परिमित मात्रा विधि: Difference between revisions

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{{Differential equations}}


परिमित मात्रा विधि एक विधि है जिसका उपयोग पार्श्विक अवकलनीय समीकरणों को बीजगणित समीकरणों के रूप में प्रतिष्ठित  मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। परिमित मात्रा विधि में, एक पार्श्विक अवकलनीय समीकरण है, जो विलंबन शब्दकोण से सम्बद्ध होता है, उसमें उपस्थित मात्रा अवकलनों को सतही अवकलनों में परिवर्तित किया जाता है, जिसके लिए विलंबन सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। इन शब्दकोणों को प्रत्येक परिमित मात्रा की सतहों पर प्रवाह के रूप में पुनः मूल्यांकित किया जाता है, 
सीमित मात्रा विधि (एफवीएम) एल्जेब्राइक समीकरणों के रूप में अद्यायी विभेदी समीकरणों की प्रतिष्ठापन और मूल्यांकन के लिए एक विधि है। सीमित मात्रा विधि में, एक अद्यायी विभेदी समीकरण में विपर्यास शब्द को समावेशित करने वाले मात्रा समावेशकों को सततता समाप्ति का उपयोग करके पृष्ठीय समावेशों में परिवर्तित किया जाता है,इन शब्दों को पुनः हर सीमित मात्रा की सतहों पर फ्लक्स के रूप में मूल्यांकन किया जाता है। क्योंकि दिए गए मात्रा में प्रवेश करने वाले प्रवाह निकटतम मात्रा से निकलने वाले प्रवाह के समान होता है, इसलिए ये विधियाँ संरक्षणात्मक होती हैं, परिमित प्रवाह विधि का एक और लाभ यह है कि इसे असंरचित पाश को संरचित करने के लिए सरलता से तैयार किया जा सकता है। इस विधि का उपयोग कई संगणनात्मक द्रव गतिकी संपुटों में किया जाता है। "परिमित मात्रा" जाल पर प्रत्येक नोड बिंदु के आस-पास की छोटी मात्रा को संदर्भित करता है। परिमित मात्रा विधियों के सापेक्ष, [[परिमित अंतर विधि]] से की जा सकती है, जो नोड, या परिमित तत्व विधि का उपयोग करके व्युत्पन्न  का अनुमान लगाती है, जो स्थानीय डेटा का उपयोग करके एक समाधान के स्थानीय सन्निकटन का निर्माण करती है, और उन्हें एक साथ सिलाई करके एक वैश्विक सन्निकटन का निर्माण करती है। इसके विपरीत एक परिमित मात्रा विधि कुछ मात्रा पर समाधान के औसत मूल्य के लिए सटीक भावों का मूल्यांकन करती है, और इस डेटा का उपयोग कोशिकाओं के भीतर समाधान के सन्निकटन के निर्माण के लिए करती है।<ref>{{Cite journal|last1=Fallah|first1=N. A.|last2=Bailey|first2=C.|last3=Cross|first3=M.|last4=Taylor|first4=G. A.|date=2000-06-01|title=जियोमेट्रिकली नॉनलाइनियर स्ट्रेस एनालिसिस में परिमित तत्व और परिमित आयतन विधियों के अनुप्रयोग की तुलना|journal=Applied Mathematical Modelling|language=en|volume=24|issue=7|pages=439–455|doi=10.1016/S0307-904X(99)00047-5|issn=0307-904X|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last=Ranganayakulu, C. (Chennu)|title=Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach|others=Seetharamu, K. N.|isbn=978-1-119-42435-2|location=Hoboken, NJ|chapter=Chapter 3, Section 3.1|date=2 February 2018 |oclc=1006524487}}</ref>
 
क्योंकि दिए गए मात्रा में प्रवेश करने वाले प्रवाह निकटतम मात्रा से निकलने वाले प्रवाह के समान होता है, इसलिए ये विधियाँ संरक्षणात्मक होती हैं, परिमित प्रवाह विधि का एक और लाभ यह है कि इसे असंरचित पाश को संरचित करने के लिए सरलता से तैयार किया जा सकता है। इस विधि का उपयोग कई संगणनात्मक द्रव गतिकी संपुटों में किया जाता है। "परिमित मात्रा" जाल पर प्रत्येक नोड बिंदु के आस-पास की छोटी मात्रा को संदर्भित करता है। परिमित मात्रा विधियों की तुलना, [[परिमित अंतर विधि]] से की जा सकती है, जो नोड, या परिमित तत्व विधि का उपयोग करके व्युत्पन्न  का अनुमान लगाती है, जो स्थानीय डेटा का उपयोग करके एक समाधान के स्थानीय सन्निकटन का निर्माण करती है, और उन्हें एक साथ सिलाई करके एक वैश्विक सन्निकटन का निर्माण करती है। इसके विपरीत एक परिमित मात्रा विधि कुछ मात्रा पर समाधान के औसत मूल्य के लिए सटीक भावों का मूल्यांकन करती है, और इस डेटा का उपयोग कोशिकाओं के भीतर समाधान के सन्निकटन के निर्माण के लिए करती है।<ref>{{Cite journal|last1=Fallah|first1=N. A.|last2=Bailey|first2=C.|last3=Cross|first3=M.|last4=Taylor|first4=G. A.|date=2000-06-01|title=जियोमेट्रिकली नॉनलाइनियर स्ट्रेस एनालिसिस में परिमित तत्व और परिमित आयतन विधियों के अनुप्रयोग की तुलना|journal=Applied Mathematical Modelling|language=en|volume=24|issue=7|pages=439–455|doi=10.1016/S0307-904X(99)00047-5|issn=0307-904X|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last=Ranganayakulu, C. (Chennu)|title=Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach|others=Seetharamu, K. N.|isbn=978-1-119-42435-2|location=Hoboken, NJ|chapter=Chapter 3, Section 3.1|date=2 February 2018 |oclc=1006524487}}</ref>


 




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{{NumBlk|:|<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad t\ge0.</math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad t\ge0.</math>|{{EquationRef|1}}}}


यहाँ, <math> \rho=\rho \left( x,t \right) </math> क्षेत्र चर का प्रतिनिधित्व करता है और <math> f=f \left( \rho \left( x,t \right) \right) </math> प्रवाह या प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है .परंपरागत रूप से, सकारात्मक <math> f </math> नकारात्मक होते हुए दाईं ओर प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है <math> f </math> बाईं ओर प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। यदि हम मान लें कि समीकरण ({{EquationNote|1}}) निरंतर क्षेत्र के बहने वाले माध्यम का प्रतिनिधित्व करता है, तो हम स्थानिक क्षेत्र को उप-विभाजित कर सकते हैं, <math> x </math>, परिमित मात्रा में या कोशिका केंद्रों के रूप में अनुक्रमित कोशिकाओं के रूप में <math> i </math>. किसी विशेष कोशिका के लिए, हम, <math> i </math>, के मात्रा औसत मान को परिभाषित कर सकते हैं <math> {\rho }_i \left( t \right) = \rho \left( x, t \right) </math> समय पर <math> {t=t_1} </math> और <math>{ x \in \left[ x_{i-\frac{1}{2}} , x_{i+\frac{1}{2}} \right] } </math>, जैसा
यहाँ, <math> \rho=\rho \left( x,t \right) </math> स्थिति मापक को प्रदर्शित करता है और <math> f=f \left( \rho \left( x,t \right) \right) </math> स्राव या प्रवाह को प्रदर्शित करता है, पारंपरिक रूप से, सकारात्मक <math> f </math> दाएं की ओर प्रवाह को प्रदर्शित करता है जबकि ऋणात्मक <math> f </math> बाएं की ओर प्रवाह को प्रदर्शित करता है।यदि हम मान लें कि समीकरण (1) एक स्थिर क्षेत्र के वाली फ्लोइंग माध्यम को प्रदर्शित करता है, तो हम दूरी संवेदी <math> x </math>, को अंतिम मात्रा या सेल में विभाजित कर सकते हैं जिनके सेंटर को <math> i </math> के रूप में सूचीत किया जाता है। एक विशेष सेल <math> i </math> के लिए हम समय पर <math> {\rho }_i \left( t \right) = \rho \left( x, t \right) </math> की मात्रा औसत मान को परिभाषित कर सकते हैं।
 
<math> {t=t_1} </math> और <math>{ x \in \left[ x_{i-\frac{1}{2}} , x_{i+\frac{1}{2}} \right] } </math>, जैसा


{{NumBlk|:|<math>\bar{\rho}_i \left( t_1 \right) = \frac{1}{ x_{i+\frac{1}{2}} - x_{i-\frac{1}{2}}} \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} \rho \left(x,t_1 \right)\, dx ,</math>|{{EquationRef|2}}}}
{{NumBlk|:|<math>\bar{\rho}_i \left( t_1 \right) = \frac{1}{ x_{i+\frac{1}{2}} - x_{i-\frac{1}{2}}} \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} \rho \left(x,t_1 \right)\, dx ,</math>|{{EquationRef|2}}}}
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{{NumBlk|:|<math>\bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}} - x_{i-\frac{1}{2}}} \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} \rho \left(x,t_2 \right)\, dx ,</math>|{{EquationRef|3}}}}
{{NumBlk|:|<math>\bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}} - x_{i-\frac{1}{2}}} \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} \rho \left(x,t_2 \right)\, dx ,</math>|{{EquationRef|3}}}}


जहाँ <math> x_{i-\frac{1}{2}} </math> और <math> x_{i+\frac{1}{2}} </math> के क्रमशः ऊर्ध्वप्रवाह और अनुप्रवाह  <math> i^\text{th} </math> कक्ष किनारों के स्थानों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
जहाँ <math> x_{i-\frac{1}{2}} </math> और <math> x_{i+\frac{1}{2}} </math> प्रत्येक आयाम के प्रावाहिक और अप्रावाहिक मुखों या किनारों की स्थानों को प्रतिष्ठित करते हैं। समीकरण <math> i^\text{th} </math> को समय में एकीकृत करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित होता है:


एकीकृत समीकरण ({{EquationNote|1}}) समय में, हमारे पास है:
एकीकृत समीकरण ({{EquationNote|1}}) समय में, हमारे पास है:
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{{NumBlk|:|<math>\rho \left( x, t_2 \right) = \rho \left( x, t_1 \right) - \int_{t_1}^{t_2} f_x \left( x,t \right)\, dt,</math>|{{EquationRef|4}}}}
{{NumBlk|:|<math>\rho \left( x, t_2 \right) = \rho \left( x, t_1 \right) - \int_{t_1}^{t_2} f_x \left( x,t \right)\, dt,</math>|{{EquationRef|4}}}}


जहाँ <math>f_x=\frac{\partial f}{\partial x}</math>.
यहाँ <math>f_x=\frac{\partial f}{\partial x}</math>.


की मात्रा औसत प्राप्त करने के लिए <math> \rho\left(x,t\right) </math> समय पर <math> t=t_{2} </math>, एकीकृत करते हैं <math> \rho\left(x,t_2 \right) </math> कोशिका मात्रा से अधिक, <math>\left[ x_{i-\frac{1}{2}} , x_{i+\frac{1}{2}} \right] </math> और परिणाम को विभाजित करें <math>\Delta x_i = x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}} </math>, अर्थात।
समय <math> \rho\left(x,t\right) </math> पर <math> t=t_{2} </math>, की मात्रा औसत प्राप्त करने के लिए, हम सेल आयाम को इंटीग्रेट करते हैं अर्थात  <math> \rho\left(x,t_2 \right) </math> कोशिका मात्रा से अधिक, <math>\left[ x_{i-\frac{1}{2}} , x_{i+\frac{1}{2}} \right] </math> और परिणाम को <math>\Delta x_i = x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}} </math>,से विभाजित करते हैं।


{{NumBlk|:|<math> \bar{\rho}_{i}\left( t_{2}\right) =\frac{1}{\Delta x_i}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}}\left\{ \rho\left( x,t_{1}\right) - \int_{t_{1}}^{t_2} f_{x} \left( x,t \right) dt \right\} dx.</math>|{{EquationRef|5}}}}
{{NumBlk|:|<math> \bar{\rho}_{i}\left( t_{2}\right) =\frac{1}{\Delta x_i}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}}\left\{ \rho\left( x,t_{1}\right) - \int_{t_{1}}^{t_2} f_{x} \left( x,t \right) dt \right\} dx.</math>|{{EquationRef|5}}}}


हम मानते हैं कि <math> f \ </math> अच्छा व्यवहार किया जाता है और हम एकीकरण के क्रम को उलट सकते हैं। साथ ही, याद रखें कि प्रवाह   कोशिका  के इकाई क्षेत्र के लिए सामान्य है। अब, चूंकि एक आयाम में <math>f_x \triangleq \nabla \cdot f </math>, हम विचलन प्रमेय लागू कर सकते हैं, अर्थात <math>\oint_{v}\nabla\cdot fdv=\oint_{S}f\, dS </math>, और के मूल्यों के साथ विचलन के मात्रा अभिन्न के लिए स्थानापन्न करें <math>f(x) </math> कोशिका की सतह पर मूल्यांकन (किनारे <math>x_{i-\frac{1}{2}} </math> और <math> x_{i+\frac{1}{2}} </math>) परिमित मात्रा इस प्रकार है:
हम मान लेते हैं कि <math> f \ </math>अच्छी तरह से व्यवहारिक है और हम इंटीग्रेशन के क्रम को उलटा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, ध्यान दें कि प्रवाह को सेल    की इकाई क्षेत्र के लिए सामान्य होता है। अब, एक आयाम में <math>f_x \triangleq \nabla \cdot f </math>, एक आयाम में, हम विभाजन सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात <math>\oint_{v}\nabla\cdot fdv=\oint_{S}f\, dS </math>, और घटाव की आयाम की घटाव अवलोकन के साथ संपूर्ण आयतन के लिए, हम सेल    सतह <math>f(x) </math> कोशिका की सतह पर मूल्यांकन <math>x_{i-\frac{1}{2}} </math> और <math> x_{i+\frac{1}{2}} </math>) निर्धारित आयाम के मानों से प्रतिस्थापित करते हैं इस प्रकार:


{{NumBlk|:|<math> \bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \bar{\rho}_i \left( t_1 \right)
{{NumBlk|:|<math> \bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \bar{\rho}_i \left( t_1 \right)
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जहाँ <math>f_{i \pm \frac{1}{2}} =f \left( x_{i \pm \frac{1}{2}}, t \right) </math>.
जहाँ <math>f_{i \pm \frac{1}{2}} =f \left( x_{i \pm \frac{1}{2}}, t \right) </math>.


इसलिए हम उपरोक्त समस्या के लिए अनुक्रमित कोशिका  केंद्रों के साथ अर्ध-असतत संख्यात्मक योजना प्राप्त कर सकते हैं <math> i </math>, और  कोशिका एज प्रवाह के रूप में अनुक्रमित <math> i\pm\frac{1}{2} </math>, अंतर करके ({{EquationNote|6}}) प्राप्त करने के लिए समय के संबंध में:
इसलिए हम ऊपरी समस्या के लिए एक अर्ध-विकासी गणितीय योजना प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें सेल केंद्रों को <math> i </math>, के रूप में चिह्नित किया जाता है, और सेल किनारे के प्रवाहों को <math> i\pm\frac{1}{2} </math>, के रूप में चिह्नित किया जाता है, समीकरण ({{EquationNote|6}}) को समय के साथ भिन्न करके उपलब्ध करते हुए


{{NumBlk|:|<math> \frac{d \bar{\rho}_i}{d t} + \frac{1}{\Delta x_i} \left[  
{{NumBlk|:|<math> \frac{d \bar{\rho}_i}{d t} + \frac{1}{\Delta x_i} \left[  
f_{i + \frac{1}{2}} - f_{i - \frac{1}{2}}  \right] =0 ,</math>|{{EquationRef|7}}}}
f_{i + \frac{1}{2}} - f_{i - \frac{1}{2}}  \right] =0 ,</math>|{{EquationRef|7}}}}


जहां किनारे के प्रवाह के लिए मान, <math> f_{i \pm \frac{1}{2}} </math>, कोशिका  औसत के [[ प्रक्षेप ]] या [[एक्सट्रपलेशन]] द्वारा पुनर्निर्मित किया जा सकता है। समीकरण ({{EquationNote|7}}) मात्रा  औसत के लिए सटीक है; यानी, इसकी व्युत्पत्ति के दौरान कोई सन्निकटन नहीं किया गया है।
जहां, किनारे के प्रवाहों के लिए मान,, <math> f_{i \pm \frac{1}{2}} </math>,को सेल माध्य के अंतर्गत अंतर्वलापन या अतिप्रसारण द्वारा पुनर्निर्माण किया जा सकता है।


इस पद्धति को एक नोड के चारों ओर पूर्व और पश्चिम के चेहरों के साथ उत्तर और दक्षिण चेहरों पर विचार करके दो आयामी प्रसार समस्या की स्थिति के लिए परिमित मात्रा विधि पर भी लागू किया जा सकता है।
समीकरण ({{EquationNote|7}}) आयाम माध्यों के लिए सटीक है; अर्थात्, उसके प्राप्ति के दौरान कोई अनुमान नहीं लिए गए हैं।


== सामान्य संरक्षण कानून ==
यह विधि एक 2D स्थिति में भी लागू की जा सकती है, जहां एक नोड के चारों ओर उत्तर और दक्षिण मुख, साथ ही पूर्व और पश्चिम मुख को ध्यान में रखकर उपयोग किया जाता है।।


हम सामान्य संरक्षण कानून (भौतिकी) समस्या पर भी विचार कर सकते हैं, जिसे निम्नलिखित आंशिक अंतर समीकरण द्वारा दर्शाया गया है,
== सामान्य संरक्षण विधि ==
 
हम एक सामान्य संरक्षण विधि समस्या का भी विचार कर सकते हैं, जिसे निम्नलिखित पीडीई द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है:


{{NumBlk|:|<math> \frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \nabla  \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right) = {\mathbf 0} . </math>|{{EquationRef|8}}}}
{{NumBlk|:|<math> \frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \nabla  \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right) = {\mathbf 0} . </math>|{{EquationRef|8}}}}


यहाँ, <math> \mathbf u </math> राज्यों के एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf f </math> इसी प्रवाह   टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है। फिर से हम स्थानिक क्षेत्र को परिमित मात्रा या कोशिकाओं में उप-विभाजित कर सकते हैं। किसी विशेष कोशिका के लिए, हम <math>i </math>,कोशिका के कुल मात्रा पर मात्रा इंटीग्रल लेते हैं,
यहाँ, <math> \mathbf u </math> क्षेत्रों के एक सदिश का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf f </math> उसके संबंधित प्रवाह टेन्सर को दर्शाता है। फिर हम स्थानिक डोमेन को अंतिम रूप में अंशीय करते हैं जिसमें निर्दिष्ट सेल      ों को स्थानिक डोमेन के रूप में विभाजित किया जाता है। एक विशेष सेल के लिए <math>i </math>,हम सेल के कुल आयतन लेते हैं,


{{NumBlk|:|<math> \int _{v_{i}}  \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}\, dv  
{{NumBlk|:|<math> \int _{v_{i}}  \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}\, dv  
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{{Numerical PDE}}
{{Numerical PDE}}
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Latest revision as of 08:59, 15 June 2023

सीमित मात्रा विधि (एफवीएम) एल्जेब्राइक समीकरणों के रूप में अद्यायी विभेदी समीकरणों की प्रतिष्ठापन और मूल्यांकन के लिए एक विधि है। सीमित मात्रा विधि में, एक अद्यायी विभेदी समीकरण में विपर्यास शब्द को समावेशित करने वाले मात्रा समावेशकों को सततता समाप्ति का उपयोग करके पृष्ठीय समावेशों में परिवर्तित किया जाता है,इन शब्दों को पुनः हर सीमित मात्रा की सतहों पर फ्लक्स के रूप में मूल्यांकन किया जाता है। क्योंकि दिए गए मात्रा में प्रवेश करने वाले प्रवाह निकटतम मात्रा से निकलने वाले प्रवाह के समान होता है, इसलिए ये विधियाँ संरक्षणात्मक होती हैं, परिमित प्रवाह विधि का एक और लाभ यह है कि इसे असंरचित पाश को संरचित करने के लिए सरलता से तैयार किया जा सकता है। इस विधि का उपयोग कई संगणनात्मक द्रव गतिकी संपुटों में किया जाता है। "परिमित मात्रा" जाल पर प्रत्येक नोड बिंदु के आस-पास की छोटी मात्रा को संदर्भित करता है। परिमित मात्रा विधियों के सापेक्ष, परिमित अंतर विधि से की जा सकती है, जो नोड, या परिमित तत्व विधि का उपयोग करके व्युत्पन्न का अनुमान लगाती है, जो स्थानीय डेटा का उपयोग करके एक समाधान के स्थानीय सन्निकटन का निर्माण करती है, और उन्हें एक साथ सिलाई करके एक वैश्विक सन्निकटन का निर्माण करती है। इसके विपरीत एक परिमित मात्रा विधि कुछ मात्रा पर समाधान के औसत मूल्य के लिए सटीक भावों का मूल्यांकन करती है, और इस डेटा का उपयोग कोशिकाओं के भीतर समाधान के सन्निकटन के निर्माण के लिए करती है।[1][2]



उदाहरण

एक साधारण 1D संवहन समस्या पर विचार करें:

 

 

 

 

(1)

यहाँ, स्थिति मापक को प्रदर्शित करता है और स्राव या प्रवाह को प्रदर्शित करता है, पारंपरिक रूप से, सकारात्मक दाएं की ओर प्रवाह को प्रदर्शित करता है जबकि ऋणात्मक बाएं की ओर प्रवाह को प्रदर्शित करता है।यदि हम मान लें कि समीकरण (1) एक स्थिर क्षेत्र के वाली फ्लोइंग माध्यम को प्रदर्शित करता है, तो हम दूरी संवेदी , को अंतिम मात्रा या सेल में विभाजित कर सकते हैं जिनके सेंटर को के रूप में सूचीत किया जाता है। एक विशेष सेल के लिए हम समय पर की मात्रा औसत मान को परिभाषित कर सकते हैं।

और , जैसा

 

 

 

 

(2)

और समय पर जैसा,

 

 

 

 

(3)

जहाँ और प्रत्येक आयाम के प्रावाहिक और अप्रावाहिक मुखों या किनारों की स्थानों को प्रतिष्ठित करते हैं। समीकरण को समय में एकीकृत करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित होता है:

एकीकृत समीकरण (1) समय में, हमारे पास है:

 

 

 

 

(4)

यहाँ .

समय पर , की मात्रा औसत प्राप्त करने के लिए, हम सेल आयाम को इंटीग्रेट करते हैं अर्थात कोशिका मात्रा से अधिक, और परिणाम को ,से विभाजित करते हैं।

 

 

 

 

(5)

हम मान लेते हैं कि अच्छी तरह से व्यवहारिक है और हम इंटीग्रेशन के क्रम को उलटा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, ध्यान दें कि प्रवाह को सेल की इकाई क्षेत्र के लिए सामान्य होता है। अब, एक आयाम में , एक आयाम में, हम विभाजन सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात , और घटाव की आयाम की घटाव अवलोकन के साथ संपूर्ण आयतन के लिए, हम सेल सतह कोशिका की सतह पर मूल्यांकन और ) निर्धारित आयाम के मानों से प्रतिस्थापित करते हैं इस प्रकार:

 

 

 

 

(6)

जहाँ .

इसलिए हम ऊपरी समस्या के लिए एक अर्ध-विकासी गणितीय योजना प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें सेल केंद्रों को , के रूप में चिह्नित किया जाता है, और सेल किनारे के प्रवाहों को , के रूप में चिह्नित किया जाता है, समीकरण (6) को समय के साथ भिन्न करके उपलब्ध करते हुए

 

 

 

 

(7)

जहां, किनारे के प्रवाहों के लिए मान,, ,को सेल माध्य के अंतर्गत अंतर्वलापन या अतिप्रसारण द्वारा पुनर्निर्माण किया जा सकता है।

समीकरण (7) आयाम माध्यों के लिए सटीक है; अर्थात्, उसके प्राप्ति के दौरान कोई अनुमान नहीं लिए गए हैं।

यह विधि एक 2D स्थिति में भी लागू की जा सकती है, जहां एक नोड के चारों ओर उत्तर और दक्षिण मुख, साथ ही पूर्व और पश्चिम मुख को ध्यान में रखकर उपयोग किया जाता है।।

सामान्य संरक्षण विधि

हम एक सामान्य संरक्षण विधि समस्या का भी विचार कर सकते हैं, जिसे निम्नलिखित पीडीई द्वारा प्रतिष्ठित किया जाता है:

 

 

 

 

(8)

यहाँ, क्षेत्रों के एक सदिश का प्रतिनिधित्व करता है और उसके संबंधित प्रवाह टेन्सर को दर्शाता है। फिर हम स्थानिक डोमेन को अंतिम रूप में अंशीय करते हैं जिसमें निर्दिष्ट सेल ों को स्थानिक डोमेन के रूप में विभाजित किया जाता है। एक विशेष सेल के लिए ,हम सेल के कुल आयतन लेते हैं,

 

 

 

 

(9)

मात्रा औसत प्राप्त करने के लिए पहले पद को समाकलित करने पर और दूसरे पर विचलन प्रमेय लागू करने पर, यह प्राप्त होता है

 

 

 

 

(10)

जहाँ कोशिका के कुल सतह क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और एक इकाई सदिश है, जो सतह के लिए सामान्य है और बाहर की ओर संकेत करता है। तो, अंत में, हम सामान्य परिणाम के बराबर प्रस्तुत करने में सक्षम हैं (8), अर्थात।

 

 

 

 

(11)

पुनः, एज प्रवाह के मूल्यों को कोशिक औसत के प्रक्षेप या विस्तार द्वारा पुनर्निर्मित किया जा सकता है। वास्तविक संख्यात्मक योजना समस्या ज्यामिति और जाल निर्माण पर निर्भर करेगी।

एम.यू.एस.सी.एल. योजना पुनर्निर्माण का उपयोग प्रायः उच्च समाधान योजनाओं में किया जाता है जहाँ समाधान में झटके या रुकावटें उपस्थित होती हैं।

परिमित मात्रा योजनाएँ रूढ़िवादी हैं क्योंकि किनारे के प्रवाह के माध्यम से कोशिका औसत में परिवर्तन होता है। दूसरे शब्दों में, एक कोशिका का हानि सदैव दूसरे कोशिका का लाभ होता है!

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Fallah, N. A.; Bailey, C.; Cross, M.; Taylor, G. A. (2000-06-01). "जियोमेट्रिकली नॉनलाइनियर स्ट्रेस एनालिसिस में परिमित तत्व और परिमित आयतन विधियों के अनुप्रयोग की तुलना". Applied Mathematical Modelling (in English). 24 (7): 439–455. doi:10.1016/S0307-904X(99)00047-5. ISSN 0307-904X.
  2. Ranganayakulu, C. (Chennu) (2 February 2018). "Chapter 3, Section 3.1". Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach. Seetharamu, K. N. Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)


अग्रिम पठन

  • Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
  • Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
  • LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
  • Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
  • Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.


बाहरी संबंध