विद्युत स्थितिज ऊर्जा

विद्युत क्षमता या विद्युत शक्ति के साथ भ्रमित न हों।

यह लेख भौतिक परिमाण विद्युत स्थितिज ऊर्जा के बारे में है। विद्युत ऊर्जा के लिए, विद्युत ऊर्जा देखें। ऊर्जा स्रोतों के लिए, ऊर्जा विकास देखें। बिजली उत्पादन के लिए, बिजली उत्पादन देखें।यह लेख भौतिक परिमाण विद्युत स्थितिज ऊर्जा के बारे में है। विद्युत ऊर्जा के लिए, विद्युत ऊर्जा देखें। ऊर्जा स्रोतों के लिए, ऊर्जा विकास देखें। बिजली उत्पादन के लिए, बिजली उत्पादन देखें।

Electric potential energy
सामान्य प्रतीक	UE
Si   इकाई	joule (J)
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां	UE = C · V2 / 2

विद्युत स्थितिज ऊर्जा जूल में मापी गई, एक स्थितिज ऊर्जा के रूप में है, जो रूढ़िवादी बल कूलम्ब बलों से उत्पन्न होती है और एक परिभाषित भौतिक प्रणाली के भीतर बिंदु विद्युत आवेश के एक विशेष समूह के विन्यास से जुड़ी होती है। किसी वस्तु को उसके स्वयं के विद्युत आवेश या अन्य विद्युत आवेशित वस्तुओं के सापेक्ष स्थिति के आधार पर विद्युत स्थितिज ऊर्जा कहा जा सकता है.

विद्युत स्थितिज ऊर्जा शब्द का उपयोग समय-परिवर्तन प्रणाली के रूप में होता है, समय-परिवर्तनीय विद्युत क्षेत्रों वाले सिस्टम में संभावित ऊर्जा का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जबकि इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा शब्द का उपयोग समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के रूप में होता है, समय-अपरिवर्तनीय विद्युत क्षेत्रों वाले सिस्टम में संभावित ऊर्जा का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा

बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की विद्युत स्थितिज ऊर्जा को उस कार्य भौतिकी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो आवेशों की इस प्रणाली को एक साथ पास लाकर इकट्ठा करने के लिए आवश्यक है, जैसा कि सिस्टम में अनंत दूरी से होता है। वैकल्पिक रूप से किसी दिए गए आवेश या आवेश प्रणाली की विद्युत स्थितिज ऊर्जा को बिना किसी त्वरण के आवेश या आवेश प्रणाली को अनंत से वर्तमान विन्यास तक लाने में बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कुल कार्य कहा जाता है।

विद्युत क्षेत्र E की उपस्थिति में स्थिति r पर एक बिंदु आवेश q की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा UE को संदर्भ स्थिति r ref [नोट 1] से लाने के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक बल द्वारा किए गए कार्य W के नकारात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है। वह स्थिति r.[1][2]: §25-1

जहां E इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र है और dr संदर्भ स्थिति rref से अंतिम स्थिति r तक वक्र में विस्थापन वेक्टर है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा को विद्युत क्षमता से निम्नानुसार भी परिभाषित किया जा सकता है:

विद्युत क्षमता की उपस्थिति में स्थिति r पर एक बिंदु आवेश q की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा UE Φ\Phi को आवेश और विद्युत क्षमता के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

$U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=q\Phi (\mathbf {r} )$,

जहाँ

Φ\Phi आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षमता है, जो स्थिति r का एक फलन है।

इकाइयाँ

विद्युत स्थितिज ऊर्जा की SI इकाई जूल है, जिसका नाम अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी जेम्स प्रेस्कॉट जूल के नाम पर रखा गया है और सीजीएस प्रणाली में एर्ग ऊर्जा की इकाई है जो 10−7 जूल के बराबर है। इसके अलावा इलेक्ट्रॉनवोल्ट का उपयोग किया जा सकता है, 1 eV = 1.602×10⁻¹⁹जूल।

एक बिंदु आवेश की स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा

एक बिंदु आवेश q दूसरे बिंदु आवेश की उपस्थिति में Q

एक बिंदु आवेश q दूसरे आवेश के विद्युत क्षेत्र में Q.

स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा U_E एक बिंदु आवेश Q की उपस्थिति में स्थिति 'r' पर एक बिंदु आवेश q का आवेशों के बीच एक अनंत पृथक्करण को संदर्भ स्थिति के रूप में लेते हुए, है:

$U_{E}(r)=k_{\text{e}}{\frac {qQ}{r}},$

जहाँ, $k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ कूलम्ब स्थिरांक है, r बिंदु आवेश q और Q के बीच की दूरी है और q और Q आवेश हैं, आवेशों का निरपेक्ष मान नहीं - अर्थात, सूत्र में रखे जाने पर एक इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक मान के रूप में होगा. प्रमाण की निम्नलिखित रूपरेखा विद्युत स्थितिज ऊर्जा की परिभाषा और कूलम्ब के नियम से इस सूत्र की व्युत्पत्ति बताती है.

Outline of proof

किसी आवेश q पर कार्य करने वाले स्थिर वैद्युत बल F को विद्युत क्षेत्र E के संदर्भ में इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\mathbf {F} =q\mathbf {E} ,$$

परिभाषा के अनुसार एक बिंदु आवेश q की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा UE में परिवर्तन, जो एक विद्युत क्षेत्र E की उपस्थिति में संदर्भ स्थिति rref से स्थिति r तक चला गया है, इसे संदर्भ से लाने के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक बल द्वारा किए गए कार्य का नकारात्मक है। स्थिति rref उस स्थिति r के लिए।

$$U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .$$

जहाँ

* r = आवेश q के 3डी स्थान में स्थिति, कार्तीय निर्देशांक r = (x, y, z) का उपयोग करते हुए, r = (0,0,0) पर Q आवेश की स्थिति लेते हुए, अदिश r = |r| स्थिति वेक्टर का आदर्श है,
*ds = rref से r तक जाने वाले पथ C के साथ अंतर विस्थापन वेक्टर

• mm इलेक्ट्रोस्टैटिक बल द्वारा चार्ज को संदर्भ स्थिति rref से r तक लाने के लिए किया गया कार्य है,

आमतौर पर जब rref अनंत होता है तो UE को शून्य पर सेट किया जाता है:

$$U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0$$

so

$$U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$$

जब कर्ल ∇ × E शून्य होता है, तो ऊपर दी गई रेखा इंटीग्रल चुने गए विशिष्ट पथ C पर निर्भर नहीं करती है, बल्कि केवल उसके अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करती है। यह समय-अपरिवर्तनीय विद्युत क्षेत्रों में होता है। जब इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा के बारे में बात की जाती है, तो समय-अपरिवर्तनीय विद्युत क्षेत्रों को हमेशा माना जाता है, इस मामले में, विद्युत क्षेत्र रूढ़िवादी है और कूलम्ब के नियम का उपयोग किया जा सकता है।

कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए, यह ज्ञात है कि एक असतत बिंदु आवेश Q द्वारा निर्मित इलेक्ट्रोस्टैटिक बल F और विद्युत क्षेत्र E, रेडियल रूप से Q से निर्देशित होते हैं। स्थिति वेक्टर r और विस्थापन वेक्टर s की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि r और s Q से भी रेडियल रूप से निर्देशित हैं। इसलिए, E और ds समानांतर होने चाहिए:

$$\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s$$

कूलम्ब के नियम का उपयोग करके, विद्युत क्षेत्र दिया जाता है

{\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}

और अभिन्न का मूल्यांकन आसानी से किया जा सकता है:

$$U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}$$

n बिंदु आवेश Q की उपस्थिति में एक बिंदु आवेश q_i

Q के कारण q की स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा₁ और प्र₂ चार्ज प्रणाली:$U_{E}=q{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)$

स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा, यू_E, एक बिंदु आवेश q का n बिंदु आवेश Q की उपस्थिति में_iसंदर्भ स्थिति के रूप में आवेशों के बीच अनंत पृथक्करण को लेते हुए, यह है:

$U_{E}(r)=k_{\text{e}}q\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},$

जहाँ $k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ कूलम्ब स्थिरांक है, r_iबिंदु आवेश q और Q के बीच की दूरी है_i, और q और Q_iआरोपों के निर्दिष्ट मूल्य हैं।

बिंदु आवेशों की प्रणाली में संग्रहित इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितिज ऊर्जा

स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा U_E एन चार्ज क्यू की एक प्रणाली में संग्रहीत₁, क्यू₂, …, क्यू_N पदों पर आर₁, आर₂, …, आर_N क्रमशः, है:

$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{2}}k_{e}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},$

(1)

जहां, प्रत्येक i मान के लिए, Φ('r'_i) r पर स्थित आवेश को छोड़कर सभी बिंदु आवेशों के कारण स्थिरवैद्युत विभव है_i, और इसके समतुल्य है:

$$\Phi (\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{\mathbf {r} _{ij}}},$$

जहां आर_ij q के बीच की दूरी है_i और क्यू_j.

Outline of proof

दो आवेशों की प्रणाली में संग्रहीत इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा यूई दूसरे द्वारा उत्पन्न इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता में एक चार्ज की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा के बराबर है। कहने का तात्पर्य यह है कि यदि आवेश q1 एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता Φ1 उत्पन्न करता है, जो स्थिति r का एक फलन है, तो

$$U_{\mathrm {E} }=q_{2}\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2}).$$

अन्य आवेश के संबंध में भी यही गणना करने पर हमें प्राप्त होता है

$$U_{\mathrm {E} }=q_{1}\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1}).$$

The electrostatic potential energy is mutually shared by $q_{1}$ and $q_{2}$, so the total stored energy is

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})\right]$$

This can be generalized to say that the electrostatic potential energy U_E stored in a system of N charges q₁, q₂, …, q_N at positions r₁, r₂, …, r_N respectively, is:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\Phi (\mathbf {r} _{i}).$$

एक बिंदु आवेश की प्रणाली में संग्रहीत ऊर्जा

मात्र एक बिंदु आवेश वाले सिस्टम की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा शून्य है, क्योंकि इलेक्ट्रोस्टैटिक बल का कोई अन्य स्रोत नहीं है जिसके विरुद्ध किसी बाहरी एजेंट को बिंदु आवेश को अनंत से उसके अंतिम समष्टि तक ले जाने के लिए काम करना होगा।

एक बिंदु आवेश की अपनी इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता के साथ परस्पर क्रिया के संबंध में एक सामान्य प्रश्न उठता है। चूँकि यह अंतःक्रिया स्वयं बिंदु आवेश को समष्टि ांतरित करने का कार्य नहीं करती है, इसलिए यह सिस्टम की संग्रहीत ऊर्जा में योगदान नहीं करती है।

दो बिंदु आवेशों की प्रणाली में संग्रहीत ऊर्जा

एक बिंदु आवेश, q, को एक बिंदु आवेश, Q के निकट उसकी अंतिम स्थिति में लाने पर विचार करें₁. Q के कारण विद्युत क्षमता Φ(r)₁ है

$$\Phi (r)=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}$$

इसलिए हम Q की क्षमता में q की स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करते हैं₁ जैसा

$$U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}$$

जहां आर₁ दो बिंदु आवेशों के बीच पृथक्करण है।

तीन बिंदु आवेशों की प्रणाली में संग्रहीत ऊर्जा

तीन आवेशों की प्रणाली की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा को Q की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए₁ दो आरोपों के कारण Q₂ और प्र₃, क्योंकि उत्तरार्द्ध में दो आवेशों Q की प्रणाली की इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा सम्मिलित नहीं है₂ और प्र₃.

तीन आवेशों की प्रणाली में संग्रहीत इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा है:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]$$

Outline of proof

(1) में दिए गए सूत्र का उपयोग करके तीन आवेशों की प्रणाली की इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितिज ऊर्जा होगी:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}\Phi (\mathbf {r} _{1})+Q_{2}\Phi (\mathbf {r} _{2})+Q_{3}\Phi (\mathbf {r} _{3})\right]$$

जहाँ Φ (

1 ) \Phi ({\mathbf {r}}_{1}) आवेश Q2 और Q3 द्वारा निर्मित r1 में विद्युत क्षमता है,

$$\Phi (\mathbf {r} _{1})=\Phi _{2}(\mathbf {r} _{1})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}$$

$$\Phi (\mathbf {r} _{2})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{2})+\Phi _{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}$$

$$\Phi (\mathbf {r} _{3})=\Phi _{1}(\mathbf {r} _{3})+\Phi _{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}$$

जहाँ rij आवेश Qi और Qj के बीच की दूरी है।

यदि हम सब कुछ जोड़ दें:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]$$

अंत में हम पाते हैं कि इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा तीन आवेशों की प्रणाली में संग्रहीत होती है:

$$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]$$

निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र वितरण में संग्रहीत ऊर्जा

ऊर्जा घनत्व, या प्रति इकाई आयतन ऊर्जा, ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$, एक सतत चार्ज वितरण के इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का है:

$$u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.$$

Outline of proof

One may take the equation for the electrostatic potential energy of a continuous charge distribution and put it in terms of the electrostatic field.

Since Gauss's law for electrostatic field in differential form states

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

where

• $\mathbf {E}$ is the electric field vector
• $\rho$ is the total charge density including dipole charges bound in a material
• $\varepsilon _{0}$ is the permittivity of free space,

then,

$${\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}$$

so, now using the following divergence vector identity

$$\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})$$

we have

$$U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV$$

using the divergence theorem and taking the area to be at infinity where $\Phi (\infty )=0$

$${\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}$$

So, the energy density, or energy per unit volume ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$ of the electrostatic field is:

$$u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.$$

इलेक्ट्रॉनिक तत्वों में संग्रहित ऊर्जा

150x150px यू है_E=1/2 सीवी²

सर्किट में कुछ तत्व ऊर्जा को एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक अवरोधक विद्युत ऊर्जा को ऊष्मा में परिवर्तित करता है। इसे जूल का प्रथम नियम कहा जाता है। एक संधारित्र इसे अपने विद्युत क्षेत्र में संग्रहीत करता है। एक संधारित्र में संग्रहीत कुल इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा द्वारा दी गई है

$$U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}$$

जहां C धारिता है, V विद्युत विभवांतर है, और Q संधारित्र में संग्रहीत विद्युत आवेश है।

Outline of proof

One may assemble charges to a capacitor in infinitesimal increments, $dq\to 0$, such that the amount of work done to assemble each increment to its final location may be expressed as

$$W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.$$

The total work done to fully charge the capacitor in this way is then

$$W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.$$

where $Q$ is the total charge on the capacitor. This work is stored as electrostatic potential energy, hence,

$$W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.$$

Notably, this expression is only valid if $dq\to 0$, which holds for many-charge systems such as large capacitors having metallic electrodes. For few-charge systems the discrete nature of charge is important. The total energy stored in a few-charge capacitor is

$$U_{E}={\frac {Q^{2}}{C}}$$

which is obtained by a method of charge assembly utilizing the smallest physical charge increment $\Delta q=e$ where $e$ is the elementary unit of charge and $Q=Ne$ where $N$ is the total number of charges in the capacitor.

कुल स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा को विद्युत क्षेत्र के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathrm {E} \cdot \mathrm {D} \,dV$$

जहाँ $\mathrm {D}$ एक ढांकता हुआ सामग्री के भीतर विद्युत विस्थापन क्षेत्र है और एकीकरण ढांकता हुआ की पूरी मात्रा पर होता है।

(संधारित्र प्लेटों के बीच ऊर्जा हस्तांतरण पर आधारित एक आभासी प्रयोग से पता चलता है कि जब इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा को विद्युत क्षेत्र और विस्थापन सदिश के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है तो एक अतिरिक्त शब्द को ध्यान में रखा जाना चाहिए .

जबकि यह अतिरिक्त ऊर्जा इंसुलेटर के साथ काम करते समय रद्द हो जाती है, सामान्यतः इसे नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए अर्धचालक के साथ।)

किसी आवेशित ढांकता हुआ के भीतर संग्रहित कुल स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा को निरंतर आयतन आवेश के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, $\rho$,

$$U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV$$

जहां ढांकता हुआ की संपूर्ण मात्रा पर एकीकरण होता है।

ये पश्चात वाली दो अभिव्यक्तियाँ मात्र उन स्थितियों के लिए मान्य हैं जब चार्ज की सबसे छोटी वृद्धि शून्य है ($dq\to 0$) जैसे धात्विक इलेक्ट्रोडों की उपस्थिति में ढांकता हुआ या कई आवेशों वाले ढांकता हुआ।

बाहरी संबंध

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