पूर्णांक गुणनखंडन रिकॉर्ड: Difference between revisions

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{{Short description|Accomplishments in factoring large integers}}
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'''[[पूर्णांक]] गुणनखंडन''' यह निर्धारित करने की प्रक्रिया है कि कौन सी [[अभाज्य संख्या]]एँ किसी दिए गए धनात्मक पूर्णांक को विभाजित करती हैं। इसे शीघ्रता से करने से [[क्रिप्टोग्राफी]] में अनुप्रयोग होते हैं। कठिनाई, संख्या और उसके अभाज्य कारकों के आकार और रूप दोनों पर निर्भर करती है; वर्तमान में बड़े [[सेमीप्राइम्स]] (और, वास्तव में, अधिकांश संख्याएँ जिनमें कोई छोटा कारक नहीं है) का गुणनखंड करना अधिक कठिन है।
'''[[पूर्णांक]] गुणनखंडन''' यह निर्धारित करने की प्रक्रिया है कि कौन सी [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याएँ]] किसी दिए गए धनात्मक पूर्णांक को विभाजित करती हैं। इसे शीघ्रता से करने से [[क्रिप्टोग्राफी]] में अनुप्रयोग होते हैं। कठिनाई, संख्या और उसके अभाज्य गुणनखंडों के आकार और रूप दोनों पर निर्भर करती है; वर्तमान में बड़े [[सेमीप्राइम्स]] (और, वास्तव में, अधिकांश संख्याएँ जिनमें कोई छोटा गुणनखंड नहीं है) का गुणनखंडन करना अधिक कठिन है।


== सामान्य रूप की संख्याएँ ==
== सामान्य रूप की संख्याएँ ==


प्रथम विशाल वितरित कारकीकरण [[RSA-129|आरएसए-129]] था, जो 1977 के साइंटिफिक अमेरिकन लेख में वर्णित 129-अंकीय चुनौती संख्या थी जिसने प्रथम बार आरएसए क्रिप्टोसिस्टम को लोकप्रिय बनाया था। इसे सितंबर 1993 और अप्रैल 1994 के मध्य [[द्विघात छलनी|एमपीक्यूएस]] का उपयोग करके गुणनखंडित किया गया था, जिसमें इंटरनेट के माध्यम से लगभग 600 लोगों ने योगदान दिया था, और गणना के अंतिम चरण बेल लैब्स में [[मासपार]] सुपरकंप्यूटर पर किए गए थे।
प्रथम विशाल वितरित कारकीकरण [[RSA-129|आरएसए-129]] था, जो 1977 के साइंटिफिक अमेरिकन लेख में वर्णित 129-अंकीय चैलेंज संख्या थी जिसने प्रथम बार आरएसए क्रिप्टोसिस्टम को लोकप्रिय बनाया था। इसे सितंबर 1993 और अप्रैल 1994 के मध्य [[द्विघात छलनी|एमपीक्यूएस]] का उपयोग करके गुणनखंडित किया गया था, जिसमें इंटरनेट के माध्यम से लगभग 600 लोगों ने योगदान दिया था, और गणना के अंतिम चरण बेल लैब्स में [[मासपार]] सुपरकंप्यूटर पर किए गए थे।


जनवरी और अगस्त 1999 के मध्य, [[आरएसए-155]], आरएसए कंपनी द्वारा तैयार किया गया 155-अंकीय चुनौती नंबर, बड़े समूह द्वारा पुनः योगदान किए गए संबंधों के साथ जीएनएफएस का उपयोग करके गुणनखंडित किया गया था, और गणना के अंतिम चरण केवल नौ दिनों में सारा एम्स्टर्डम अकादमिक कंप्यूटर सेंटर में [[क्रे C90]] सुपर कंप्यूटर पर पूर्ण किए गए थे।  
जनवरी और अगस्त 1999 के मध्य, [[आरएसए-155]], आरएसए कंपनी द्वारा तैयार किया गया 155-अंकीय चैलेंज संख्या, बड़े समूह द्वारा पुनः योगदान किए गए संबंधों के साथ जीएनएफएस का उपयोग करके गुणनखंडित किया गया था, और गणना के अंतिम चरण केवल नौ दिनों में सारा एम्स्टर्डम अकादमिक कंप्यूटर सेंटर में [[क्रे C90]] सुपर कंप्यूटर पर पूर्ण किए गए थे।  


जनवरी 2002 में, फ्रांके एट अल ने [[बॉन विश्वविद्यालय]] में लगभग 25 पीसी पर कुछ महीनों का उपयोग करके, 2<sup>953</sup>+1 के 158-अंकीय सहकारक के गुणनखंडन की घोषणा की, जिसमें अंतिम चरण छह पेंटियम-III पीसी के क्लस्टर का उपयोग करके पूर्ण किया गया था।
जनवरी 2002 में, फ्रांके एट अल ने [[बॉन विश्वविद्यालय]] में लगभग 25 पीसी पर कुछ महीनों का उपयोग करके, 2<sup>953</sup>+1 के 158-अंकीय सहकारक के गुणनखंडन की घोषणा की, जिसमें अंतिम चरण छह पेंटियम-III पीसी के क्लस्टर का उपयोग करके पूर्ण किया गया था।


अप्रैल 2003 में, उसी टीम ने बीएसआई में लगभग सौ सीपीयू का उपयोग करके 160-अंकीय [[आरएसए-160]] का फैक्टरिंग किया, जिसमें [[एसजीआई उत्पत्ति 200|एसजीआई ओरिजिन]] सुपरकंप्यूटर के 25 प्रोसेसर का उपयोग करके गणना के अंतिम चरण किए गए थे।
अप्रैल 2003 में, उसी समूह ने बीएसआई में लगभग सौ सीपीयू का उपयोग करके 160-अंकीय [[आरएसए-160]] का गुणनखंडन किया, जिसमें [[एसजीआई उत्पत्ति 200|एसजीआई ओरिजिन]] सुपरकंप्यूटर के 25 प्रोसेसर का उपयोग करके गणना के अंतिम चरण किए गए थे।


576-बिट (174-अंकीय) [[आरएसए-576]] को बीएसआई और बॉन विश्वविद्यालय के संसाधनों का उपयोग करके दिसंबर 2003 में फ्रेंक, क्लेनजंग और [[एनएफएसनेट|एनएफएसएनईटी]] सहयोग के सदस्यों द्वारा तैयार किया गया था; इसके शीघ्र पश्चात, आओकी, किडा, शिमोयामा, सोनोदा और उएदा ने घोषणा की कि उन्होंने 2<sup>1826</sup>+1 का 164-अंकीय सहकारक तैयार कर लिया है।
576-बिट (174-अंकीय) [[आरएसए-576]] को बीएसआई और बॉन विश्वविद्यालय के संसाधनों का उपयोग करके दिसंबर 2003 में फ्रेंक, क्लेनजंग और [[एनएफएसनेट|एनएफएसएनईटी]] सहयोग के सदस्यों द्वारा तैयार किया गया था; इसके शीघ्र पश्चात, आओकी, किडा, शिमोयामा, सोनोदा और उएदा ने घोषणा की कि उन्होंने 2<sup>1826</sup>+1 का 164-अंकीय सहकारक तैयार कर लिया है।


11<sup>281</sup>+1 का 176-अंकीय सहकारक को फरवरी और मई 2005 के मध्य जापान में [[निप्पॉन टेलीग्राफ और टेलीफोन]] और [[रिक्क्यो विश्वविद्यालय]] की मशीनों का उपयोग करके एओकी, किडा, शिमोयामा और उएदा द्वारा फैक्टर किया गया था।<ref>{{cite web |url=http://www.loria.fr/~zimmerma/records/11_281+ |access-date=2007-05-23 |title=Factorization of 176-digit number|author1=K. Aoki |author2=Y. Kida |author3=T. Shimoyama |author4=H. Ueda }}</ref>663-बिट (200-अंकीय) [[RSA-200|आरएसए-200]] चुनौती संख्या को फ्रांके, क्लेनजंग एट अल द्वारा फैक्टर किया गया था। दिसंबर 2003 और मई 2005 के मध्य, जर्मनी में बीएसआई में 80 ओपर्टन प्रोसेसर के क्लस्टर का उपयोग करते हुए; घोषणा 9 मई 2005 को की गई थी।<ref>{{cite web |url=http://www.loria.fr/~zimmerma/records/rsa200|access-date=2007-05-23 |title=RSA200|author1=F. Bahr |author2=M. Boehm |author3=J. Franke |author4=T. Kleinjung }}</ref> पश्चात में उन्होंने (नवंबर 2005) छोटी [[आरएसए-640]] चुनौती संख्या पर विचार किया गया था।
11<sup>281</sup>+1 का 176-अंकीय सहकारक को फरवरी और मई 2005 के मध्य जापान में [[निप्पॉन टेलीग्राफ और टेलीफोन]] और [[रिक्क्यो विश्वविद्यालय]] की मशीनों का उपयोग करके एओकी, किडा, शिमोयामा और उएदा द्वारा गुणनखंडन किया गया था।<ref>{{cite web |url=http://www.loria.fr/~zimmerma/records/11_281+ |access-date=2007-05-23 |title=Factorization of 176-digit number|author1=K. Aoki |author2=Y. Kida |author3=T. Shimoyama |author4=H. Ueda }}</ref>663-बिट (200-अंकीय) [[RSA-200|आरएसए-200]] चैलेंज संख्या को फ्रांके, क्लेनजंग एट अल द्वारा गुणनखंडन किया गया था। दिसंबर 2003 और मई 2005 के मध्य, जर्मनी में बीएसआई में 80 ओपर्टन प्रोसेसर के क्लस्टर का उपयोग करते हुए; घोषणा 9 मई 2005 को की गई थी।<ref>{{cite web |url=http://www.loria.fr/~zimmerma/records/rsa200|access-date=2007-05-23 |title=RSA200|author1=F. Bahr |author2=M. Boehm |author3=J. Franke |author4=T. Kleinjung }}</ref> पश्चात में उन्होंने (नवंबर 2005) छोटी [[आरएसए-640]] चैलेंज संख्या पर विचार किया गया था।


12 दिसंबर, 2009 को, पूर्व रिकॉर्ड के लेखकों के अलावा सेंट्रम विस्कुंडे और इंफॉर्मेटिका, [[ईपीएफएल]], आईएनआरआईए और एनटीटी के शोधकर्ताओं सहित  टीम ने [[आरएसए-768]],  232-अंकों का सेमीप्राइम तैयार किया।<ref>{{cite web |url=http://eprint.iacr.org/2010/006.pdf|access-date=2013-04-11 |title=Factorization of a 768-bit RSA modulus|author1=T. Kleinjung |author2=K. Aoki |author3=J. Franke |author4=A. K. Lenstra |author5=E. Thomé |author6=J. W. Bos |author7=P. Gaudry |author8=A. Kruppa |author9=P. L. Montgomery |author10=D. A. Osvik |author11=H. te Riele |author12=A. Timofeev |author13=P. Zimmermann }}</ref> उन्होंने सिंगल कोर 2.2 गीगाहर्ट्ज [[ उन्नत लघु उपकरण |एएमडी]] ओपर्टन पर लगभग 2000 वर्षों की कंप्यूटिंग के समान का उपयोग किया।
12 दिसंबर, 2009 को, पूर्व रिकॉर्ड के लेखकों के अतिरिक्त सेंट्रम विस्कुंडे और इंफॉर्मेटिका, [[ईपीएफएल]], आईएनआरआईए और एनटीटी के शोधकर्ताओं सहित  समूह ने [[आरएसए-768]],  232-अंकों का सेमीप्राइम तैयार किया।<ref>{{cite web |url=http://eprint.iacr.org/2010/006.pdf|access-date=2013-04-11 |title=Factorization of a 768-bit RSA modulus|author1=T. Kleinjung |author2=K. Aoki |author3=J. Franke |author4=A. K. Lenstra |author5=E. Thomé |author6=J. W. Bos |author7=P. Gaudry |author8=A. Kruppa |author9=P. L. Montgomery |author10=D. A. Osvik |author11=H. te Riele |author12=A. Timofeev |author13=P. Zimmermann }}</ref> उन्होंने सिंगल कोर 2.2 गीगाहर्ट्ज [[ उन्नत लघु उपकरण |एएमडी]] ओपर्टन पर लगभग 2000 वर्षों की कंप्यूटिंग के समान का उपयोग किया।


नवंबर 2019 में, 795-बिट (240-अंक) [[RSA-240|आरएसए-240]] को फैब्रिस बौडोट, पियरिक गौड्री, ऑरोर गुइलेविक, नादिया हेनिंगर, इमैनुएल थॉम और पॉल ज़िम्मरमैन द्वारा तैयार किया गया था।<ref>{{Cite web |url=https://lists.gforge.inria.fr/pipermail/cado-nfs-discuss/2019-December/001139.html |title=&#91;Cado-NFS-discuss&#93; 795-bit factoring and discrete logarithms |access-date=2019-12-03 |archive-date=2019-12-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191202190004/https://lists.gforge.inria.fr/pipermail/cado-nfs-discuss/2019-December/001139.html |url-status=dead }}</ref><ref>F. Boudot et al, [https://eprint.iacr.org/2020/697 "Comparing the difficulty of factorization and discrete logarithm: a 240-digit experiment,"] June 10, 2020.</ref>फरवरी 2020 में, 829-बिट (250-अंकीय) [[RSA-250|आरएसए-250]] का गुणनखंड पूर्ण हो गया था।<ref>{{Cite web|url=https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;dc42ccd1.2002|title = LISTSERV - NMBRTHRY Archives - LISTSERV.NODAK.EDU}}</ref>
नवंबर 2019 में, 795-बिट (240-अंक) [[RSA-240|आरएसए-240]] को फैब्रिस बौडोट, पियरिक गौड्री, ऑरोर गुइलेविक, नादिया हेनिंगर, इमैनुएल थॉम और पॉल ज़िम्मरमैन द्वारा तैयार किया गया था।<ref>{{Cite web |url=https://lists.gforge.inria.fr/pipermail/cado-nfs-discuss/2019-December/001139.html |title=&#91;Cado-NFS-discuss&#93; 795-bit factoring and discrete logarithms |access-date=2019-12-03 |archive-date=2019-12-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191202190004/https://lists.gforge.inria.fr/pipermail/cado-nfs-discuss/2019-December/001139.html |url-status=dead }}</ref><ref>F. Boudot et al, [https://eprint.iacr.org/2020/697 "Comparing the difficulty of factorization and discrete logarithm: a 240-digit experiment,"] June 10, 2020.</ref>फरवरी 2020 में, 829-बिट (250-अंकीय) [[RSA-250|आरएसए-250]] का गुणनखंड पूर्ण हो गया था।<ref>{{Cite web|url=https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;dc42ccd1.2002|title = LISTSERV - NMBRTHRY Archives - LISTSERV.NODAK.EDU}}</ref>


== विशेष रूप की संख्याएँ ==
== विशेष रूप की संख्याएँ ==
12<sup>151</sup>- 542 बिट्स (163 अंक) में से 1, अप्रैल और जुलाई 1993 के मध्य सेंट्रम विस्कुंडे एंड इंफॉर्मेटिका और [[ओरेगन स्टेट यूनिवर्सिटी]] की टीम द्वारा फैक्टर किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://krum.rz.uni-mannheim.de/cabench/sieve-record.html|access-date=2007-11-23|title=रिकॉर्ड संख्या फ़ील्ड चलनी फ़ैक्टराइज़ेशन|author=P. L. Montgomery }}</ref>
12<sup>151</sup>- 542 बिट्स (163 अंक) में से 1, अप्रैल और जुलाई 1993 के मध्य सेंट्रम विस्कुंडे एंड इंफॉर्मेटिका और [[ओरेगन स्टेट यूनिवर्सिटी]] की समूह द्वारा गुणनखंडन किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://krum.rz.uni-mannheim.de/cabench/sieve-record.html|access-date=2007-11-23|title=रिकॉर्ड संख्या फ़ील्ड चलनी फ़ैक्टराइज़ेशन|author=P. L. Montgomery }}</ref> 774 बिट्स (233 अंक) में से 2<sup>773</sup>+1, अप्रैल और नवंबर 2000 के मध्य 'द कैबल' द्वारा गुणनखंडन किया गया था, क्रे पर 250 घंटों से अधिक समय तक किए गए आव्यूह चरण का उपयोग आरएसए-155 के लिए भी किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://ftp.cwi.nl/herman/SNFSrecords/SNFS-233|access-date=2007-11-23|title=233-digit SNFS factorization|author=The Cabal|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20071128061126/http://ftp.cwi.nl/herman/SNFSrecords/SNFS-233|archive-date=2007-11-28}}</ref>2<sup>809</sup>-- 809 बिट्स (244 अंक) में से 1, के गुणनखंडन की घोषणा जनवरी 2003 की प्रारम्भ में की गई थी। सीडब्ल्यूआई, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग संस्थान और बॉन विश्वविद्यालय के शुद्ध गणित विभाग में जे. फ्रांके, टी. क्लेनजंग और एफ. बह्र के सदस्य के निजी संसाधन का उपयोग करके सीव का कार्य किया गया था। रैखिक बीजगणित का चरण एम्स्टर्डम में सारा में पी. मोंटगोमरी द्वारा किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://ftp.cwi.nl/herman/SNFSrecords/SNFS-244|access-date=2007-11-23|title=M809|author=J. Franke|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20070823181923/http://ftp.cwi.nl/herman/SNFSrecords/SNFS-244|archive-date=2007-08-23}}</ref>6<sup>353</sup>- 1, 911 बिट्स (275 अंक) में से 1 को सितंबर 2005 और जनवरी 2006 के मध्य एओकी, किडा, शिमोयामा और उएडा द्वारा गुणनखंडन किया गया था।<ref>{{cite web |url=http://www.loria.fr/~zimmerma/records/6353|access-date=2007-05-23 |title=SNFS274|author1=K. Aoki |author2=Y. Kida |author3=T. Shimoyama |author4=H. Ueda }}</ref>2<sup>1039</sup>-- 1039 बिट्स (313 अंक) में से 1 (चूँकि 23 बिट्स का कारक पूर्व से ही ज्ञात था) को सितंबर 2006 और मई 2007 के मध्य के. आओकी, जे. फ्रांके, टी. क्लेनजंग सहित  ओस्विक, एनटीटी, ईपीएफएल के समूह द्वारा बॉन विश्वविद्यालय में कंप्यूटर का उपयोग करके गुणनखंडन किया गया था। <ref>{{cite web  | url=http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0705&L=nmbrthry&T=0&P=1019  |access-date=2007-05-23 | title=Factorization of the 1039th Mersenne number |author1=K. Aoki  |author2=J. Franke  |author3=T. Kleinjung  |author4=A. K. Lenstra  |author5=D. A. Osvik }}</ref><ref>{{cite web  | url=http://eprint.iacr.org/2007/205  |author1=Kazumaro Aoki  |author2=Jens Franke  |author3=Thorsten Kleinjung  |author4=Arjen Lenstra  |author5=Dag Arne Osvik  |access-date=2007-12-19  | title=A kilobit special number field sieve factorization}}</ref>2<sup>1061</sup> - 1, 1061 बिट्स (320 अंक) में से 1 को 2011 की प्रारम्भ और 4 अगस्त 2012 के मध्य सीएसयू फुलर्टन में ग्रेग चाइल्डर्स की अध्यक्षता वाले समूह द्वारा लगभग 300 सीपीयू-वर्षों की छंटाई के लिए एनएफएस@होम बीओआईएनसी प्रोजेक्ट का उपयोग करके गुणनखंडन किया गया था। रैखिक बीजगणित एसडीएससी में ट्रेस्टल्स क्लस्टर और टीएसीसी में लोनस्टार क्लस्टर में चलाया गया था और अतिरिक्त 35 सीपीयू-वर्ष की आवश्यकता थी।<ref>{{cite journal | url=http://eprint.iacr.org/2012/444 |title=Factorization of a 1061-bit number by the Special Number Field Sieve |author=Greg Childers|journal=Cryptology ePrint Archive |year=2012 }}</ref>1000 और 1200 के मध्य n के साथ संख्या 2<sup>n</sup> − 1  के सभी अकारकभाग को बहु-संख्या-सीव दृष्टिकोण द्वारा गुणनखंडित किया गया था जिसमें टी. क्लेनजंग, जे. बोस और समूह द्वारा कई संख्याओं के लिए सीव का कार्य किया जा सकता था। बोस और ए.के. लेनस्ट्रा, 2010 में प्रारम्भ<ref>{{cite web | url=http://eprint.iacr.org/2014/653 | title=मेर्सन फ़ैक्टराइज़ेशन फ़ैक्टरी|author1=Thorsten Kleinjung |author2=Joppe W Bos |author3=Arjen K Lenstra | access-date=2015-01-18}}</ref> त्रुटिहीन होने के लिए, n=1081 (326 अंक) 11 मार्च 2013 को पूर्ण हुआ; n=1111 (335 अंक) 13 जून 2013 को; n=1129 (340 अंक) 20 सितंबर 2013 को; 28 अक्टूबर 2013 को n=1153 (348 अंक); n=1159 (349 अंक) 9 फरवरी 2014 को; 29 मई 2014 को n=1177 (355 अंक), 22 अगस्त 2014 को n=1193 (360 अंक), और 11 दिसंबर 2014 को n=1199 (361 अंक); प्रथम विस्तृत घोषणा अगस्त 2014 के अंत में की गई थी। परियोजना के लिए कुल प्रयास 2.2 गीगाहर्ट्ज़ ओप्टेरॉन पर 7500 सीपीयू-वर्षों के क्रम का है, जिसमें लगभग 5700 वर्ष सीव और रैखिक बीजगणित पर 1800 वर्ष व्यतीत हुए हैं।
2<sup>774 बिट्स (233 अंक) में से 773</sup>+1, अप्रैल और नवंबर 2000 के मध्य 'द कैबल' द्वारा फैक्टर किया गया था, क्रे पर 250 घंटों से अधिक समय तक किए गए मैट्रिक्स चरण का उपयोग आरएसए-155 के लिए भी किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://ftp.cwi.nl/herman/SNFSrecords/SNFS-233|access-date=2007-11-23|title=233-digit SNFS factorization|author=The Cabal|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20071128061126/http://ftp.cwi.nl/herman/SNFSrecords/SNFS-233|archive-date=2007-11-28}}</ref>
2<sup>809</sup>-- 809 बिट्स (244 अंक) में से 1, के गुणनखंडन की घोषणा जनवरी 2003 की शुरुआत में की गई थी। सीडब्ल्यूआई, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग संस्थान और बॉन विश्वविद्यालय के शुद्ध गणित विभाग में छानने का काम किया गया था, और इसका उपयोग किया गया था जे. फ्रांके, टी. क्लेनजंग और एफ. बह्र के परिवार के निजी संसाधन। रैखिक बीजगणित का चरण एम्स्टर्डम में सारामें पी. मोंटगोमरी द्वारा किया गया था।<ref>{{cite web|url=http://ftp.cwi.nl/herman/SNFSrecords/SNFS-244|access-date=2007-11-23|title=M809|author=J. Franke|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20070823181923/http://ftp.cwi.nl/herman/SNFSrecords/SNFS-244|archive-date=2007-08-23}}</ref>
6<sup>911 बिट्स (275 अंक) में से 353</sup>- 1 को सितंबर 2005 और जनवरी 2006 के मध्य विशेष संख्या फ़ील्ड छलनी का उपयोग करके एओकी, किडा, शिमोयामा और उएडा द्वारा फैक्टर किया गया था।<ref>{{cite web |url=http://www.loria.fr/~zimmerma/records/6353|access-date=2007-05-23 |title=SNFS274|author1=K. Aoki |author2=Y. Kida |author3=T. Shimoyama |author4=H. Ueda }}</ref>
2<sup>1039</sup>-- 1039 बिट्स (313 अंक) में से 1 (हालांकि 23 बिट्स का कारक पहले से ही ज्ञात था) को सितंबर 2006 और मई 2007 के मध्य के. आओकी, जे. फ्रांके, टी. क्लेनजंग सहित  समूह द्वारा फैक्टर किया गया था। ए.<ref>{{cite web  | url=http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0705&L=nmbrthry&T=0&P=1019  |access-date=2007-05-23 | title=Factorization of the 1039th Mersenne number |author1=K. Aoki  |author2=J. Franke  |author3=T. Kleinjung  |author4=A. K. Lenstra  |author5=D. A. Osvik }}</ref><ref>{{cite web  | url=http://eprint.iacr.org/2007/205  |author1=Kazumaro Aoki  |author2=Jens Franke  |author3=Thorsten Kleinjung  |author4=Arjen Lenstra  |author5=Dag Arne Osvik  |access-date=2007-12-19  | title=A kilobit special number field sieve factorization}}</ref>
2<sup>1061</sup> - 1, 1061 बिट्स (320 अंक) में से 1 को 2011 की शुरुआत और 4 अगस्त 2012 के मध्य सीएसयू फुलर्टन में ग्रेग चाइल्डर्स की अध्यक्षता वाले समूह द्वारा लगभग 300 सीपीयू-वर्षों की छंटाई के लिए एनएफएस@होम बीओआईएनसी प्रोजेक्ट का उपयोग करके फैक्टर किया गया था। ; रैखिक बीजगणित एसडीएससी में ट्रेस्टल्स क्लस्टर और टीएसीसी में लोनस्टार क्लस्टर में चलाया गया था और अतिरिक्त 35 सीपीयू-वर्ष की आवश्यकता थी।<ref>{{cite journal | url=http://eprint.iacr.org/2012/444 |title=Factorization of a 1061-bit number by the Special Number Field Sieve |author=Greg Childers|journal=Cryptology ePrint Archive |year=2012 }}</ref>
संख्या 2 के सभी अकारक भाग<sup>n</sup> − 1000 और 1200 के मध्य n के साथ 1 को बहु-संख्या-छलनी दृष्टिकोण द्वारा गुणनखंडित किया गया था जिसमें टी. क्लेनजंग, जे. बोस और समूह द्वारा कई संख्याओं के लिए साथ अधिक सारे छानने का काम किया जा सकता था। ए.के. लेनस्ट्रा, 2010 में शुरू।<ref>{{cite web | url=http://eprint.iacr.org/2014/653 | title=मेर्सन फ़ैक्टराइज़ेशन फ़ैक्टरी|author1=Thorsten Kleinjung |author2=Joppe W Bos |author3=Arjen K Lenstra | access-date=2015-01-18}}</ref> सटीक होने के लिए, n=1081 (326 अंक) 11 मार्च 2013 को पूर्ण हुआ; n=1111 (335 अंक) 13 जून 2013 को; n=1129 (340 अंक) 20 सितंबर 2013 को; 28 अक्टूबर 2013 को n=1153 (348 अंक); n=1159 (349 अंक) 9 फरवरी 2014 को; 29 मई 2014 को n=1177 (355 अंक), 22 अगस्त 2014 को n=1193 (360 अंक), और 11 दिसंबर 2014 को n=1199 (361 अंक); प्रथम विस्तृत घोषणा अगस्त 2014 के अंत में की गई थी। परियोजना के लिए कुल प्रयास 2.2 गीगाहर्ट्ज़ ओप्टेरॉन पर 7500 सीपीयू-वर्षों के क्रम का है, जिसमें लगभग 5700 वर्ष छानने और रैखिक बीजगणित पर 1800 वर्ष व्यतीत हुए हैं।


==व्यक्तियों के प्रयासों की तुलना==
==व्यक्तियों के प्रयासों की अपेक्षा==


2007 के अंत तक, मेमोरी की कीमतों में लगातार गिरावट, मल्टी-कोर 64-बिट कंप्यूटर की तैयार उपलब्धता और जीजीएनएफएस के माध्यम से कुशल सिविंग कोड (बॉन समूह के थॉर्स्टन क्लेनजंग द्वारा विकसित) की उपलब्धता के लिए धन्यवाद।<ref>{{cite web |url=http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=140917 |title=जीजीएनएफएस सुइट - सोर्सफोर्ज.नेट पर फ़ाइलें ब्राउज़ करें|website=sourceforge.net}}</ref> और msieve जैसे मजबूत ओपन-सोर्स सॉफ़्टवेयर का<ref>{{cite web |url=http://www.boo.net/~jasonp/qs.html |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2007-11-23 |url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20071213020640/http://www.boo.net/~jasonp/qs.html |archive-date=2007-12-13 }}</ref> अंतिम चरणों के लिए, 750 बिट्स (226 अंक) तक की विशेष-रूप संख्याओं और लगभग 520 बिट्स (157 अंकों) तक की सामान्य-रूप संख्याओं को कुछ महीनों में  ही व्यक्ति द्वारा कुछ पीसी पर फैक्टर किया जा सकता है। विशेष गणितीय अनुभव.<ref>{{cite web |url=http://www.mersenneforum.org/showpost.php?p=124079&postcount=97 |title=mersenneforum.org - View Single Post - 2LM Table |website=www.mersenneforum.org}}</ref> ये सीमाएँ लगभग 950 बिट्स (286 अंक) तक बढ़ जाती हैं<ref>{{cite web |url=http://www.mersenneforum.org/showpost.php?p=201624&postcount=106 |title=mersenneforum.org - एकल पोस्ट देखें - नाम के योग्य एक गणना|website=www.mersenneforum.org}}</ref> और 600 बिट्स (181 अंक)<ref>{{cite web |url=http://www.mersenneforum.org/showpost.php?p=149332&postcount=114 |title=mersenneforum.org - View Single Post - 5^421-1 sieving (reservations closed) |website=www.mersenneforum.org}}</ref> यदि छानने के लिए कुछ दर्जन पीसी का सहयोग सुनिश्चित करना संभव होता; वर्तमान में फिनिशिंग चरण के लिए मशीन की मेमोरी की मात्रा और सीपीयू शक्ति प्रगति में समान बाधाएं हैं।
2007 के अंत तक, मेमोरी के मूल्यों में निरंतर कमी, मल्टी-कोर 64-बिट कंप्यूटर की उपलब्धता और जीजीएनएफएस के माध्यम से कुशल सिविंग कोड (बॉन समूह के थॉर्स्टन क्लेनजंग द्वारा विकसित) की उपलब्धता के लिए धन्यवाद<ref>{{cite web |url=http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=140917 |title=जीजीएनएफएस सुइट - सोर्सफोर्ज.नेट पर फ़ाइलें ब्राउज़ करें|website=sourceforge.net}}</ref> और एमसीव जैसे सशक्त ओपन-सोर्स सॉफ़्टवेयर से,<ref>{{cite web |url=http://www.boo.net/~jasonp/qs.html |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2007-11-23 |url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20071213020640/http://www.boo.net/~jasonp/qs.html |archive-date=2007-12-13 }}</ref> अंतिम चरणों के लिए, 750 बिट्स (226 अंक) तक की विशेष-रूप संख्याओं और लगभग 520 बिट्स (157 अंकों) तक की सामान्य-रूप संख्याओं का बिना किसी विशेष गणितीय अनुभव के व्यक्ति द्वारा कुछ पीसी पर कुछ महीनों में गुणनखंडन किया जा सकता है। <ref>{{cite web |url=http://www.mersenneforum.org/showpost.php?p=124079&postcount=97 |title=mersenneforum.org - View Single Post - 2LM Table |website=www.mersenneforum.org}}</ref> यदि सीव के लिए कुछ दर्जन पीसी का सहयोग सुनिश्चित करना संभव होता तो ये सीमाएँ लगभग 950 बिट्स (286 अंक) और 600 बिट्स (181 अंक तक बढ़ जाती हैं,<ref>{{cite web |url=http://www.mersenneforum.org/showpost.php?p=201624&postcount=106 |title=mersenneforum.org - एकल पोस्ट देखें - नाम के योग्य एक गणना|website=www.mersenneforum.org}}</ref>वर्तमान में फिनिशिंग चरण के लिए मशीन की मेमोरी की मात्रा और सीपीयू शक्ति प्रगति में समान बाधाएं हैं।


2009 में, बेंजामिन मूडी ने इंटरनेट पर पाए जाने वाले सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके TI-83 श्रृंखला|TI-83 ग्राफ़िंग कैलकुलेटर पर हस्ताक्षर करने के लिए 512-बिट (155-अंकीय) आरएसए कुंजी का उपयोग किया; इसने अंततः टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स को प्रमुख विवाद पर हस्ताक्षर करने के लिए प्रेरित किया।
2009 में, बेंजामिन मूडी ने इंटरनेट पर प्राप्त होने वाले सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके TI-83 ग्राफ़िंग कैलकुलेटर साइन करने के लिए 512-बिट (155-अंकीय) आरएसए कुंजी का उपयोग किया; इसने अंततः टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स को प्रमुख वर्णन पर साइन करने के लिए प्रेरित किया था।


सितंबर 2013 में, 696-बिट (210-अंकीय) आरएसए नंबर#आरएसए-210|आरएसए-210 को रयान प्रॉपर द्वारा फैक्टर किया गया था<ref>{{cite web |url=http://mersenneforum.org/showthread.php?t=18626 |title=RSA-210 factored - mersenneforum.org |website=mersenneforum.org}}</ref> संस्थागत संसाधनों का उपयोग करना; मार्च 2013 और अक्टूबर 2014 के मध्य, और 210-अंकीय संख्या ([[होम प्राइम]] अनुक्रम में 49 से शुरू होने वाला 117 वां पद) WraithX नामक उपयोगकर्ता द्वारा पूर्ण किया गया था,<ref>{{cite web |url=http://www.mersenneforum.org/showpost.php?p=389048&postcount=98 |title=mersenneforum.org - View Single Post - HP49(119)... |website=www.mersenneforum.org}}</ref> Amazon EC2 मशीनों पर $7600 मूल्य के प्रसंस्करण समय का उपयोग करना<ref>{{Cite web |url=https://mersenneforum.org/showpost.php?p=389078&postcount=105 |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2020-03-04 |archive-date=2021-04-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210416220859/https://mersenneforum.org/showpost.php?p=389078&postcount=105 |url-status=dead }}</ref> छानने के लिए, और रैखिक बीजगणित के लिए दोहरी Xeon E5-2687W v1 पर चार महीने।
सितंबर 2013 में, 696-बिट (210-अंकीय) आरएसए-210 को रयान प्रॉपर द्वारा गुणनखंडन किया गया था<ref>{{cite web |url=http://mersenneforum.org/showthread.php?t=18626 |title=RSA-210 factored - mersenneforum.org |website=mersenneforum.org}}</ref>संस्थागत संसाधनों का उपयोग करना; मार्च 2013 और अक्टूबर 2014 के मध्य, 210-अंकीय संख्या ([[होम प्राइम]] अनुक्रम में 49 से प्रारम्भ होने वाला 117 पद) व्रेथएक्स नामक उपयोगकर्ता द्वारा पूर्ण किया गया था,<ref>{{cite web |url=http://www.mersenneforum.org/showpost.php?p=389048&postcount=98 |title=mersenneforum.org - View Single Post - HP49(119)... |website=www.mersenneforum.org}}</ref> जिसमें सीव के लिए ऐमजॉन ईसी2 मशीनों पर $7600 मूल्य के प्रसंस्करण समय <ref>{{Cite web |url=https://mersenneforum.org/showpost.php?p=389078&postcount=105 |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2020-03-04 |archive-date=2021-04-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210416220859/https://mersenneforum.org/showpost.php?p=389078&postcount=105 |url-status=dead }}</ref> और रैखिक बीजगणित के लिए दोहरी जिऑन E5-2687W v1 का उपयोग किया गया था।


==क्वांटम कंप्यूटर द्वारा प्रयासों के रिकॉर्ड==
==क्वांटम कंप्यूटर द्वारा प्रयासों के रिकॉर्ड==


शोर के एल्गोरिदम द्वारा विश्वसनीय रूप से फैक्टर की गई सबसे बड़ी संख्या 21 है जिसे 2012 में फैक्टर किया गया था।<ref>{{cite journal |last=Martín-López |first=Enrique  |author2=Enrique Martín-López  |author3=Anthony Laing  |author4=Thomas Lawson  |author5=Roberto Alvarez  |author6=Xiao-Qi Zhou  |author7=Jeremy L. O'Brien |title=क्वबिट रीसाइक्लिंग का उपयोग करके शोर के क्वांटम फैक्टरिंग एल्गोरिदम का प्रायोगिक कार्यान्वयन|journal=Nature Photonics |volume=6  |issue=11  |pages=773–776  |date=12 October 2012 |doi=10.1038/nphoton.2012.259 |arxiv = 1111.4147  |bibcode = 2012NaPho...6..773M |s2cid=46546101 }}</ref> 15 को पहले कई प्रयोगशालाओं द्वारा फैक्टर किया गया था।
शोर के एल्गोरिदम द्वारा विश्वसनीय रूप से गुणनखंडन की गई सबसे बड़ी संख्या 21 है जिसे 2012 में गुणनखंडन किया गया था।<ref>{{cite journal |last=Martín-López |first=Enrique  |author2=Enrique Martín-López  |author3=Anthony Laing  |author4=Thomas Lawson  |author5=Roberto Alvarez  |author6=Xiao-Qi Zhou  |author7=Jeremy L. O'Brien |title=क्वबिट रीसाइक्लिंग का उपयोग करके शोर के क्वांटम फैक्टरिंग एल्गोरिदम का प्रायोगिक कार्यान्वयन|journal=Nature Photonics |volume=6  |issue=11  |pages=773–776  |date=12 October 2012 |doi=10.1038/nphoton.2012.259 |arxiv = 1111.4147  |bibcode = 2012NaPho...6..773M |s2cid=46546101 }}</ref> 15 को पूर्व कई प्रयोगशालाओं द्वारा गुणनखंडन किया गया था।


अप्रैल 2012 में, का गुणनखंडन <math>143=13\times11</math> कमरे के तापमान (300K) द्वारा NMR एडियाबैटिक क्वांटम गणना की रिपोर्ट शिन्हुआ पेंग के नेतृत्व वाले समूह द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web|url=http://phys.org/news/2012-04-largest-factored-quantum-algorithm.html|title=143 is largest number yet to be factored by a quantum algorithm}}</ref> नवंबर 2014 में इसकी खोज हुई थी  2012 के प्रयोग ने वास्तव में बिना जाने-समझे अधिक बड़ी संख्याओं को शामिल कर लिया था। <ref>{{cite web |url=http://phys.org/news/2014-11-largest-factored-quantum-device.html |title=New largest number factored on a quantum device is 56,153}}</ref><ref>{{cite web |url=https://medium.com/the-physics-arxiv-blog/the-mathematical-trick-that-helped-smash-the-record-for-the-largest-number-ever-factorised-by-a-77fde88499 |title=वह गणितीय युक्ति जिसने किसी द्वारा गुणनखंडित अब तक की सबसे बड़ी संख्या का रिकॉर्ड तोड़ने में मदद की...|date=2 December 2014 }}</ref> अप्रैल 2016 में 18-बिट संख्या 200,099 को डी-वेव 2X क्वांटम प्रोसेसर पर [[क्वांटम एनीलिंग]] का उपयोग करके फैक्टर किया गया था।<ref>{{cite journal |arxiv=1604.05796 |title=क्वांटम एनीलिंग और कम्प्यूटेशनल बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करके प्राइम फ़ैक्टराइज़ेशन|first1=Raouf |last1=Dridi |first2=Hedayat |last2=Alghassi |date=21 February 2017 |journal=Scientific Reports |volume=7 |pages=43048 |doi=10.1038/srep43048 |pmid=28220854 |pmc=5318873|bibcode=2017NatSR...743048D }}</ref> कुछ ही समय पश्चात, 291 311 को कमरे के तापमान से अधिक पर एनएमआर का उपयोग करके फैक्टर किया गया।<ref>{{cite arXiv|last1=Li|first1=Zhaokai|last2=Dattani|first2=Nike|last3=Chen|first3=Xi|last4=Liu|first4=Xiaomei|last5=Wang|first5=Hengyan|last6=Tanburn|first6=Richard|last7=Chen|first7=Hongwei|last8=Peng|first8=Xinhua|last9=Du|first9=Jiangfeng|title=High-fidelity adiabatic quantum computation using the intrinsic Hamiltonian of a spin system: Application to the experimental factorization of 291311|date=25 June 2017|eprint=1706.08061|class=quant-ph}}</ref> 2019 के अंत में, [[ज़पाटा कंप्यूटिंग]] ने 1,099,551,473,989 फ़ैक्टर करने का दावा किया,<ref>{{Cite web|last=Crane|first=Leah|title=क्वांटम कंप्यूटर ने अभाज्य संख्या गुणनखंड खोजने में नया कीर्तिमान स्थापित किया|url=https://www.newscientist.com/article/2227387-quantum-computer-sets-new-record-for-finding-prime-number-factors/|access-date=2020-10-02|website=New Scientist|language=en-US}}</ref> और 2021 में इस गणना का वर्णन करने वाला  पेपर जारी किया।<ref name=zapata>{{cite journal |url=https://www.nature.com/articles/s41534-021-00478-z |title=सुपरकंडक्टिंग क्वांटम प्रोसेसर पर वैरिएबल क्वांटम फैक्टरिंग के प्रदर्शन का विश्लेषण|first1=Amir |last1=Karamlou |first2=William |last2=Simon |date=28 October 2021 |journal=npj Quantum Information |volume=7|page=156 |doi=10.1038/s41534-021-00478-z|arxiv=2012.07825 |bibcode=2021npjQI...7..156K |s2cid=229156747 }}</ref>
अप्रैल 2012 में, <math>143=13\times11</math> का गुणनखंडन कमरे के तापमान (300K) द्वारा NMR एडियाबैटिक क्वांटम गणना की रिपोर्ट शिन्हुआ पेंग के नेतृत्व वाले समूह द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web|url=http://phys.org/news/2012-04-largest-factored-quantum-algorithm.html|title=143 is largest number yet to be factored by a quantum algorithm}}</ref> नवंबर 2014 में यह ज्ञात हुआ कि 2012 के प्रयोग ने वास्तव में बिना विचार किए अधिक बड़ी संख्याओं को सम्मिलित कर लिया था। <ref>{{cite web |url=http://phys.org/news/2014-11-largest-factored-quantum-device.html |title=New largest number factored on a quantum device is 56,153}}</ref><ref>{{cite web |url=https://medium.com/the-physics-arxiv-blog/the-mathematical-trick-that-helped-smash-the-record-for-the-largest-number-ever-factorised-by-a-77fde88499 |title=वह गणितीय युक्ति जिसने किसी द्वारा गुणनखंडित अब तक की सबसे बड़ी संख्या का रिकॉर्ड तोड़ने में मदद की...|date=2 December 2014 }}</ref> अप्रैल 2016 में 18-बिट संख्या 200,099 को डी-वेव 2X क्वांटम प्रोसेसर पर [[क्वांटम एनीलिंग]] का उपयोग करके गुणनखंडन किया गया था।<ref>{{cite journal |arxiv=1604.05796 |title=क्वांटम एनीलिंग और कम्प्यूटेशनल बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करके प्राइम फ़ैक्टराइज़ेशन|first1=Raouf |last1=Dridi |first2=Hedayat |last2=Alghassi |date=21 February 2017 |journal=Scientific Reports |volume=7 |pages=43048 |doi=10.1038/srep43048 |pmid=28220854 |pmc=5318873|bibcode=2017NatSR...743048D }}</ref> कुछ ही समय पश्चात, 291 311 को कमरे के तापमान से अधिक पर एनएमआर का उपयोग करके गुणनखंडन किया गया।<ref>{{cite arXiv|last1=Li|first1=Zhaokai|last2=Dattani|first2=Nike|last3=Chen|first3=Xi|last4=Liu|first4=Xiaomei|last5=Wang|first5=Hengyan|last6=Tanburn|first6=Richard|last7=Chen|first7=Hongwei|last8=Peng|first8=Xinhua|last9=Du|first9=Jiangfeng|title=High-fidelity adiabatic quantum computation using the intrinsic Hamiltonian of a spin system: Application to the experimental factorization of 291311|date=25 June 2017|eprint=1706.08061|class=quant-ph}}</ref> 2019 के अंत में, [[ज़पाटा कंप्यूटिंग]] ने 1,099,551,473,989 गुणनखंडन करने का दावा किया,<ref>{{Cite web|last=Crane|first=Leah|title=क्वांटम कंप्यूटर ने अभाज्य संख्या गुणनखंड खोजने में नया कीर्तिमान स्थापित किया|url=https://www.newscientist.com/article/2227387-quantum-computer-sets-new-record-for-finding-prime-number-factors/|access-date=2020-10-02|website=New Scientist|language=en-US}}</ref> और 2021 में इस गणना का वर्णन करने पेपर प्रस्तुत किया गया था।<ref name=zapata>{{cite journal |url=https://www.nature.com/articles/s41534-021-00478-z |title=सुपरकंडक्टिंग क्वांटम प्रोसेसर पर वैरिएबल क्वांटम फैक्टरिंग के प्रदर्शन का विश्लेषण|first1=Amir |last1=Karamlou |first2=William |last2=Simon |date=28 October 2021 |journal=npj Quantum Information |volume=7|page=156 |doi=10.1038/s41534-021-00478-z|arxiv=2012.07825 |bibcode=2021npjQI...7..156K |s2cid=229156747 }}</ref>दिसंबर 2022 में, 48-बिट गुणनखंडन <math> 261,980,999,226,229 = 15538213 \times 16860433 </math> चीन में समूह द्वारा 10-क्यूबिट फ्लिप-चिप [[सुपरकंडक्टिंग क्वांटम कंप्यूटिंग]] का उपयोग करके पूर्ण किया गया था।<ref>{{cite arXiv |eprint=2212.12372|last1=Yan |first1=Bao |last2=Tan |first2=Ziqi |last3=Wei |first3=Shijie |last4=Jiang |first4=Haocong |last5=Wang |first5=Weilong |last6=Wang |first6=Hong |last7=Luo |first7=Lan |last8=Duan |first8=Qianheng |last9=Liu |first9=Yiting |last10=Shi |first10=Wenhao |last11=Fei |first11=Yangyang |last12=Meng |first12=Xiangdong |last13=Han |first13=Yu |last14=Shan |first14=Zheng |last15=Chen |first15=Jiachen |last16=Zhu |first16=Xuhao |last17=Zhang |first17=Chuanyu |last18=Jin |first18=Feitong |last19=Li |first19=Hekang |last20=Song |first20=Chao |last21=Wang |first21=Zhen |last22=Ma |first22=Zhi |last23=Wang |first23=H. |last24=Long |first24=Gui-Lu |title=सुपरकंडक्टिंग क्वांटम प्रोसेसर पर सबलीनियर संसाधनों के साथ पूर्णांकों का फैक्टरिंग|year=2022 |class=quant-ph }}</ref> समूह ने क्रमशः 3 और 5 सुपरकंडक्टिंग क्वैबिट के साथ 11-बिट पूर्णांक 1961 और 26-बिट पूर्णांक 48567227 का भी गुणनखंडन किया था। चूँकि, समूह द्वारा इस दृष्टिकोण को श्रेष्ठ-क्वांटम हाइब्रिड के रूप में वर्णित किया गया था, जिसमें श्नोर के गुणनखंडन एल्गोरिदम में उपयोग की जाने वाली समय लेने वाली एसआर-जोड़ी पीढ़ी को अनुकूलित करने के लिए क्वांटम अनुमानित अनुकूलन एल्गोरिदम का<ref>{{citation |first = Claus| last=Schnorr |title = Fast Factoring Integers by SVP Algorithms, corrected |year = 2021 |url = https://eprint.iacr.org/2021/933 |journal=Cryptology ePrint Archive}}</ref> और परिणामी रैखिक समीकरणों का निवारण करने के लिए  क्लासिकल कंप्यूटर उपयोग किया गया था।
दिसंबर 2022 में, 48-बिट फ़ैक्टराइज़ेशन <math> 261,980,999,226,229 = 15538213 \times 16860433 </math> चीन में टीम द्वारा 10-क्यूबिट फ्लिप-चिप [[सुपरकंडक्टिंग क्वांटम कंप्यूटिंग]] का उपयोग करके पूर्ण किया गया था।<ref>{{cite arXiv |eprint=2212.12372|last1=Yan |first1=Bao |last2=Tan |first2=Ziqi |last3=Wei |first3=Shijie |last4=Jiang |first4=Haocong |last5=Wang |first5=Weilong |last6=Wang |first6=Hong |last7=Luo |first7=Lan |last8=Duan |first8=Qianheng |last9=Liu |first9=Yiting |last10=Shi |first10=Wenhao |last11=Fei |first11=Yangyang |last12=Meng |first12=Xiangdong |last13=Han |first13=Yu |last14=Shan |first14=Zheng |last15=Chen |first15=Jiachen |last16=Zhu |first16=Xuhao |last17=Zhang |first17=Chuanyu |last18=Jin |first18=Feitong |last19=Li |first19=Hekang |last20=Song |first20=Chao |last21=Wang |first21=Zhen |last22=Ma |first22=Zhi |last23=Wang |first23=H. |last24=Long |first24=Gui-Lu |title=सुपरकंडक्टिंग क्वांटम प्रोसेसर पर सबलीनियर संसाधनों के साथ पूर्णांकों का फैक्टरिंग|year=2022 |class=quant-ph }}</ref> टीम ने क्रमशः 3 और 5 सुपरकंडक्टिंग क्वैबिट के साथ 11-बिट पूर्णांक 1961 और 26-बिट पूर्णांक 48567227 को भी फैक्टर किया। हालाँकि, टीम द्वारा इस दृष्टिकोण को शास्त्रीय-क्वांटम हाइब्रिड के रूप में वर्णित किया गया था, जिसमें श्नोर के फैक्टरिंग एल्गोरिदम में उपयोग की जाने वाली समय लेने वाली एसआर-जोड़ी पीढ़ी को अनुकूलित करने के लिए क्वांटम अनुकूलन एल्गोरिदम#क्वांटम अनुमानित अनुकूलन एल्गोरिदम का उपयोग किया गया था।<ref>{{citation |first = Claus| last=Schnorr |title = Fast Factoring Integers by SVP Algorithms, corrected |year = 2021 |url = https://eprint.iacr.org/2021/933 |journal=Cryptology ePrint Archive}}</ref> और परिणामी रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए  शास्त्रीय कंप्यूटर।


इस प्रकार, क्वांटम कंप्यूटरों के साथ फैक्टरिंग के दावों की आवश्यक क्वैबिट की संख्या को कम करने के लिए शास्त्रीय गणना पर भारी निर्भरता के लिए आलोचना की गई है।<ref>{{Cite web|last=Gidney|first=Craig|title=क्वांटम कंप्यूटर के साथ अब तक की सबसे बड़ी संख्या का गुणनखंडन|url=https://algassert.com/post/2000|access-date=2022-07-18|website=Blog|language=en-US}}</ref>
इस प्रकार, क्वांटम कंप्यूटरों के साथ गुणनखंडन के वर्णन की आवश्यक क्वैबिट की संख्या को कम करने के लिए श्रेष्ठ गणना पर अधिक निर्भरता के लिए आलोचना की गई है।<ref>{{Cite web|last=Gidney|first=Craig|title=क्वांटम कंप्यूटर के साथ अब तक की सबसे बड़ी संख्या का गुणनखंडन|url=https://algassert.com/post/2000|access-date=2022-07-18|website=Blog|language=en-US}}</ref> उदाहरण के लिए, 1,099,551,473,989 का गुणनखंडीकरण समस्या को तीन-क्विबिट क्वांटम परिपथ तक कम करने के लिए श्रेष्ठ प्री-प्रोसेसिंग पर निर्भर करता है।<ref name=zapata/> इसके अतिरिक्त, इस पेपर में सम्मिलित तीन संख्याओं (200,099, 291,311, और 1,099,551,473,989) को फ़र्मेट की गुणनखंडन विधि का उपयोग करके सरलता से इसका फ़ैक्टर किया जा सकता है, जिसके लिए क्रमशः लूप के केवल 3, 1, और 1 इटरेशन की आवश्यकता होती है।
<ref>{{Cite journal|last=Smolin|first=John A.|title=क्वांटम फैक्टरिंग का अत्यधिक सरलीकरण|journal=Nature|year=2013 |volume=499 |issue=7457 |pages=163–165 |doi=10.1038/nature12290 |pmid=23846653 |arxiv=1301.7007 |bibcode=2013Natur.499..163S |s2cid=118613892 |language=en-US}}</ref>
उदाहरण के लिए, 1,099,551,473,989 का गुणनखंडीकरण समस्या को तीन-क्विबिट क्वांटम सर्किट तक कम करने के लिए शास्त्रीय पूर्व-प्रसंस्करण पर निर्भर करता है।<ref name=zapata/>इसके अलावा, इस पेपर में शामिल तीन संख्याओं (200,099, 291,311, और 1,099,551,473,989) को फ़र्मेट की फ़ैक्टराइज़ेशन विधि का उपयोग करके आसानी से फ़ैक्टर किया जा सकता है, जिसके लिए क्रमशः लूप के केवल 3, 1, और 1 पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है।


==यह भी देखें==
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पूर्णांक गुणनखंडन यह निर्धारित करने की प्रक्रिया है कि कौन सी अभाज्य संख्याएँ किसी दिए गए धनात्मक पूर्णांक को विभाजित करती हैं। इसे शीघ्रता से करने से क्रिप्टोग्राफी में अनुप्रयोग होते हैं। कठिनाई, संख्या और उसके अभाज्य गुणनखंडों के आकार और रूप दोनों पर निर्भर करती है; वर्तमान में बड़े सेमीप्राइम्स (और, वास्तव में, अधिकांश संख्याएँ जिनमें कोई छोटा गुणनखंड नहीं है) का गुणनखंडन करना अधिक कठिन है।

सामान्य रूप की संख्याएँ

प्रथम विशाल वितरित कारकीकरण आरएसए-129 था, जो 1977 के साइंटिफिक अमेरिकन लेख में वर्णित 129-अंकीय चैलेंज संख्या थी जिसने प्रथम बार आरएसए क्रिप्टोसिस्टम को लोकप्रिय बनाया था। इसे सितंबर 1993 और अप्रैल 1994 के मध्य एमपीक्यूएस का उपयोग करके गुणनखंडित किया गया था, जिसमें इंटरनेट के माध्यम से लगभग 600 लोगों ने योगदान दिया था, और गणना के अंतिम चरण बेल लैब्स में मासपार सुपरकंप्यूटर पर किए गए थे।

जनवरी और अगस्त 1999 के मध्य, आरएसए-155, आरएसए कंपनी द्वारा तैयार किया गया 155-अंकीय चैलेंज संख्या, बड़े समूह द्वारा पुनः योगदान किए गए संबंधों के साथ जीएनएफएस का उपयोग करके गुणनखंडित किया गया था, और गणना के अंतिम चरण केवल नौ दिनों में सारा एम्स्टर्डम अकादमिक कंप्यूटर सेंटर में क्रे C90 सुपर कंप्यूटर पर पूर्ण किए गए थे।

जनवरी 2002 में, फ्रांके एट अल ने बॉन विश्वविद्यालय में लगभग 25 पीसी पर कुछ महीनों का उपयोग करके, 2953+1 के 158-अंकीय सहकारक के गुणनखंडन की घोषणा की, जिसमें अंतिम चरण छह पेंटियम-III पीसी के क्लस्टर का उपयोग करके पूर्ण किया गया था।

अप्रैल 2003 में, उसी समूह ने बीएसआई में लगभग सौ सीपीयू का उपयोग करके 160-अंकीय आरएसए-160 का गुणनखंडन किया, जिसमें एसजीआई ओरिजिन सुपरकंप्यूटर के 25 प्रोसेसर का उपयोग करके गणना के अंतिम चरण किए गए थे।

576-बिट (174-अंकीय) आरएसए-576 को बीएसआई और बॉन विश्वविद्यालय के संसाधनों का उपयोग करके दिसंबर 2003 में फ्रेंक, क्लेनजंग और एनएफएसएनईटी सहयोग के सदस्यों द्वारा तैयार किया गया था; इसके शीघ्र पश्चात, आओकी, किडा, शिमोयामा, सोनोदा और उएदा ने घोषणा की कि उन्होंने 21826+1 का 164-अंकीय सहकारक तैयार कर लिया है।

11281+1 का 176-अंकीय सहकारक को फरवरी और मई 2005 के मध्य जापान में निप्पॉन टेलीग्राफ और टेलीफोन और रिक्क्यो विश्वविद्यालय की मशीनों का उपयोग करके एओकी, किडा, शिमोयामा और उएदा द्वारा गुणनखंडन किया गया था।[1]663-बिट (200-अंकीय) आरएसए-200 चैलेंज संख्या को फ्रांके, क्लेनजंग एट अल द्वारा गुणनखंडन किया गया था। दिसंबर 2003 और मई 2005 के मध्य, जर्मनी में बीएसआई में 80 ओपर्टन प्रोसेसर के क्लस्टर का उपयोग करते हुए; घोषणा 9 मई 2005 को की गई थी।[2] पश्चात में उन्होंने (नवंबर 2005) छोटी आरएसए-640 चैलेंज संख्या पर विचार किया गया था।

12 दिसंबर, 2009 को, पूर्व रिकॉर्ड के लेखकों के अतिरिक्त सेंट्रम विस्कुंडे और इंफॉर्मेटिका, ईपीएफएल, आईएनआरआईए और एनटीटी के शोधकर्ताओं सहित समूह ने आरएसए-768, 232-अंकों का सेमीप्राइम तैयार किया।[3] उन्होंने सिंगल कोर 2.2 गीगाहर्ट्ज एएमडी ओपर्टन पर लगभग 2000 वर्षों की कंप्यूटिंग के समान का उपयोग किया।

नवंबर 2019 में, 795-बिट (240-अंक) आरएसए-240 को फैब्रिस बौडोट, पियरिक गौड्री, ऑरोर गुइलेविक, नादिया हेनिंगर, इमैनुएल थॉम और पॉल ज़िम्मरमैन द्वारा तैयार किया गया था।[4][5]फरवरी 2020 में, 829-बिट (250-अंकीय) आरएसए-250 का गुणनखंड पूर्ण हो गया था।[6]

विशेष रूप की संख्याएँ

12151- 542 बिट्स (163 अंक) में से 1, अप्रैल और जुलाई 1993 के मध्य सेंट्रम विस्कुंडे एंड इंफॉर्मेटिका और ओरेगन स्टेट यूनिवर्सिटी की समूह द्वारा गुणनखंडन किया गया था।[7] 774 बिट्स (233 अंक) में से 2773+1, अप्रैल और नवंबर 2000 के मध्य 'द कैबल' द्वारा गुणनखंडन किया गया था, क्रे पर 250 घंटों से अधिक समय तक किए गए आव्यूह चरण का उपयोग आरएसए-155 के लिए भी किया गया था।[8]2809-- 809 बिट्स (244 अंक) में से 1, के गुणनखंडन की घोषणा जनवरी 2003 की प्रारम्भ में की गई थी। सीडब्ल्यूआई, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग संस्थान और बॉन विश्वविद्यालय के शुद्ध गणित विभाग में जे. फ्रांके, टी. क्लेनजंग और एफ. बह्र के सदस्य के निजी संसाधन का उपयोग करके सीव का कार्य किया गया था। रैखिक बीजगणित का चरण एम्स्टर्डम में सारा में पी. मोंटगोमरी द्वारा किया गया था।[9]6353- 1, 911 बिट्स (275 अंक) में से 1 को सितंबर 2005 और जनवरी 2006 के मध्य एओकी, किडा, शिमोयामा और उएडा द्वारा गुणनखंडन किया गया था।[10]21039-- 1039 बिट्स (313 अंक) में से 1 (चूँकि 23 बिट्स का कारक पूर्व से ही ज्ञात था) को सितंबर 2006 और मई 2007 के मध्य के. आओकी, जे. फ्रांके, टी. क्लेनजंग सहित ओस्विक, एनटीटी, ईपीएफएल के समूह द्वारा बॉन विश्वविद्यालय में कंप्यूटर का उपयोग करके गुणनखंडन किया गया था। [11][12]21061 - 1, 1061 बिट्स (320 अंक) में से 1 को 2011 की प्रारम्भ और 4 अगस्त 2012 के मध्य सीएसयू फुलर्टन में ग्रेग चाइल्डर्स की अध्यक्षता वाले समूह द्वारा लगभग 300 सीपीयू-वर्षों की छंटाई के लिए एनएफएस@होम बीओआईएनसी प्रोजेक्ट का उपयोग करके गुणनखंडन किया गया था। रैखिक बीजगणित एसडीएससी में ट्रेस्टल्स क्लस्टर और टीएसीसी में लोनस्टार क्लस्टर में चलाया गया था और अतिरिक्त 35 सीपीयू-वर्ष की आवश्यकता थी।[13]1000 और 1200 के मध्य n के साथ संख्या 2n − 1 के सभी अकारकभाग को बहु-संख्या-सीव दृष्टिकोण द्वारा गुणनखंडित किया गया था जिसमें टी. क्लेनजंग, जे. बोस और समूह द्वारा कई संख्याओं के लिए सीव का कार्य किया जा सकता था। बोस और ए.के. लेनस्ट्रा, 2010 में प्रारम्भ[14] त्रुटिहीन होने के लिए, n=1081 (326 अंक) 11 मार्च 2013 को पूर्ण हुआ; n=1111 (335 अंक) 13 जून 2013 को; n=1129 (340 अंक) 20 सितंबर 2013 को; 28 अक्टूबर 2013 को n=1153 (348 अंक); n=1159 (349 अंक) 9 फरवरी 2014 को; 29 मई 2014 को n=1177 (355 अंक), 22 अगस्त 2014 को n=1193 (360 अंक), और 11 दिसंबर 2014 को n=1199 (361 अंक); प्रथम विस्तृत घोषणा अगस्त 2014 के अंत में की गई थी। परियोजना के लिए कुल प्रयास 2.2 गीगाहर्ट्ज़ ओप्टेरॉन पर 7500 सीपीयू-वर्षों के क्रम का है, जिसमें लगभग 5700 वर्ष सीव और रैखिक बीजगणित पर 1800 वर्ष व्यतीत हुए हैं।

व्यक्तियों के प्रयासों की अपेक्षा

2007 के अंत तक, मेमोरी के मूल्यों में निरंतर कमी, मल्टी-कोर 64-बिट कंप्यूटर की उपलब्धता और जीजीएनएफएस के माध्यम से कुशल सिविंग कोड (बॉन समूह के थॉर्स्टन क्लेनजंग द्वारा विकसित) की उपलब्धता के लिए धन्यवाद[15] और एमसीव जैसे सशक्त ओपन-सोर्स सॉफ़्टवेयर से,[16] अंतिम चरणों के लिए, 750 बिट्स (226 अंक) तक की विशेष-रूप संख्याओं और लगभग 520 बिट्स (157 अंकों) तक की सामान्य-रूप संख्याओं का बिना किसी विशेष गणितीय अनुभव के व्यक्ति द्वारा कुछ पीसी पर कुछ महीनों में गुणनखंडन किया जा सकता है। [17] यदि सीव के लिए कुछ दर्जन पीसी का सहयोग सुनिश्चित करना संभव होता तो ये सीमाएँ लगभग 950 बिट्स (286 अंक) और 600 बिट्स (181 अंक तक बढ़ जाती हैं,[18]वर्तमान में फिनिशिंग चरण के लिए मशीन की मेमोरी की मात्रा और सीपीयू शक्ति प्रगति में समान बाधाएं हैं।

2009 में, बेंजामिन मूडी ने इंटरनेट पर प्राप्त होने वाले सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके TI-83 ग्राफ़िंग कैलकुलेटर साइन करने के लिए 512-बिट (155-अंकीय) आरएसए कुंजी का उपयोग किया; इसने अंततः टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स को प्रमुख वर्णन पर साइन करने के लिए प्रेरित किया था।

सितंबर 2013 में, 696-बिट (210-अंकीय) आरएसए-210 को रयान प्रॉपर द्वारा गुणनखंडन किया गया था[19]संस्थागत संसाधनों का उपयोग करना; मार्च 2013 और अक्टूबर 2014 के मध्य, 210-अंकीय संख्या (होम प्राइम अनुक्रम में 49 से प्रारम्भ होने वाला 117 पद) व्रेथएक्स नामक उपयोगकर्ता द्वारा पूर्ण किया गया था,[20] जिसमें सीव के लिए ऐमजॉन ईसी2 मशीनों पर $7600 मूल्य के प्रसंस्करण समय [21] और रैखिक बीजगणित के लिए दोहरी जिऑन E5-2687W v1 का उपयोग किया गया था।

क्वांटम कंप्यूटर द्वारा प्रयासों के रिकॉर्ड

शोर के एल्गोरिदम द्वारा विश्वसनीय रूप से गुणनखंडन की गई सबसे बड़ी संख्या 21 है जिसे 2012 में गुणनखंडन किया गया था।[22] 15 को पूर्व कई प्रयोगशालाओं द्वारा गुणनखंडन किया गया था।

अप्रैल 2012 में, का गुणनखंडन कमरे के तापमान (300K) द्वारा NMR एडियाबैटिक क्वांटम गणना की रिपोर्ट शिन्हुआ पेंग के नेतृत्व वाले समूह द्वारा की गई थी।[23] नवंबर 2014 में यह ज्ञात हुआ कि 2012 के प्रयोग ने वास्तव में बिना विचार किए अधिक बड़ी संख्याओं को सम्मिलित कर लिया था। [24][25] अप्रैल 2016 में 18-बिट संख्या 200,099 को डी-वेव 2X क्वांटम प्रोसेसर पर क्वांटम एनीलिंग का उपयोग करके गुणनखंडन किया गया था।[26] कुछ ही समय पश्चात, 291 311 को कमरे के तापमान से अधिक पर एनएमआर का उपयोग करके गुणनखंडन किया गया।[27] 2019 के अंत में, ज़पाटा कंप्यूटिंग ने 1,099,551,473,989 गुणनखंडन करने का दावा किया,[28] और 2021 में इस गणना का वर्णन करने पेपर प्रस्तुत किया गया था।[29]दिसंबर 2022 में, 48-बिट गुणनखंडन चीन में समूह द्वारा 10-क्यूबिट फ्लिप-चिप सुपरकंडक्टिंग क्वांटम कंप्यूटिंग का उपयोग करके पूर्ण किया गया था।[30] समूह ने क्रमशः 3 और 5 सुपरकंडक्टिंग क्वैबिट के साथ 11-बिट पूर्णांक 1961 और 26-बिट पूर्णांक 48567227 का भी गुणनखंडन किया था। चूँकि, समूह द्वारा इस दृष्टिकोण को श्रेष्ठ-क्वांटम हाइब्रिड के रूप में वर्णित किया गया था, जिसमें श्नोर के गुणनखंडन एल्गोरिदम में उपयोग की जाने वाली समय लेने वाली एसआर-जोड़ी पीढ़ी को अनुकूलित करने के लिए क्वांटम अनुमानित अनुकूलन एल्गोरिदम का[31] और परिणामी रैखिक समीकरणों का निवारण करने के लिए क्लासिकल कंप्यूटर उपयोग किया गया था।

इस प्रकार, क्वांटम कंप्यूटरों के साथ गुणनखंडन के वर्णन की आवश्यक क्वैबिट की संख्या को कम करने के लिए श्रेष्ठ गणना पर अधिक निर्भरता के लिए आलोचना की गई है।[32] उदाहरण के लिए, 1,099,551,473,989 का गुणनखंडीकरण समस्या को तीन-क्विबिट क्वांटम परिपथ तक कम करने के लिए श्रेष्ठ प्री-प्रोसेसिंग पर निर्भर करता है।[29] इसके अतिरिक्त, इस पेपर में सम्मिलित तीन संख्याओं (200,099, 291,311, और 1,099,551,473,989) को फ़र्मेट की गुणनखंडन विधि का उपयोग करके सरलता से इसका फ़ैक्टर किया जा सकता है, जिसके लिए क्रमशः लूप के केवल 3, 1, और 1 इटरेशन की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

संदर्भ

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  2. ↑ F. Bahr; M. Boehm; J. Franke; T. Kleinjung. "RSA200". Retrieved 2007-05-23.
  3. ↑ T. Kleinjung; K. Aoki; J. Franke; A. K. Lenstra; E. Thomé; J. W. Bos; P. Gaudry; A. Kruppa; P. L. Montgomery; D. A. Osvik; H. te Riele; A. Timofeev; P. Zimmermann. "Factorization of a 768-bit RSA modulus" (PDF). Retrieved 2013-04-11.
  4. ↑ "[Cado-NFS-discuss] 795-bit factoring and discrete logarithms". Archived from the original on 2019-12-02. Retrieved 2019-12-03.
  5. ↑ F. Boudot et al, "Comparing the difficulty of factorization and discrete logarithm: a 240-digit experiment," June 10, 2020.
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  7. ↑ P. L. Montgomery. "रिकॉर्ड संख्या फ़ील्ड चलनी फ़ैक्टराइज़ेशन". Retrieved 2007-11-23.
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