अनुप्रस्थतः समदैशिक: Difference between revisions

Revision as of 10:21, 28 March 2023

लंबी तरंग दैर्ध्य पर चट्टानों में अनुप्रस्थ समदैशिकता देखी जाती है। प्रत्येक परत में लगभग समान गुण होते हैं, लेकिन अलग-अलग गुण मोटाई के माध्यम से होते हैं। प्रत्येक परत का तल समदैशिकता का तल है और ऊर्ध्वाधर अक्ष सममिति का अक्ष है।

अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी, भौतिक गुणों वाली एक अक्ष के विषय में सममित है जो समदैशिकता तल के लिए सामान्य होती है। इस अनुप्रस्थ तल में समरूपता के अनंत तल हैं इस प्रकार, इस तल के भीतर, भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान होते हैं। इसलिए, ऐसी भौतिकी को "ध्रुवीय विषमदैशिक" भौतिकी के रूप में भी जाना जाता है। भूभौतिकी में, लंबवत अनुप्रस्थ समदैशिकता (वीटीआई) को त्रिज्यीय विषमदैशिकता के रूप में भी जाना जाता है।

इस प्रकार की भौतिकी षट्कोणीय समरूपता प्रदर्शित करती है (हालांकि तकनीकी रूप से यह 6 और उच्च प्रकार के टेंसरों (प्रदिश) के लिए सही नहीं है इसलिए (4 स्थिति) प्रत्यास्थाता टेंसर में स्वतंत्र स्थिरांक की संख्या 5 तक कम हो जाती है सभी प्रकार से विषमदैशिक ठोस की स्थिति में स्थिरांक विद्युत प्रतिरोधकता, पारगम्यता आदि के टेंसरों में दो स्वतंत्र स्थिरांक होते हैं।

अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी का उदाहरण

एक अनुप्रस्थतः समदैशिक प्रत्यास्थाता भौतिकी।

अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी का एक उदाहरण तथाकथित अक्ष पर एकदिशीय सम्मिश्र लैमिना है जहां सम्मिश्र अनुप्रस्थ काट में वृत्ताकार होते हैं। एक एकदिशीय सम्मिश्र में, एकदिशीय सम्मिश्र के सामान्य तल को उत्तेजना के लंबे तरंग दैर्ध्य (कम आवृत्तियों) पर समदैशिक तल के रूप में माना जा सकता है। दाईं ओर की आकृति में, तंतुओं को $x_{2}$ अक्ष के साथ संरेखित किया जाएगा, जो समदैशिकता के तल के लिए सामान्य है।

प्रभावी गुणों के संदर्भ में, चट्टानों की भूवैज्ञानिक परतों को प्रायः अनुप्रस्थतः समदैशिक के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। शैलविज्ञान में ऐसी परतों के प्रभावी प्रत्यास्थाता गुणों की गणना के लिए "बैकस प्रक्रम" को निर्मित किया गया है जिसका वर्णन नीचे किया गया है।

भौतिकी सममित आव्यूह

भौतिकी आव्यूह ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ किसी दिए गए लंबकोणीय रूपांतरण के संबंध में ${\boldsymbol {A}}$ सममित है यदि यह उस परिवर्तन के अधीन होने पर नहीं परिवर्तित होता है। इस प्रकार के परिवर्तन के अंतर्गत भौतिक गुणों के प्रतिलोम के लिए हमें आवश्यकता होती है:

{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

इसलिए भौतिकी समरूपता (लंबकोणीय रूपांतरण की परिभाषा का उपयोग करके) की स्थिति है:

{\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}

लंबकोणीय रूपांतरणों को कार्तीय निर्देशांक में ${\boldsymbol {A}}$ द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है: दिया गया $3\times 3$ आव्यूह ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ है:

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

इसलिए, समरूपता की स्थिति को आव्यूह रूप में लिखा जा सकता है:

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी के लिए, आव्यूह रूप ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ है:

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.

जहां $x_{3}$ -अक्ष सममिति का अक्ष है। भौतिक आव्यूह $x_{3}$ अक्ष के किसी भी कोण $\theta$ से घूर्णन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय रहता है।

भौतिकी में

भौतिकी में रेखीय भौतिकी के संवैधानिक संबंधों को निम्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}

जहाँ $\mathbf {d} ,\mathbf {f}$ भौतिक राशि का प्रतिनिधित्व करने वाले दो सदिश हैं और ${\boldsymbol {K}}$ एक दूसरे क्रम की भौतिकी टेन्सर है। आव्यूह रूप में,

{\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

उपरोक्त आकृति में प्रयुक्त होने वाली भौतिक समस्याओं के उदाहरण नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।^[1]

समस्याए	$\mathbf {f}$	$\mathbf {d}$	${\boldsymbol {K}}$
विद्युत चालन	विद्युत प्रवाह $\mathbf {J}$	विद्युत क्षेत्र $\mathbf {E}$	विद्युत् चालकता ${\boldsymbol {\sigma }}$
पारद्युतिक	विद्युत विस्थापन $\mathbf {D}$	विद्युत क्षेत्र $\mathbf {E}$	विद्युत पारगम्यता ${\boldsymbol {\varepsilon }}$
चुंबकत्व	चुंबकीय प्रेरण $\mathbf {B}$	चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf {H}$	चुम्बकीय भेद्यता ${\boldsymbol {\mu }}$
तापीय चालकता	ऊष्मा का प्रवाह $\mathbf {q}$	तापमान प्रवणता $-{\boldsymbol {\nabla }}T$	ऊष्मीय चालकता ${\boldsymbol {\kappa }}$
प्रसार	कण प्रवाह $\mathbf {J}$	कम और अधिक घनत्व के बीच में एक घुले हुए पदार्थ का जमाव $-{\boldsymbol {\nabla }}c$	प्रसार ${\boldsymbol {D}}$
माध्यम में प्रवाह	भारित द्रव वेग $\eta _{\mu }\mathbf {v}$	दाब का एक माप ${\boldsymbol {\nabla }}P$	द्रव पारगम्यता ${\boldsymbol {\kappa }}$
प्रत्यास्था	तनाव ${\boldsymbol {\sigma }}$	तनाव ${\boldsymbol {\varepsilon }}$	दुर्नम्यता $\mathbf {C}$

इस तालिका का उपयोग करते हुए $\theta =\pi$ में ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ आव्यूह का तात्पर्य $K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0$ है जिसका का उपयोग करते हुए $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ की ओर जाता है तथा $K_{11}=K_{22}$ , $K_{12}=-K_{21}$ और $K_{12},K_{21}\geq 0$ और ऊर्जा प्रतिबंधों की सामान्यतः आवश्यकता होती है इसलिए हमारे पास $K_{12}=K_{21}=0$ होना चाहिए और अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी के भौतिक गुणों को आव्यूह द्वारा वर्णित किया गया है:

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}

रैखिक प्रत्यास्थाता में

भौतिक समरूपता के लिए शर्त

रैखिक प्रत्यास्थाता में, तनाव (भौतिकी) और अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत हुक के नियम से संबंधित हैं, अर्थात

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}

या, वायगट संकेत का उपयोग करके,

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

रैखिक प्रत्यास्थाता भौतिकी में भौतिक समरूपता की स्थिति है।^[2]

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}

जहाँ

\underline{\underline{A_{ε}}} = [\begin{matrix} A_{11}^{2} & A_{12}^{2} & A_{13}^{2} & A_{12} A_{13} & A_{11} A_{13} & A_{11} A_{12} \\ A_{21}^{2} & A_{22}^{2} & A_{23}^{2} & A_{22} A_{23} & A_{21} A_{23} & A_{21} A_{22} \\ A_{31}^{2} & A_{32}^{2} & A_{33}^{2} & A_{32} A_{33} & A_{31} A_{33} & A_{31} A_{32} \\ 2 A_{21} A_{31} & 2 A_{22} A_{32} & 2 A_{23} A_{33} & A_{22} A_{33} + A_{23} A_{32} & A_{21} A_{33} + A_{23} A_{31} & A_{21} A_{32} + A_{22} A_{31} \\ 2 A_{11} A_{31} & 2 A_{12} A_{32} & 2 A_{13} A_{33} & A_{12} A_{33} + A_{13} A_{32} & A_{11} A_{33} + A_{13} A_{31} & A_{11} A_{32} + A_{12} A_{31} \\ 2 A_{} \end{matrix}

प्रत्यास्थाता टेंसर

आव्यूह

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

में

\theta

के विशिष्ट मानों का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है^[3] कि चौथी स्थिति प्रत्यास्थाता कठोरता टेंसर को 2-सारणी वायगट संकेत में आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है:

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.

प्रत्यास्थाता कठोरता आव्यूह $C_{ij}$ 5 स्वतंत्र स्थिरांक हैं, जो निम्नलिखित तरीके से प्रसिद्ध तकनीकी प्रत्यास्थाता मापांक से संबंधित हैं। ये तकनीकी मॉड्यूल प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किए गए हैं। अनुफलन आव्यूह प्रत्यास्थाता समिश्र आव्यूह का व्युत्क्रम है:

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}

जहाँ $\Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]$ तकनीकी संकेत में,

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}

अनुफलन आव्यूह के इन दो रूपों की तुलना करने से हमें पता चलता है कि अनुदैर्ध्य यंग का मापांक किसके द्वारा दिया गया है:

E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})

इसी प्रकार, अनुप्रस्थ यंग का मापांक है

E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})

अंतर्देशीय अपरूपण मापांक है

G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}

और ध्रुवीय अक्ष के साथ लोड करने के लिए प्वासों का अनुपात है

\nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})

.

यहाँ, L अनुदैर्ध्य (ध्रुवीय) दिशा का प्रतिनिधित्व करता है और T अनुप्रस्थ दिशा का प्रतिनिधित्व करता है।

भूभौतिकी में

भूभौतिकी में, एक सामान्य धारणा यह है कि भूपर्पटी की चट्टानें स्थानीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थाता विषमदैशिक सजातीय माध्यम (अनुप्रस्थतः समदैशिक) हैं यह भूभौतिकीय रुचि की सबसे सरल स्थिति है। बैकस प्रकम^[4] लंबी तरंग दैर्ध्य भूकंपीय तरंगों के लिए स्तरित माध्यम के प्रभावी अनुप्रस्थतः समदैशिक प्रत्यास्थाता स्थिरांक को निर्धारित करने के लिए प्रायः उपयोग किया जाता है।

बैकस सन्निकटन में किए गए अनुमान हैं:

सभी भौतिकी रैखिक रूप से प्रत्यास्थाता हैं।
आंतरिक ऊर्जा अपव्यय का कोई स्रोत नहीं (जैसे घर्षण) है।
अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में मान्य, इसलिए अच्छे परिणाम तभी प्राप्त होते हैं जब परत की मोटाई तरंग दैर्ध्य से बहुत कम हो।
परत प्रत्यास्थाता गुणों के वितरण के आँकड़े स्थिर हैं, अर्थात इन गुणों में कोई सहसंबद्ध प्रवृत्ति नहीं होती है।

कम तरंग दैर्ध्य के लिए, भूकंपीय तरंगों को समतल तरंगों के अध्यारोपण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। अनुप्रस्थतः समदैशिक माध्यम तीन प्रकार की प्रत्यास्थाता समतल तरंगों का समर्थन करता है:

अर्ध-P तरंग (ध्रुवीकरण (तरंगें) दिशा लगभग प्रसार दिशा के बराबर)
अर्ध-S तरंग
S तरंग (ध्रुवीकृत लंबकोणीय अर्ध-S तरंग के लिए, समरूपता अक्ष के लिए, और प्रसार की दिशा में)।

फूरियर विश्लेषण का उपयोग करते हुए, इन समतल तरंगों से ऐसे माध्यम में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान का निर्माण किया जा सकता है।

बैकस सन्निकटन (लंबी तरंग दैर्ध्य सन्निकटन)

सजातीय और समदैशिक भौतिकी का एक स्तरित मॉडल, बैकस द्वारा प्रस्तावित अनुप्रस्थ समदैशिक माध्यम में प्रसारित किया जा सकता है।^[4]

बैकस ने एक समतुल्य माध्यम सिद्धांत प्रस्तुत किया, एक विषम माध्यम को एक सजातीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो वास्तविक माध्यम में तरंग प्रसार का पूर्वानुमान करता है।^[5] बैकस ने दिखाया कि तरंग दैर्ध्य की तुलना में अपेक्षाकृत पैमाने के स्तर पर प्रभाव पड़ता है और कई समदैशिक परतों को एक सजातीय अनुप्रस्थतः समदैशिक माध्यम से परिवर्तित किया जा सकता है जो अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में स्थिर भार के अंतर्गत वास्तविक माध्यम के समान ही व्यवहार करता है।

यदि प्रत्येक परत $i$ को 5 अनुप्रस्थतः समदैशिक मापदंडों $(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})$ द्वारा वर्णित किया जाता है तो आव्यूह निर्दिष्ट करता है:

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}

प्रभावी माध्यम के लिए प्रत्यास्थता गुणांक होगा

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}

जहाँ

{\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}

$\langle \cdot \rangle$ सभी परतों पर आयतन भारित औसत दर्शाता है।

इसमें समदैशिक परतें सम्मिलित हैं, क्योंकि परत समदैशिक है यदि $b_{i}=a_{i}-2e_{i}$ , $a_{i}=c_{i}$ और $d_{i}=e_{i}$ है।

लघु और मध्यम तरंग दैर्ध्य सन्निकटन

रैखिक प्रत्यास्थाता अनुप्रस्थतः समदैशिक माध्यम में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान अर्ध-P तरंग, अर्ध S तरंग, और S तरंग ध्रुवीकृत लंबकोणीय को अर्ध S तरंग के लिए अध्यारोपण समाधानों द्वारा निर्मित किया जा सकता है। हालाँकि, वेग की कोणीय भिन्नता के समीकरण बीजगणितीय रूप से समिश्र हैं और समतल-तरंग वेग प्रसार कोण $\theta$ हैं।^[6] भौतिकी के माध्यम से प्रत्यास्थाता तरंगों के लिए दिशा निर्भर संकेत वेग रैखिक प्रत्यास्थाता का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसके द्वारा दिया जाता है:^[7]

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}

जहाँ ${\begin{aligned}\theta \end{aligned}}$ समरूपता के अक्ष और तरंग प्रसार दिशा के बीच का कोण है, $\rho$ द्रव्यमान घनत्व है और $C_{ij}$ रैखिक प्रत्यास्थाता # विषमदैशिक सजातीय माध्यम के तत्व हैं। इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें समझने में आसान बनाने के लिए थॉमसन पैरामीटर का उपयोग किया जाता है।

थॉमसन पैरामीटर

थॉमसन पैरामीटर^[8] प्रत्यास्थाता मोडुली के आयाम रहित संयोजन हैं जो अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी की विशेषता रखते हैं जिनका सामना किया जाता है, उदाहरण के लिए, भूभौतिकी में प्रत्यास्थाता हुक के नियम के घटकों के संदर्भ में आव्यूह प्रतिनिधित्व को इन मापदंडों मे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}

जहाँ सूचकांक 3 सममिति के अक्ष को इंगित करता है ( $\mathbf {e} _{3}$ ) संबद्ध पी-तरंग और S तरंग वेग के संयोजन के साथ इन मापदंडों का उपयोग विषमदैशिक, स्तरित माध्यम के माध्यम से तरंग प्रसार को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है। अनुभवजन्य रूप से, अधिकांश स्तरित रॉक संरचनाओं के लिए थॉमसन पैरामीटर 1 से अपेक्षाकृत कम हैं।

नाम ह्यूस्टन विश्वविद्यालय में भूभौतिकी के प्राध्यापक लियोन थॉमसन को संदर्भित करता है जिन्होंने अपने 1986 के पेपर प्रत्यास्थ विषमदैशिक में इन मापदंडों का प्रस्ताव रखा था।

तरंग वेगों के लिए सरलीकृत भाव

भूभौतिकी में प्रत्यास्थाता गुणों में विषमदैशिकता सामान्यतः समिश्र होती है इस स्थिति में $\delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1$ जब उपरोक्त तरंग वेगों के सटीक भावों को इन छोटी राशियों में रेखीयकृत किया जाता है, तो वे सरल हो जाते हैं:

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}

जहाँ

V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}

समरूपता के अक्ष की दिशा में P और S तरंग वेग $\mathbf {e} _{3}$ हैं भूभौतिकी में, यह सामान्यतः लेकिन सदैव नहीं, लंबवत दिशा होती है)। ध्यान दें कि $\delta$ आगे और रैखिक किया जा सकता है, लेकिन इससे और सरलीकरण नहीं होता है। तरंग वेगों के लिए अनुमानित भाव की भौतिक रूप से व्याख्या करने के लिए अपेक्षाकृत सरल हैं और अधिकांश भूभौतिकीय अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त रूप से शुद्ध हैं। ये अभिव्यक्तियाँ कुछ संदर्भों में भी उपयोगी होती हैं जहाँ विषमदैशिकता नहीं होती है।

यह भी देखें

हुक का नियम
रैखिक प्रत्यास्थाता
लंबकोणीय भौतिकी

संदर्भ

↑ Milton, G. W. (2002). कंपोजिट का सिद्धांत. Cambridge University Press.
↑ Slawinski, M. A. (2010). लोचदार निरंतरता में लहरें और किरणें (PDF). World Scientific. Archived from the original (PDF) on 2009-02-10.
↑ We can use the values $\theta =\pi$ and $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ for a derivation of the stiffness matrix for transversely isotropic materials. Specific values are chosen to make the calculation easier.
↑ ^4.0 ^4.1 Backus, G. E. (1962), Long-Wave Elastic Anisotropy Produced by Horizontal Layering, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440
↑ Ikelle, Luc T. and Amundsen, Lasse (2005),Introduction to petroleum seismology, SEG Investigations in Geophysics No. 12
↑ Nye, J. F. (2000). Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press.
↑ G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4
↑ Thomsen, Leon (1986). "कमजोर लोचदार अनिसोट्रॉपी". Geophysics. 51 (10): 1954–1966. Bibcode:1986Geop...51.1954T. doi:10.1190/1.1442051.

[Milton-1] Milton, G. W. (2002). कंपोजिट का सिद्धांत. Cambridge University Press.

[Slawinski-2] Slawinski, M. A. (2010). लोचदार निरंतरता में लहरें और किरणें (PDF). World Scientific. Archived from the original (PDF) on 2009-02-10.

[note1-3] We can use the values $\theta =\pi$ and $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ for a derivation of the stiffness matrix for transversely isotropic materials. Specific values are chosen to make the calculation easier.

[Backus-4] 4.0 ^4.1 Backus, G. E. (1962), Long-Wave Elastic Anisotropy Produced by Horizontal Layering, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440

[5] Ikelle, Luc T. and Amundsen, Lasse (2005),Introduction to petroleum seismology, SEG Investigations in Geophysics No. 12

[6] Nye, J. F. (2000). Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press.

[7] G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4

[T86-8] Thomsen, Leon (1986). "कमजोर लोचदार अनिसोट्रॉपी". Geophysics. 51 (10): 1954–1966. Bibcode:1986Geop...51.1954T. doi:10.1190/1.1442051.

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[5]

[6]

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@@ Line 58: / Line 58: @@
 | [[Diffusion|प्रसार]] || [[flux|कण प्रवाह]] <br /><math>\mathbf{J}</math>|| [[Concentration gradient|कम और अधिक घनत्व के बीच में एक घुले हुए पदार्थ का जमाव]]<br /><math>-\boldsymbol{\nabla}c</math> || [[Mass diffusivity|प्रसार]]<br /> <math>\boldsymbol{D}</math>
 |-
-| [[porous media|मीडिया में प्रवाह]]|| [[velocity|भारित द्रव वेग]] <br /><math>\eta_\mu\mathbf{v}</math>|| [[Pressure gradient|दाब का एक माप]] <br /><math>\boldsymbol{\nabla}P</math>|| [[Fluid permeability|द्रव पारगम्यता]] <br /><math>\boldsymbol{\kappa}</math>
+| [[porous media|माध्यम में प्रवाह]]|| [[velocity|भारित द्रव वेग]] <br /><math>\eta_\mu\mathbf{v}</math>|| [[Pressure gradient|दाब का एक माप]] <br /><math>\boldsymbol{\nabla}P</math>|| [[Fluid permeability|द्रव पारगम्यता]] <br /><math>\boldsymbol{\kappa}</math>
 |-
 |  [[Linear elasticity|प्रत्यास्था]]|| [[Stress (mechanics)|तनाव]] <br /><math>\boldsymbol\sigma</math>|| [[Deformation (mechanics)|तनाव]] <br /><math>\boldsymbol\varepsilon</math>|| [[Stiffness tensor|दुर्नम्यता]] <br /><math>\mathbf{C}</math>
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 == भूभौतिकी में ==
-भूभौतिकी में, एक सामान्य धारणा यह है कि भूपर्पटी की चट्टानें स्थानीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थाता विषमदैशिक सजातीय मीडिया (अनुप्रस्थतः समदैशिक) हैं यह भूभौतिकीय रुचि की सबसे सरल स्थिति है। बैकस प्रकम<ref name =Backus/> लंबी तरंग दैर्ध्य भूकंपीय तरंगों के लिए स्तरित मीडिया के प्रभावी अनुप्रस्थतः समदैशिक प्रत्यास्थाता स्थिरांक को निर्धारित करने के लिए प्रायः उपयोग किया जाता है।
+भूभौतिकी में, एक सामान्य धारणा यह है कि भूपर्पटी की चट्टानें स्थानीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थाता विषमदैशिक सजातीय माध्यम (अनुप्रस्थतः समदैशिक) हैं यह भूभौतिकीय रुचि की सबसे सरल स्थिति है। बैकस प्रकम<ref name =Backus/> लंबी तरंग दैर्ध्य भूकंपीय तरंगों के लिए स्तरित माध्यम के प्रभावी अनुप्रस्थतः समदैशिक प्रत्यास्थाता स्थिरांक को निर्धारित करने के लिए प्रायः उपयोग किया जाता है।
 बैकस सन्निकटन में किए गए अनुमान हैं:
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 * परत प्रत्यास्थाता गुणों के वितरण के आँकड़े स्थिर हैं, अर्थात इन गुणों में कोई सहसंबद्ध प्रवृत्ति नहीं होती है।
-कम तरंग दैर्ध्य के लिए, भूकंपीय तरंगों को समतल तरंगों के अध्यारोपण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। अनुप्रस्थतः समदैशिक मीडिया तीन प्रकार की प्रत्यास्थाता समतल तरंगों का समर्थन करता है:
+कम तरंग दैर्ध्य के लिए, भूकंपीय तरंगों को समतल तरंगों के अध्यारोपण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। अनुप्रस्थतः समदैशिक माध्यम तीन प्रकार की प्रत्यास्थाता समतल तरंगों का समर्थन करता है:
 * अर्ध-[[पी लहर|P तरंग]] (ध्रुवीकरण (तरंगें) दिशा लगभग प्रसार दिशा के बराबर)
 *अर्ध-S तरंग
 * S तरंग (ध्रुवीकृत लंबकोणीय अर्ध-S तरंग के लिए, समरूपता अक्ष के लिए, और प्रसार की दिशा में)।
-[[फूरियर विश्लेषण]] का उपयोग करते हुए, इन समतल तरंगों से ऐसे मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान का निर्माण किया जा सकता है।
+[[फूरियर विश्लेषण]] का उपयोग करते हुए, इन समतल तरंगों से ऐसे माध्यम में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान का निर्माण किया जा सकता है।
 === बैकस सन्निकटन (लंबी तरंग दैर्ध्य सन्निकटन) ===
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 === लघु और मध्यम तरंग दैर्ध्य सन्निकटन ===
-रैखिक प्रत्यास्थाता अनुप्रस्थतः समदैशिक मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान अर्ध-P तरंग, अर्ध S तरंग, और S तरंग ध्रुवीकृत लंबकोणीय को अर्ध S तरंग के लिए अध्यारोपण समाधानों द्वारा निर्मित किया जा सकता है। हालाँकि, वेग की कोणीय भिन्नता के समीकरण बीजगणितीय रूप से समिश्र हैं और समतल-तरंग वेग प्रसार कोण <math>\theta</math> हैं।<ref>{{cite book|last=Nye|first= J. F.|year=2000|title=Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices | publisher= Oxford University Press }}</ref> भौतिकी के माध्यम से प्रत्यास्थाता तरंगों के लिए दिशा निर्भर संकेत वेग रैखिक प्रत्यास्थाता का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसके द्वारा दिया जाता है:<ref>G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. ''The Rock Physics Handbook''. Cambridge University Press 2003 (paperback). {{ISBN|0-521-54344-4}}</ref>
+रैखिक प्रत्यास्थाता अनुप्रस्थतः समदैशिक माध्यम में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान अर्ध-P तरंग, अर्ध S तरंग, और S तरंग ध्रुवीकृत लंबकोणीय को अर्ध S तरंग के लिए अध्यारोपण समाधानों द्वारा निर्मित किया जा सकता है। हालाँकि, वेग की कोणीय भिन्नता के समीकरण बीजगणितीय रूप से समिश्र हैं और समतल-तरंग वेग प्रसार कोण <math>\theta</math> हैं।<ref>{{cite book|last=Nye|first= J. F.|year=2000|title=Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices | publisher= Oxford University Press }}</ref> भौतिकी के माध्यम से प्रत्यास्थाता तरंगों के लिए दिशा निर्भर संकेत वेग रैखिक प्रत्यास्थाता का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसके द्वारा दिया जाता है:<ref>G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. ''The Rock Physics Handbook''. Cambridge University Press 2003 (paperback). {{ISBN|0-521-54344-4}}</ref>
 :<math>
    \begin{align}
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    \end{align}
 </math>
-जहाँ <math>\begin{align}\theta\end{align}</math> समरूपता के अक्ष और तरंग प्रसार दिशा के बीच का कोण है, <math>\rho</math> द्रव्यमान घनत्व है और <math>C_{ij}</math> रैखिक प्रत्यास्थाता # विषमदैशिक सजातीय मीडिया के तत्व हैं। इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें समझने में आसान बनाने के लिए थॉमसन पैरामीटर का उपयोग किया जाता है।
+जहाँ <math>\begin{align}\theta\end{align}</math> समरूपता के अक्ष और तरंग प्रसार दिशा के बीच का कोण है, <math>\rho</math> द्रव्यमान घनत्व है और <math>C_{ij}</math> रैखिक प्रत्यास्थाता # विषमदैशिक सजातीय माध्यम के तत्व हैं। इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें समझने में आसान बनाने के लिए थॉमसन पैरामीटर का उपयोग किया जाता है।
 ==== थॉमसन पैरामीटर ====
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    \end{align}
 </math>
-जहाँ सूचकांक 3 सममिति के अक्ष को इंगित करता है (<math>\mathbf{e}_3</math>) संबद्ध पी-तरंग और S तरंग वेग के संयोजन के साथ इन मापदंडों का उपयोग विषमदैशिक, स्तरित मीडिया के माध्यम से तरंग प्रसार को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है। अनुभवजन्य रूप से, अधिकांश स्तरित रॉक संरचनाओं के लिए थॉमसन पैरामीटर 1 से अपेक्षाकृत कम हैं।
+जहाँ सूचकांक 3 सममिति के अक्ष को इंगित करता है (<math>\mathbf{e}_3</math>) संबद्ध पी-तरंग और S तरंग वेग के संयोजन के साथ इन मापदंडों का उपयोग विषमदैशिक, स्तरित माध्यम के माध्यम से तरंग प्रसार को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है। अनुभवजन्य रूप से, अधिकांश स्तरित रॉक संरचनाओं के लिए थॉमसन पैरामीटर 1 से अपेक्षाकृत कम हैं।
 नाम [[ह्यूस्टन विश्वविद्यालय]] में भूभौतिकी के प्राध्यापक लियोन थॉमसन को संदर्भित करता है जिन्होंने अपने 1986 के पेपर प्रत्यास्थ विषमदैशिक में इन मापदंडों का प्रस्ताव रखा था।

v t e Topics in continuum mechanics
Divisions	Solid mechanics Fluid mechanics Acoustics Vibrations Rigid body dynamics
Laws and Definitions	Laws Conservation of mass Conservation of momentum Navier-Stokes Bernoulli Poiseuille Archimedes Pascal Conservation of energy Entropy inequality Definitions Stress Cauchy stress Stress measures Deformation Small strain Antiplane shear Large strain Compatibility
Solid and Structural mechanics	Solids Elasticity linear Hooke's law Transverse isotropy Orthotropy hyperelasticity Membrane elasticity Equation of state Hugoniot JWL hypoelasticity Cauchy elasticity Viscoelasticity Creep Concrete creep Plasticity Rock mass plasticity Viscoplasticity Yield criterion Bresler-Pister Contact mechanics Frictionless Frictional Material failure theory Drucker stability Material failure theory Fatigue Fracture mechanics J-integral Compact tension specimen Damage mechanics Johnson-Holmquist Structures Bending Bending moment Bending of plates Sandwich theory
Fluid mechanics	Fluids Fluid statics Fluid dynamics Navier–Stokes equations Bernoulli's principle Poiseuille equation Buoyancy Viscosity Newtonian Non-Newtonian Archimedes' principle Pascal's law Pressure Liquids Surface tension Capillary action Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Gay-Lussac's law Combined gas law Plasma
Acoustics	Acoustic theory Aeroacoustics
Rheology	Viscoelasticity Smart fluids Magnetorheological Electrorheological Ferrofluids Rheometry Rheometer
Scientists	Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes
Awards	Eringen Medal William Prager Medal

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अनुप्रस्थतः समदैशिक: Difference between revisions

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