परमाणु (माप सिद्धांत): Difference between revisions

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गणित में, अधिक सटीक रूप से [[माप सिद्धांत]] में, एक परमाणु एक मापने योग्य सेट होता है जिसका सकारात्मक माप होता है और इसमें छोटे सकारात्मक माप का कोई सेट नहीं होता है। एक उपाय जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु या परमाणु रहित कहा जाता है।
गणित में, अधिक यथार्थ रूप से [[माप सिद्धांत]] में, एक परमाणु एक मापनीय समुच्चय होता है जिसका धनात्मक माप होता है और इसमें छोटे धनात्मक माप का कोई समुच्चय नहीं होता है। माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु या परमाणु रहित कहा जाता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
एक [[मापने योग्य स्थान]] दिया गया <math>(X, \Sigma)</math> और एक [[उपाय (गणित)]] <math>\mu</math> उस स्थान पर, एक सेट <math>A\subset X</math> में <math>\Sigma</math> परमाणु कहा जाता है यदि
एक [[मापने योग्य स्थान|मापनीय समष्टि]] <math>(X, \Sigma)</math> और उस समष्टि पर [[उपाय (गणित)|माप (गणित)]] <math>\mu</math> को देखते हुए, <math>\Sigma</math> में समुच्चय <math>A\subset X</math> को एक परमाणु कहा जाता है यदि
<math display="block">\mu(A) > 0</math>
<math display="block">\mu(A) > 0</math>
और किसी भी मापने योग्य सबसेट के लिए <math>B \subset A</math> साथ
और किसी भी मापनीय उपसमुच्चय <math>B \subset A</math> के लिए
<math display="block">\mu(B) < \mu(A)</math>
<math display="block">\mu(B) < \mu(A)</math>
सेट <math>B</math> माप शून्य है।
के साथ समुच्चय <math>B</math> का माप शून्य है।


अगर <math>A</math> एक परमाणु है, सभी उपसमुच्चय <math>\mu</math>- तुल्यता वर्ग <math>[A]</math> का <math>A</math> परमाणु हैं, और <math>[A]</math> परमाणु वर्ग कहा जाता है। अगर <math>\mu</math> एक है <math>\sigma</math>- परिमित माप, असंख्य परमाणु वर्ग हैं।
यदि <math>A</math> एक परमाणु है, तो <math>A</math> के <math>\mu</math>- तुल्यता वर्ग <math>[A]</math> के सभी उपसमुच्चय परमाणु हैं, और <math>[A]</math> को परमाणु वर्ग कहा जाता है। यदि <math>\mu</math> एक <math>\sigma</math>- परिमित माप है, तो असंख्य परमाणु वर्ग हैं।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
* समुच्चय X = {1, 2, ..., 9, 10} पर विचार करें और मान लें कि [[सिग्मा-बीजगणित]] <math>\Sigma</math> X का [[ सत्ता स्थापित ]] हो। माप को परिभाषित करें <math>\mu</math> एक सेट की [[प्रमुखता]], यानी सेट में तत्वों की संख्या। फिर, प्रत्येक [[सिंगलटन (गणित)]] {i}, i = 1, 2, ..., 9, 10 के लिए एक परमाणु है।
* समुच्चय X = {1, 2, ..., 9, 10} पर विचार करें और [[सिग्मा-बीजगणित]] <math>\Sigma</math> को X का [[ सत्ता स्थापित |घात समुच्चय]] मान लें। समुच्चय की माप <math>\mu</math> को उसके [[प्रमुखता|गणनांक]], अर्थात समुच्चय में अवयवों की संख्या के रूप में परिभाषित करें। फिर, प्रत्येक [[सिंगलटन (गणित)|एकल (गणित)]] {i}, i = 1, 2, ..., 9, 10 के लिए एक परमाणु है।
* [[वास्तविक रेखा]] पर [[लेबेस्ग उपाय]] पर विचार करें। इस उपाय में कोई परमाणु नहीं है।
* [[वास्तविक रेखा]] पर [[लेबेस्ग उपाय|लेबेस्ग माप]] पर विचार करें। इस माप में कोई परमाणु नहीं है।


== परमाणु के उपाय ==
== परमाणु के माप ==
<math>\sigma</math>- परिमित माप <math> \mu </math> मापने योग्य स्थान पर <math>(X, \Sigma)</math> परमाणु या विशुद्ध रूप से परमाणु कहा जाता है यदि सकारात्मक माप के प्रत्येक मापने योग्य सेट में एक परमाणु होता है। यह कहने के बराबर है कि एक [[ गणनीय सेट ]] का विभाजन है <math>X</math> एक अशक्त सेट तक परमाणुओं द्वारा गठित।<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/a/2026823/815585|title = Analysis - Countable partition in atoms}}</ref> की धारणा <math>\sigma</math>-सीमा जरूरी है। अन्यथा स्थान पर विचार करें <math>(\mathbb{R},\mathcal{P}(\Reals),\nu)</math> कहाँ <math>\nu</math> गिनती के उपाय को दर्शाता है। यह स्थान परमाणु है, जिसमें सभी परमाणु सिंगलटन (गणित) हैं, फिर भी अंतरिक्ष को कई अलग-अलग परमाणुओं के अलग-अलग संघों में विभाजित करने में सक्षम नहीं है, <math display="inline">\bigcup_{n=1}^\infty A_n</math> और एक शून्य सेट <math>N</math> चूँकि सिंगलटन का गणनीय संघ एक गणनीय सेट है, और वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता से पता चलता है कि पूरक <math display="inline">N = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math> बेशुमार होना होगा, इसलिए इसकी <math>\nu</math>-माप अनंत होगा, यह एक अशक्त सेट होने के विपरीत है। के लिए परिणाम की वैधता <math>\sigma</math>-परिमित स्थान परिमित माप रिक्त स्थान के प्रमाण से अनुसरण करते हैं, यह देखते हुए कि गणनीय संघों का गणनीय संघ फिर से एक गणनीय संघ है, और यह कि अशक्त सेटों के गणनीय संघ शून्य हैं।
मापनीय समष्टि <math>(X, \Sigma)</math> पर <math>\sigma</math>- परिमित माप <math> \mu </math> को परमाणु या विशुद्ध रूप से परमाणु कहा जाता है यदि धनात्मक माप के प्रत्येक मापनीय समुच्चय में एक परमाणु होता है। यह कहने के समतुल्य है कि शून्य समुच्चय तक परमाणुओं द्वारा गठित <math>X</math> का [[ गणनीय सेट |गणनीय समुच्चय]] का विभाजन है।<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/a/2026823/815585|title = Analysis - Countable partition in atoms}}</ref> <math>\sigma</math>-परिमितता की धारणा आवश्यक है। अन्यथा समष्टि <math>(\mathbb{R},\mathcal{P}(\Reals),\nu)</math> पर विचार करें जहां <math>\nu</math> गणना माप को दर्शाता है। यह समष्टि परमाणु है, जिसमें सभी परमाणु एकल (गणित) हैं, फिर भी समष्टि को कई अलग-अलग परमाणुओं, <math display="inline">\bigcup_{n=1}^\infty A_n</math> और एक शून्य समुच्चय <math>N</math> असंयुक्त संयोजनों में विभाजित करने में सक्षम नहीं है, चूँकि एकल का गणनीय संयोजन एक गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं की अगणनीयता से पता चलता है कि पूरक <math display="inline">N = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{n=1}^\infty A_n</math> अगणनीय होना होगा, इसलिए इसका <math>\nu</math>-माप अनंत होगा, इसके विपरीत यह एक शून्य समुच्चय है। <math>\sigma</math>-परिमित समष्टि के परिणाम की वैधता परिमित माप रिक्त समष्टि के प्रमाण से अनुसरण करती है, यह देखते हुए कि गणनीय संयोजनों का गणनीय संयोजन फिर से गणनीय संयोजन है, और यह कि शून्य समुच्चयों के गणनीय संयोजन शून्य हैं।


== असतत उपाय ==
== असतत माप ==
<math>\sigma</math>- परिमित परमाणु माप <math> \mu </math> असतत कहा जाता है यदि किसी परमाणु वर्ग के परमाणुओं का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है।
<math>\sigma</math>- परिमित परमाणु माप <math> \mu </math> को असतत कहा जाता है यदि किसी परमाणु वर्ग के परमाणुओं का प्रतिच्छेदन रिक्त नहीं है। यह कहने के समतुल्य<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/a/4391020/815585|title = Why must a discrete atomic measure admit a decomposition into Dirac measures? Moreover, what is "an atomic class"?}}</ref> है कि <math> \mu </math> गणनात्मक रूप से कई डिरैक मापों का भारित योग है, अर्थात <math> X </math> में अंकों का अनुक्रम <math> x_1,x_2,... </math> है, और धनात्मक वास्तविक संख्याओं (भार) का अनुक्रम <math> c_1,c_2,... </math> ऐसा है कि <math display="inline"> \mu=\sum_{k=1}^\infty c_k\delta_{x_k} </math>, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक <math> A\in\Sigma </math> के लिए <math display="inline"> \mu(A) = \sum_{k=1}^\infty c_k\delta_{x_k}(A) </math>। हम <math> k </math>-वें परमाणु वर्ग में प्रत्येक बिंदु <math> x_k </math> को परमाणुओं का सामान्य बिंदु चुन सकते हैं।
यह समतुल्य है<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/a/4391020/815585|title = Why must a discrete atomic measure admit a decomposition into Dirac measures? Moreover, what is "an atomic class"?}}</ref> यह कहने के लिए <math> \mu </math> गिने-चुने कई डायराक उपायों का भारित योग है, यानी एक क्रम है <math> x_1,x_2,... </math> अंकों में <math> X </math>, और एक क्रम <math> c_1,c_2,... </math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं (वजन) का ऐसा है कि <math display="inline"> \mu=\sum_{k=1}^\infty c_k\delta_{x_k} </math>, जिसका अर्थ है कि <math display="inline"> \mu(A) = \sum_{k=1}^\infty c_k\delta_{x_k}(A) </math> हरएक के लिए <math> A\in\Sigma </math>. हम प्रत्येक बिंदु को चुन सकते हैं <math> x_k </math> परमाणुओं का एक सामान्य बिंदु होना
में <math> k </math>-वाँ परमाणु वर्ग।


एक असतत उपाय परमाणु है लेकिन उलटा निहितार्थ विफल रहता है: लो <math>X=[0,1]</math>, <math>\Sigma</math> <math>\sigma</math>गणनीय और सह-गणनीय उपसमूहों का बीजगणित,   <math> \mu=0 </math> गणनीय उपसमुच्चय में और <math> \mu=1 </math> सह-गणनीय उपसमुच्चय में। फिर एक एकल परमाणु वर्ग होता है, जो सह-गणनीय उपसमुच्चय द्वारा गठित होता है। पैमाना <math> \mu</math> परमाणु है लेकिन अद्वितीय परमाणु वर्ग में परमाणुओं का प्रतिच्छेदन खाली है और <math> \mu </math> Dirac उपायों के योग के रूप में नहीं रखा जा सकता है।
एक असतत माप परमाणु है परन्तु व्युत्क्रम निहितार्थ विफल रहता है: <math>X=[0,1]</math>, <math>\Sigma</math> को गणनीय और सह-गणनीय उपसमुच्चय का <math>\sigma</math>-बीजगणित, गणनीय उपसमुच्चय में <math> \mu=0 </math> और सह-गणनीय उपसमुच्चय में <math> \mu=1 </math> लें। फिर एकल परमाणु वर्ग होता है, जो सह-गणनीय उपसमुच्चय द्वारा गठित होता है। माप <math> \mu</math> परमाणु है परन्तु अद्वितीय परमाणु वर्ग में परमाणुओं का प्रतिच्छेदन रिक्त है और <math> \mu </math> को डिरैक मापों के योग के रूप में नहीं रखा जा सकता है।


यदि प्रत्येक परमाणु एक सिंगलटन के बराबर है, <math> \mu </math> असतत है अगर यह परमाणु है। इस मामले में <math> x_k </math> ऊपर परमाणु सिंगलटन हैं, इसलिए वे अद्वितीय हैं। बोरेल सेट के साथ प्रदान किए गए वियोज्य मीट्रिक स्थान में कोई परिमित माप इस शर्त को पूरा करता है।<ref>{{Cite book | last=Kadets | first=Vladimir | title=कार्यात्मक विश्लेषण और माप सिद्धांत में एक कोर्स| year=2018 |publisher=Springer |location=Switzerland |isbn=978-3-319-92003-0 |page=45}}</ref>
यदि प्रत्येक परमाणु एकल <math> \mu </math> के समतुल्य है, असतत है यदि यह परमाणु है। इस स्थिति में उपरोक्त <math> x_k </math> परमाणु एकल हैं, इसलिए वे अद्वितीय हैं। बोरेल समुच्चय के साथ प्रदान किए गए वियोज्य मापीय समष्टि में कोई परिमित माप इस प्रतिबन्ध को पूरा करता है।<ref>{{Cite book | last=Kadets | first=Vladimir | title=कार्यात्मक विश्लेषण और माप सिद्धांत में एक कोर्स| year=2018 |publisher=Springer |location=Switzerland |isbn=978-3-319-92003-0 |page=45}}</ref>




== गैर-परमाणु उपाय ==
== गैर-परमाणु माप ==
वह माप जिसमें कोई परमाणु न हो कहलाता है{{visible anchor|non-atomic measure}} या ए{{visible anchor|diffuse measure}}. दूसरे शब्दों में, एक उपाय <math> \mu </math> किसी मापने योग्य सेट के लिए गैर-परमाणु है <math>A</math> साथ <math>\mu(A) > 0</math> एक औसत दर्जे का सबसेट मौजूद है <math>B</math> का <math>A</math> ऐसा है कि
एक माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु माप या विसरित माप कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक माप <math> \mu </math> गैर-परमाणु है यदि किसी मापनीय समुच्चय <math>A</math> के लिए <math>\mu(A) > 0</math> के साथ <math>A</math> का मापनीय उपसमुच्चय <math>B</math> स्थित है जैसे कि
<math display=block>\mu(A) > \mu (B) > 0.</math>
<math display=block>\mu(A) > \mu (B) > 0.</math>
कम से कम एक सकारात्मक मूल्य के साथ एक गैर-परमाणु माप में एक सेट के साथ शुरू होने वाले अलग-अलग मूल्यों की अनंत संख्या होती है <math>A</math> साथ <math>\mu(A) > 0</math> मापने योग्य सेटों के घटते क्रम का निर्माण किया जा सकता है
कम से कम धनात्मक मान के साथ एक गैर-परमाणु माप में समुच्चय के साथ प्रारम्भ होने वाले अलग-अलग मानों की अनंत संख्या होती है <math>A</math> साथ <math>\mu(A) > 0</math> मापनीय समुच्चयों के घटते क्रम का निर्माण किया जा सकता है
<math display=block>A = A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots</math>
<math display=block>A = A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots</math>
ऐसा है कि
ऐसा है कि
<math display=block>\mu(A) = \mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0.</math>
<math display=block>\mu(A) = \mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0.</math>
यह उन मापों के लिए सही नहीं हो सकता जिनमें परमाणु हों; ऊपर पहला उदाहरण देखें।
यह उन मापों के लिए उचित नहीं हो सकते जिनमें परमाणु हों; ऊपर पहला उदाहरण देखें।


यह पता चला है कि गैर-परमाणु उपायों में वास्तव में मूल्यों का एक [[सातत्य (सिद्धांत)]] होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि <math>\mu</math> एक गैर-परमाणु उपाय है और <math>A</math> के साथ एक मापने योग्य सेट है <math>\mu(A) > 0,</math> फिर किसी वास्तविक संख्या के लिए <math>b</math> संतुष्टि देने वाला
यह पता चला है कि गैर-परमाणु मापों में वस्तुतः मानों का [[सातत्य (सिद्धांत)]] होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि <math>\mu</math> एक गैर-परमाणु माप है और <math>A</math> <math>\mu(A) > 0</math> के साथ मापनीय समुच्चय है, तो किसी भी वास्तविक संख्या <math>b</math> के लिए
<math display=block>\mu(A) \geq b \geq 0</math>
<math display=block>\mu(A) \geq b \geq 0</math>
एक औसत दर्जे का सबसेट मौजूद है <math>B</math> का <math>A</math> ऐसा है कि
को संतुष्ट करने के लिए <math>A</math> का मापनीय उपसमुच्चय <math>B</math> स्थित होता है जैसे कि
<math display=block>\mu(B) = b.</math>
<math display=block>\mu(B) = b.</math>
यह सिद्धांत वैक्लाव सीरपिन्स्की के कारण है।<ref>{{cite journal |first=W. |last=Sierpinski |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3125.pdf |title=योज्य और निरंतर सेट कार्यों पर|journal=Fundamenta Mathematicae |volume=3 |pages=240–246 |year=1922|doi=10.4064/fm-3-1-240-246 |language=fr }}</ref><ref>{{Cite book |last=Fryszkowski|first=Andrzej|title=डीकंपोज़ेबल सेट के लिए फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी (टोपोलॉजिकल फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी और इसके अनुप्रयोग)|year=2005|publisher=Springer|location=New York|isbn=1-4020-2498-3|page=39}}</ref>
यह सिद्धांत वैक्लाव सीरपिन्स्की के कारण है।<ref>{{cite journal |first=W. |last=Sierpinski |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3125.pdf |title=योज्य और निरंतर सेट कार्यों पर|journal=Fundamenta Mathematicae |volume=3 |pages=240–246 |year=1922|doi=10.4064/fm-3-1-240-246 |language=fr }}</ref><ref>{{Cite book |last=Fryszkowski|first=Andrzej|title=डीकंपोज़ेबल सेट के लिए फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी (टोपोलॉजिकल फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी और इसके अनुप्रयोग)|year=2005|publisher=Springer|location=New York|isbn=1-4020-2498-3|page=39}}</ref> यह संतत फलनों के लिए [[मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय|मध्यवर्ती मान प्रमेय]] की याद दिलाते है।
यह निरंतर कार्यों के लिए [[मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय]] की याद दिलाता है।


गैर-परमाणु उपायों पर सिएरपिन्स्की के प्रमेय के प्रमाण का रेखाचित्र। थोड़ा मजबूत बयान, जो हालांकि सबूत को आसान बनाता है, वह है अगर <math>(X, \Sigma, \mu)</math> एक गैर-परमाणु माप स्थान है और <math>\mu(X) = c,</math> एक समारोह मौजूद है <math>S : [0, c] \to \Sigma</math> यह समावेशन के संबंध में मोनोटोन है, और इसका दायां-विपरीत है <math>\mu : \Sigma \to [0, c].</math> यही है, मापने योग्य सेटों का एक-पैरामीटर परिवार मौजूद है <math>S(t)</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>0 \leq t \leq t' \leq c</math>
गैर-परमाणु मापों पर सिएरपिन्स्की के प्रमेय के प्रमाण का रेखाचित्र। साधारणत: दृढ कथन, जो यद्यपि प्रमाण को सरल बनाता है, यह है कि यदि <math>(X, \Sigma, \mu)</math> एक गैर-परमाणु माप समष्टि है और <math>\mu(X) = c</math> वहां एक फलन <math>S : [0, c] \to \Sigma</math> स्थित है जो समावेशन के संबंध में एकदिष्ट है, और इसका <math>\mu : \Sigma \to [0, c]</math> के दाएं-विपरीत है। अर्थात्, मापनीय समुच्चय <math>S(t)</math> का एक-पैरामीटर वर्ग स्थित है जैसे कि सभी <math>0 \leq t \leq t' \leq c</math>
<math display=block>S(t) \subseteq S(t'),</math>  
<math display=block>S(t) \subseteq S(t'),</math><math display="block">\mu\left (S(t)\right)=t</math> के लिए।
<math display=block>\mu\left (S(t)\right)=t.</math>
प्रमाण सरलता से ज़ोर्न के लेम्मा से अनुसरण करता है जो सभी एकदिष्ट आंशिक वर्गों के समुच्चय पर <math>\mu</math> :
सबूत आसानी से ज़ोर्न के लेम्मा से अनुसरण करता है जो सभी मोनोटोन आंशिक वर्गों के सेट पर लागू होता है <math>\mu</math> :
<math display="block">\Gamma: = \{S : D \to \Sigma\; :\; D \subseteq [0, c],\, S\; \mathrm{ monotone }, \text{ for all } t \in D\; (\mu(S(t)) = t)\}</math>
<math display=block>\Gamma: = \{S : D \to \Sigma\; :\; D \subseteq [0, c],\, S\; \mathrm{ monotone }, \text{ for all } t \in D\; (\mu(S(t)) = t)\},</math>
पर लागू होता है, जो रेखांकन, <math>\mathrm{graph}(S) \subseteq \mathrm{graph}(S')</math> को सम्मिलित करके क्रमित होते है। यह दिखाने के लिए मानक है कि <math>\Gamma</math> में प्रत्येक श्रृंखला में <math>\Gamma</math> की ऊपरी सीमा है, और <math>\Gamma</math> के किसी भी अधिकतम अवयव का प्रांत <math>[0, c]</math> है, जो अनुरोध को सिद्ध करता है।
रेखांकन को शामिल करने का आदेश दिया, <math>\mathrm{graph}(S) \subseteq \mathrm{graph}(S').</math> यह दिखाने के लिए मानक है कि प्रत्येक श्रृंखला में <math>\Gamma</math> में एक ऊपरी सीमा है <math>\Gamma,</math> और इसका कोई भी अधिकतम तत्व <math>\Gamma</math> डोमेन है <math>[0, c],</math> दावा साबित करना।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[परमाणु (आदेश सिद्धांत)]] — आदेश सिद्धांत में एक समान अवधारणा
* [[परमाणु (आदेश सिद्धांत)|परमाणु (क्रम सिद्धांत)]] — क्रम सिद्धांत में एक समान अवधारणा
* [[डिराक डेल्टा समारोह]]
* [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा फलन]]
* प्राथमिक घटना, जिसे परमाणु घटना के रूप में भी जाना जाता है
* प्राथमिक घटना, जिसे परमाणु घटना के रूप में भी जाना जाता है


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{{Measure theory}}
{{Measure theory}}
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Latest revision as of 08:36, 15 June 2023

गणित में, अधिक यथार्थ रूप से माप सिद्धांत में, एक परमाणु एक मापनीय समुच्चय होता है जिसका धनात्मक माप होता है और इसमें छोटे धनात्मक माप का कोई समुच्चय नहीं होता है। माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु या परमाणु रहित कहा जाता है।

परिभाषा

एक मापनीय समष्टि और उस समष्टि पर माप (गणित) को देखते हुए, में समुच्चय को एक परमाणु कहा जाता है यदि

और किसी भी मापनीय उपसमुच्चय के लिए
के साथ समुच्चय का माप शून्य है।

यदि एक परमाणु है, तो के - तुल्यता वर्ग के सभी उपसमुच्चय परमाणु हैं, और को परमाणु वर्ग कहा जाता है। यदि एक - परिमित माप है, तो असंख्य परमाणु वर्ग हैं।

उदाहरण

परमाणु के माप

मापनीय समष्टि पर - परिमित माप को परमाणु या विशुद्ध रूप से परमाणु कहा जाता है यदि धनात्मक माप के प्रत्येक मापनीय समुच्चय में एक परमाणु होता है। यह कहने के समतुल्य है कि शून्य समुच्चय तक परमाणुओं द्वारा गठित का गणनीय समुच्चय का विभाजन है।[1] -परिमितता की धारणा आवश्यक है। अन्यथा समष्टि पर विचार करें जहां गणना माप को दर्शाता है। यह समष्टि परमाणु है, जिसमें सभी परमाणु एकल (गणित) हैं, फिर भी समष्टि को कई अलग-अलग परमाणुओं, और एक शून्य समुच्चय असंयुक्त संयोजनों में विभाजित करने में सक्षम नहीं है, चूँकि एकल का गणनीय संयोजन एक गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं की अगणनीयता से पता चलता है कि पूरक अगणनीय होना होगा, इसलिए इसका -माप अनंत होगा, इसके विपरीत यह एक शून्य समुच्चय है। -परिमित समष्टि के परिणाम की वैधता परिमित माप रिक्त समष्टि के प्रमाण से अनुसरण करती है, यह देखते हुए कि गणनीय संयोजनों का गणनीय संयोजन फिर से गणनीय संयोजन है, और यह कि शून्य समुच्चयों के गणनीय संयोजन शून्य हैं।

असतत माप

- परिमित परमाणु माप को असतत कहा जाता है यदि किसी परमाणु वर्ग के परमाणुओं का प्रतिच्छेदन रिक्त नहीं है। यह कहने के समतुल्य[2] है कि गणनात्मक रूप से कई डिरैक मापों का भारित योग है, अर्थात में अंकों का अनुक्रम है, और धनात्मक वास्तविक संख्याओं (भार) का अनुक्रम ऐसा है कि , जिसका अर्थ है कि प्रत्येक के लिए । हम -वें परमाणु वर्ग में प्रत्येक बिंदु को परमाणुओं का सामान्य बिंदु चुन सकते हैं।

एक असतत माप परमाणु है परन्तु व्युत्क्रम निहितार्थ विफल रहता है: , को गणनीय और सह-गणनीय उपसमुच्चय का -बीजगणित, गणनीय उपसमुच्चय में और सह-गणनीय उपसमुच्चय में लें। फिर एकल परमाणु वर्ग होता है, जो सह-गणनीय उपसमुच्चय द्वारा गठित होता है। माप परमाणु है परन्तु अद्वितीय परमाणु वर्ग में परमाणुओं का प्रतिच्छेदन रिक्त है और को डिरैक मापों के योग के रूप में नहीं रखा जा सकता है।

यदि प्रत्येक परमाणु एकल के समतुल्य है, असतत है यदि यह परमाणु है। इस स्थिति में उपरोक्त परमाणु एकल हैं, इसलिए वे अद्वितीय हैं। बोरेल समुच्चय के साथ प्रदान किए गए वियोज्य मापीय समष्टि में कोई परिमित माप इस प्रतिबन्ध को पूरा करता है।[3]


गैर-परमाणु माप

एक माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु माप या विसरित माप कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक माप गैर-परमाणु है यदि किसी मापनीय समुच्चय के लिए के साथ का मापनीय उपसमुच्चय स्थित है जैसे कि

कम से कम धनात्मक मान के साथ एक गैर-परमाणु माप में समुच्चय के साथ प्रारम्भ होने वाले अलग-अलग मानों की अनंत संख्या होती है साथ मापनीय समुच्चयों के घटते क्रम का निर्माण किया जा सकता है
ऐसा है कि
यह उन मापों के लिए उचित नहीं हो सकते जिनमें परमाणु हों; ऊपर पहला उदाहरण देखें।

यह पता चला है कि गैर-परमाणु मापों में वस्तुतः मानों का सातत्य (सिद्धांत) होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि एक गैर-परमाणु माप है और के साथ मापनीय समुच्चय है, तो किसी भी वास्तविक संख्या के लिए

को संतुष्ट करने के लिए का मापनीय उपसमुच्चय स्थित होता है जैसे कि
यह सिद्धांत वैक्लाव सीरपिन्स्की के कारण है।[4][5] यह संतत फलनों के लिए मध्यवर्ती मान प्रमेय की याद दिलाते है।

गैर-परमाणु मापों पर सिएरपिन्स्की के प्रमेय के प्रमाण का रेखाचित्र। साधारणत: दृढ कथन, जो यद्यपि प्रमाण को सरल बनाता है, यह है कि यदि एक गैर-परमाणु माप समष्टि है और वहां एक फलन स्थित है जो समावेशन के संबंध में एकदिष्ट है, और इसका के दाएं-विपरीत है। अर्थात्, मापनीय समुच्चय का एक-पैरामीटर वर्ग स्थित है जैसे कि सभी

के लिए। प्रमाण सरलता से ज़ोर्न के लेम्मा से अनुसरण करता है जो सभी एकदिष्ट आंशिक वर्गों के समुच्चय पर  :
पर लागू होता है, जो रेखांकन, को सम्मिलित करके क्रमित होते है। यह दिखाने के लिए मानक है कि में प्रत्येक श्रृंखला में की ऊपरी सीमा है, और के किसी भी अधिकतम अवयव का प्रांत है, जो अनुरोध को सिद्ध करता है।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. "Analysis - Countable partition in atoms".
  2. "Why must a discrete atomic measure admit a decomposition into Dirac measures? Moreover, what is "an atomic class"?".
  3. Kadets, Vladimir (2018). कार्यात्मक विश्लेषण और माप सिद्धांत में एक कोर्स. Switzerland: Springer. p. 45. ISBN 978-3-319-92003-0.
  4. Sierpinski, W. (1922). "योज्य और निरंतर सेट कार्यों पर" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in français). 3: 240–246. doi:10.4064/fm-3-1-240-246.
  5. Fryszkowski, Andrzej (2005). डीकंपोज़ेबल सेट के लिए फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी (टोपोलॉजिकल फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी और इसके अनुप्रयोग). New York: Springer. p. 39. ISBN 1-4020-2498-3.


संदर्भ

  • Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997). Real analysis. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall. p. 108. ISBN 0-13-458886-X.
  • Butnariu, Dan; Klement, E. P. (1993). Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. Dordrecht: Kluwer Academic. p. 87. ISBN 0-7923-2369-6.


बाहरी संबंध

  • Atom at The Encyclopedia of Mathematics