नहीं है $g>1$ कोचर सिद्धांत के कारण, नीचे बताया गया है। भार के स्थान को निरूपित करें $\rho$, डिग्री $g$, और स्तर $N$ सीगल मॉड्यूलर रूपों द्वारा

$M_{\rho }(\Gamma _{g}(N)).$

उदाहरण

सीगल मॉड्यूलर फॉर्म के निर्माण की कुछ विधियों में शामिल हैं:

• आइसेनस्टीन श्रृंखला
• जालकों के थीटा कार्य (संभवतः बहु-हार्मोनिक बहुपद के साथ)
• सैतो-कुरोकावा लिफ्ट डिग्री 2 के लिए
• इकेदा लिफ्ट
• मियावाकी लिफ्ट
• सीगल मॉड्यूलर फॉर्म के उत्पाद।

स्तर 1, छोटी डिग्री

डिग्री 1 के लिए, लेवल 1 सीगल मॉड्यूलर फॉर्म लेवल 1 मॉड्यूलर फॉर्म के समान हैं। ऐसे रूपों का वलय एक बहुपद वलय C[E है₄,और₆] (डिग्री 1) आइज़ेंस्टीन श्रृंखला ई में₄ और ई₆.

डिग्री 2 के लिए, (Igusa 1962, 1967) दिखाया गया है कि स्तर 1 सीगल मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी (डिग्री 2) ईसेनस्टीन श्रृंखला ई द्वारा उत्पन्न होती है₄ और ई₆ और भार के 3 और रूप 10, 12, और 35। उनके बीच संबंधों का आदर्श भार 35 के वर्ग से उत्पन्न होता है, जो अन्य में एक निश्चित बहुपद को घटाता है।

डिग्री 3 के लिए, Tsuyumine (1986) लेवल 1 सीगल मॉड्यूलर फॉर्म की रिंग का वर्णन किया गया है, जिसमें 34 जनरेटर का एक सेट दिया गया है।

डिग्री 4 के लिए, छोटे वजन के स्तर 1 सीगल मॉड्यूलर रूप पाए गए हैं। वज़न 2, 4, या 6 का कोई पुच्छल रूप नहीं है। भार 8 के पुच्छल रूपों का स्थान 1-आयामी है, जो शोट्की रूप द्वारा फैला हुआ है। भार 10 के पुच्छ रूपों के स्थान का आयाम 1 है, भार 12 के पुच्छ रूपों के स्थान का आयाम 2 है, भार 14 के पुच्छ रूपों के स्थान का आयाम 3 है, और भार 16 के पुच्छ रूपों के स्थान का आयाम 7 है (Poor & Yuen 2007).

डिग्री 5 के लिए, पुच्छल रूपों के स्थान का वजन 10 के लिए आयाम 0 है, वजन 12 के लिए आयाम 2 है। वजन 12 के रूपों के स्थान का आयाम 5 है।

डिग्री 6 के लिए, वजन 0, 2, 4, 6, 8 का कोई पुच्छल रूप नहीं है। वजन 2 के सीगल मॉड्यूलर रूपों के स्थान का आयाम 0 है, और वजन 4 या 6 दोनों का आयाम 1 है।

स्तर 1, छोटा वजन

छोटे वजन और स्तर 1 के लिए, Duke & Imamoḡlu (1998) निम्नलिखित परिणाम दें (किसी भी सकारात्मक डिग्री के लिए):

• वजन 0: रूपों का स्थान 1-आयामी है, 1 द्वारा फैला हुआ है।
• वजन 1: एकमात्र सीगल मॉड्यूलर फॉर्म 0 है।
• वजन 2: एकमात्र सीगल मॉड्यूलर फॉर्म 0 है।
• वजन 3: एकमात्र सीगल मॉड्यूलर फॉर्म 0 है।
• वजन 4: किसी भी डिग्री के लिए, वजन 4 के रूपों का स्थान 1-आयामी है, जो ई के थीटा फ़ंक्शन द्वारा फैला हुआ है₈ जाली (उचित डिग्री की)। एकमात्र पुच्छल रूप 0 है।
• वजन 5: एकमात्र सीगल मॉड्यूलर फॉर्म 0 है।
• भार 6: भार 6 के रूपों के स्थान का आयाम 1 है यदि डिग्री अधिकतम 8 है, और आयाम 0 यदि डिग्री कम से कम 9 है। एकमात्र पुच्छल रूप 0 है।
• वजन 7: यदि डिग्री 4 या 7 है तो पुच्छल रूपों का स्थान गायब हो जाता है।
• वजन 8: जीनस 4 में, पुच्छल रूपों का स्थान 1-आयामी है, शोट्की रूप द्वारा फैला हुआ है और रूपों का स्थान 2-आयामी है। यदि जीनस 8 है तो कोई पुच्छल रूप नहीं हैं।
• यदि वंश वजन के दोगुने से अधिक है तो कोई पुच्छल रूप नहीं है।

स्तर 1 सीगल मॉड्यूलर फॉर्म के स्थानों के आयामों की तालिका

निम्न तालिका उपरोक्त परिणामों को जानकारी के साथ जोड़ती है Poor & Yuen (2006) और Chenevier & Lannes (2014) और Taïbi (2014).

Dimensions of spaces of level 1 Siegel cusp forms: Siegel modular forms

Weight	degree 0	degree 1	degree 2	degree 3	degree 4	degree 5	degree 6	degree 7	degree 8	degree 9	degree 10	degree 11	degree 12
0	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
2	1: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
4	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
6	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
8	1: 1	0: 1	0: 1	0:1	1: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0:	0:	0:	0:
10	1: 1	0: 1	1: 2	0: 2	1: 3	0: 3	1: 4	0: 4	1:	0:	0:	0:	0:
12	1: 1	1: 2	1: 3	1: 4	2: 6	2: 8	3: 11	3: 14	4: 18	2:20	2: 22	1: 23	1: 24
14	1: 1	0: 1	1: 2	1: 3	3:6	3: 9	9: 18	9: 27
16	1: 1	1: 2	2: 4	3: 7	7: 14	13:27	33:60	83:143
18	1: 1	1: 2	2: 4	4:8	12:20	28: 48	117: 163
20	1: 1	1: 2	3: 5	6: 11	22: 33	76: 109	486:595
22	1: 1	1: 2	4: 6	9:15	38:53	186:239
24	1: 1	2: 3	5: 8	14: 22
26	1: 1	1: 2	5: 7	17: 24
28	1: 1	2: 3	7: 10	27: 37
30	1: 1	2: 3	8: 11	34: 45

कोएचर सिद्धांत

कोएचर सिद्धांत के नाम से जाना जाने वाला प्रमेय कहता है कि यदि $f$ वजन का सीगल मॉड्यूलर रूप है $\rho$, स्तर 1, और डिग्री $g>1$, तब $f$ के उपसमुच्चय पर आबद्ध है ${\mathcal {H}}_{g}$ रूप का

$\left\{\tau \in {\mathcal {H}}_{g}\ |{\textrm {Im}}(\tau )>\epsilon I_{g}\right\},$ कहाँ $\epsilon >0$. इस प्रमेय का परिणाम यह तथ्य है कि सीगल डिग्री के मॉड्यूलर रूप हैं $g>1$ फूरियर विस्तार हैं और इस प्रकार अनंत पर होलोमोर्फिक हैं।

भौतिकी में अनुप्रयोग

स्ट्रिंग सिद्धांत में चरम ब्लैक होल की D1D5P प्रणाली में, वह फ़ंक्शन जो स्वाभाविक रूप से ब्लैक होल एन्ट्रॉपी के माइक्रोस्टेट्स को कैप्चर करता है, एक सीगल मॉड्यूलर रूप है। सामान्य तौर पर, सीगल मॉड्यूलर रूपों को ब्लैक होल या अन्य गुरुत्वाकर्षण प्रणालियों का वर्णन करने की क्षमता के रूप में वर्णित किया गया है।

अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत, विशेष रूप से काल्पनिक AdS/CFT पत्राचार में बढ़ते केंद्रीय प्रभार के साथ सीएफटी2 के परिवारों के लिए सीगल मॉड्यूलर फॉर्म का उपयोग जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में भी होता है।

संदर्भ

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