अनुप्रस्थतः समदैशिक: Difference between revisions

Revision as of 21:42, 27 March 2023

लंबी तरंग दैर्ध्य पर तलछटी चट्टानों में अनुप्रस्थ समदैशिकता देखी जाती है। प्रत्येक परत में लगभग समान गुण होते हैं, लेकिन अलग-अलग गुण मोटाई के माध्यम से होते हैं। प्रत्येक परत का तल समदैशिकता का तल है और ऊर्ध्वाधर अक्ष सममिति का अक्ष है।

अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी, भौतिक गुणों वाली एक अक्ष के विषय में सममित होती है जो समदैशिकता के समतल के लिए सामान्य होती है। इस अनुप्रस्थ तल में समरूपता के अनंत तल हैं इस प्रकार, इस तल के भीतर, भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान होते हैं। इसलिए, ऐसी भौतिकी को "ध्रुवीय विषमदैशिक" भौतिकी के रूप में भी जाना जाता है। भूभौतिकी में, लंबवत अनुप्रस्थ समदैशिकता (वीटीआई) को त्रिज्यीय विषमदैशिकता के रूप में भी जाना जाता है।

इस प्रकार की भौतिकी षट्कोणीय समरूपता प्रदर्शित करती है (हालांकि तकनीकी रूप से यह 6 और उच्चतर के टेंसरों के लिए सही नहीं है), इसलिए (4 स्थिति) प्रत्यास्थाता टेंसर में स्वतंत्र स्थिरांक की संख्या 5 तक कम हो जाती है सभी प्रकार से विषमदैशिक ठोस की स्थिति में स्थिरांक विद्युत प्रतिरोधकता, पारगम्यता आदि के टेंसरों में दो स्वतंत्र स्थिरांक होते हैं।

अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी का उदाहरण

एक अनुप्रस्थतः समदैशिक प्रत्यास्थातादार भौतिकी।

अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी का एक उदाहरण तथाकथित पर अक्ष एकदिशीय सम्मिश्र लैमिना है जहां सम्मिश्र क्रॉस सेक्शन में गोलाकार होते हैं। एक एकदिशीय सम्मिश्र में, फाइबर दिशा के सामान्य विमान को उत्तेजना के लंबे तरंग दैर्ध्य (कम आवृत्तियों) पर समदैशिक विमान के रूप में माना जा सकता है। दाईं ओर की आकृति में, तंतुओं को $x_{2}$ अक्ष के साथ संरेखित किया जाएगा, जो समदैशिकता के तल के लिए सामान्य है।

प्रभावी गुणों के संदर्भ में, चट्टानों की भूवैज्ञानिक परतों को प्रायः अनुप्रस्थतः समदैशिक के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। पेट्रोलॉजी में ऐसी परतों के प्रभावी प्रत्यास्थाता गुणों की गणना बैकस अपस्केलिंग को गढ़ा गया है जिसका वर्णन नीचे किया गया है।

भौतिकी समरूपता आव्यूह

भौतिकी आव्यूह ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ किसी दिए गए लंबकोणीय रूपांतरण के संबंध में एक समरूपता है ( ${\boldsymbol {A}}$ ) यदि यह उस परिवर्तन के अधीन होने पर नहीं बदलता है।

इस तरह के परिवर्तन के तहत भौतिक गुणों के प्रतिलोम के लिए हमें आवश्यकता होती है

{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

इसलिए भौतिकी समरूपता की स्थिति है (लंबकोणीय रूपांतरण की परिभाषा का उपयोग करके)

{\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}

लंबकोणीय रूपांतरणों को कार्तीय निर्देशांक में ए द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है $3\times 3$ आव्यूह ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ द्वारा दिए गए

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

इसलिए, समरूपता की स्थिति को आव्यूह रूप में लिखा जा सकता है

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

अनुप्रस्थतः आइसोटोपिक भौतिकी के लिए, आव्यूह ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ रूप है

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.

जहां $x_{3}$ -अक्ष सममिति का अक्ष है। भौतिक आव्यूह किसी भी कोण से रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय रहता है $\theta$ के बारे में $x_{3}$ -एक्सिस।

भौतिकी में

भौतिकी में रेखीय भौतिकी के संवैधानिक संबंधों को रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d}

जहाँ $\mathbf {d} ,\mathbf {f}$ भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाले दो वैक्टर हैं और ${\boldsymbol {K}}$ एक दूसरे क्रम की भौतिकी टेन्सर है। आव्यूह रूप में,

{\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

उपरोक्त टेम्प्लेट में फिट होने वाली शारीरिक समस्याओं के उदाहरण नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।^[1]

समस्याए	$\mathbf {f}$	$\mathbf {d}$	${\boldsymbol {K}}$
विद्युत चालन	विद्युत प्रवाह $\mathbf {J}$	विद्युत क्षेत्र $\mathbf {E}$	विद्युत् चालकता ${\boldsymbol {\sigma }}$
पारद्युतिक	विद्युत विस्थापन $\mathbf {D}$	विद्युत क्षेत्र $\mathbf {E}$	विद्युत पारगम्यता ${\boldsymbol {\varepsilon }}$
चुंबकत्व	चुंबकीय प्रेरण $\mathbf {B}$	चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf {H}$	चुम्बकीय भेद्यता ${\boldsymbol {\mu }}$
तापीय चालकता	ऊष्मा का प्रवाह $\mathbf {q}$	तापमान प्रवणता $-{\boldsymbol {\nabla }}T$	ऊष्मीय चालकता ${\boldsymbol {\kappa }}$
प्रसार	कण प्रवाह $\mathbf {J}$	कम और अधिक घनत्व के बीच में एक घुले हुए पदार्थ का जमाव $-{\boldsymbol {\nabla }}c$	प्रसार ${\boldsymbol {D}}$
मीडिया में प्रवाह	भारित द्रव वेग $\eta _{\mu }\mathbf {v}$	दाब का एक माप ${\boldsymbol {\nabla }}P$	द्रव पारगम्यता ${\boldsymbol {\kappa }}$
तन्यता	तनाव ${\boldsymbol {\sigma }}$	तनाव ${\boldsymbol {\varepsilon }}$	दुर्नम्यता $\mathbf {C}$

का उपयोग करते हुए $\theta =\pi$ में ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$ आव्यूह का तात्पर्य है $K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0$ . का उपयोग करते हुए $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ ओर जाता है $K_{11}=K_{22}$ और $K_{12}=-K_{21}$ . ऊर्जा प्रतिबंधों की सामान्यतः आवश्यकता होती है $K_{12},K_{21}\geq 0$ और इसलिए हमारे पास होना चाहिए $K_{12}=K_{21}=0$ . इसलिए, अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी के भौतिक गुणों को आव्यूह द्वारा वर्णित किया गया है

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}

रैखिक प्रत्यास्थाता में

भौतिक समरूपता के लिए शर्त

रैखिक प्रत्यास्थाता में, तनाव (भौतिकी) और अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत हुक के नियम से संबंधित हैं, अर्थात

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}

या, वायगट नोटेशन का उपयोग करके,

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

रैखिक प्रत्यास्थातादार भौतिकी में भौतिक समरूपता की स्थिति है।^[2]

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}

जहाँ

\underline{\underline{A_{ε}}} = [\begin{matrix} A_{11}^{2} & A_{12}^{2} & A_{13}^{2} & A_{12} A_{13} & A_{11} A_{13} & A_{11} A_{12} \\ A_{21}^{2} & A_{22}^{2} & A_{23}^{2} & A_{22} A_{23} & A_{21} A_{23} & A_{21} A_{22} \\ A_{31}^{2} & A_{32}^{2} & A_{33}^{2} & A_{32} A_{33} & A_{31} A_{33} & A_{31} A_{32} \\ 2 A_{21} A_{31} & 2 A_{22} A_{32} & 2 A_{23} A_{33} & A_{22} A_{33} + A_{23} A_{32} & A_{21} A_{33} + A_{23} A_{31} & A_{21} A_{32} + A_{22} A_{31} \\ 2 A_{11} A_{31} & 2 A_{12} A_{32} & 2 A_{13} A_{33} & A_{12} A_{33} + A_{13} A_{32} & A_{11} A_{33} + A_{13} A_{31} & A_{11} A_{32} + A_{12} A_{31} \\ 2 A_{} \end{matrix}

प्रत्यास्थाता टेंसर

के विशिष्ट मूल्यों का उपयोग करना

\theta

आव्यूह में

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

,^[3] यह दिखाया जा सकता है कि चौथी रैंक प्रत्यास्थाता कठोरता टेन्सर को 2-इंडेक्स लीनियर इलास्टिसिटी#विषमदैशिक सजातीय मीडिया में आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.

प्रत्यास्थाता कठोरता आव्यूह $C_{ij}$ 5 स्वतंत्र स्थिरांक हैं, जो निम्नलिखित तरीके से प्रसिद्ध इंजीनियरिंग प्रत्यास्थातादार मापांक से संबंधित हैं। ये इंजीनियरिंग मॉड्यूल प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किए गए हैं।

अनुपालन आव्यूह (प्रत्यास्थातादार कठोरता आव्यूह का व्युत्क्रम) है

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}

जहाँ $\Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]$ . इंजीनियरिंग नोटेशन में,

{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}

अनुपालन आव्यूह के इन दो रूपों की तुलना करने से हमें पता चलता है कि अनुदैर्ध्य यंग का मापांक किसके द्वारा दिया गया है

E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})

इसी प्रकार, अनुप्रस्थ यंग का मापांक है

E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})

इनप्लेन अपरूपण मापांक है

G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}

और ध्रुवीय अक्ष के साथ लोड करने के लिए प्वासों का अनुपात है

\nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})

.

यहाँ, L अनुदैर्ध्य (ध्रुवीय) दिशा का प्रतिनिधित्व करता है और T अनुप्रस्थ दिशा का प्रतिनिधित्व करता है।

भूभौतिकी में

भूभौतिकी में, एक आम धारणा यह है कि भूपर्पटी की चट्टानें स्थानीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थाता #विषमदैशिक सजातीय मीडिया (अनुप्रस्थतः समदैशिक) हैं; यह भूभौतिकीय रुचि का सबसे सरल मामला है। बैकस अपस्केलिंग^[4]लंबी तरंग दैर्ध्य भूकंपीय तरंगों के लिए स्तरित मीडिया के प्रभावी अनुप्रस्थतः समदैशिक प्रत्यास्थातादार स्थिरांक को निर्धारित करने के लिए प्रायः उपयोग किया जाता है।

बैकस सन्निकटन में किए गए अनुमान हैं:

सभी भौतिकी रैखिक रूप से प्रत्यास्थातादार हैं
आंतरिक ऊर्जा अपव्यय का कोई स्रोत नहीं (जैसे घर्षण)
अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में मान्य, इसलिए अच्छे परिणाम तभी मिलते हैं जब परत की मोटाई तरंग दैर्ध्य से बहुत कम हो
परत प्रत्यास्थातादार गुणों के वितरण के आँकड़े स्थिर हैं, अर्थात इन गुणों में कोई सहसंबद्ध प्रवृत्ति नहीं है।

कम तरंग दैर्ध्य के लिए, भूकंपीय तरंगों के व्यवहार को समतल तरंगों के अध्यारोपण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। अनुप्रस्थतः समदैशिक मीडिया तीन प्रकार की प्रत्यास्थातादार समतल तरंगों का समर्थन करता है:

एक अर्ध-पी लहर (ध्रुवीकरण (तरंगें) दिशा लगभग प्रसार दिशा के बराबर)
एक अर्ध-एस तरंग
एक एस-वेव (ध्रुवीकृत लंबकोणीय अर्ध-एस तरंग के लिए, समरूपता अक्ष के लिए, और प्रसार की दिशा में)।

फूरियर विश्लेषण का उपयोग करते हुए, इन समतल तरंगों से ऐसे मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान का निर्माण किया जा सकता है।

बैकस अपस्केलिंग (लंबी तरंग दैर्ध्य सन्निकटन)

सजातीय और समदैशिक भौतिकी का एक स्तरित मॉडल, बैकस द्वारा प्रस्तावित अनुप्रस्थ समदैशिक माध्यम में बढ़ाया जा सकता है।^[4] बैकस ने एक समतुल्य माध्यम सिद्धांत प्रस्तुत किया, एक विषम माध्यम को एक सजातीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो वास्तविक माध्यम में तरंग प्रसार की भविष्यवाणी करता है।^[5] बैकस ने दिखाया कि तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत बेहतर पैमाने पर लेयरिंग का प्रभाव पड़ता है और कई समदैशिक परतों को एक सजातीय अनुप्रस्थतः समदैशिक माध्यम से बदला जा सकता है जो अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में स्थिर भार के तहत वास्तविक माध्यम के समान ही व्यवहार करता है। .

यदि प्रत्येक परत $i$ 5 अनुप्रस्थतः समदैशिक मापदंडों द्वारा वर्णित है $(a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})$ , आव्यूह निर्दिष्ट करना

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}

प्रभावी माध्यम के लिए प्रत्यास्थता गुणांक होगा

{\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}

जहाँ

{\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}

$\langle \cdot \rangle$ सभी परतों पर आयतन भारित औसत दर्शाता है।

इसमें समदैशिक परतें शामिल हैं, क्योंकि परत समदैशिक है यदि $b_{i}=a_{i}-2e_{i}$ , $a_{i}=c_{i}$ और $d_{i}=e_{i}$ .

लघु और मध्यम तरंग दैर्ध्य सन्निकटन

रैखिक प्रत्यास्थातादार अनुप्रस्थतः समदैशिक मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान अर्ध-पी लहर, अर्ध एस-लहर, और एस-लहर ध्रुवीकृत लंबकोणीय को अर्ध एस-लहर के लिए सुपरपोज़िंग समाधानों द्वारा निर्मित किया जा सकता है।

हालाँकि, वेग की कोणीय भिन्नता के समीकरण बीजगणितीय रूप से जटिल हैं और समतल-तरंग वेग प्रसार कोण के कार्य हैं $\theta$ हैं।^[6] भौतिकी के माध्यम से प्रत्यास्थातादार तरंगों के लिए दिशा निर्भर सिग्नल वेग रैखिक प्रत्यास्थाता का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसके द्वारा दिया जाता है^[7]

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}

जहाँ ${\begin{aligned}\theta \end{aligned}}$ समरूपता के अक्ष और तरंग प्रसार दिशा के बीच का कोण है, $\rho$ द्रव्यमान घनत्व है और $C_{ij}$ रैखिक प्रत्यास्थाता # विषमदैशिक सजातीय मीडिया के तत्व हैं। इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें समझने में आसान बनाने के लिए थॉमसन पैरामीटर का उपयोग किया जाता है।

थॉमसन पैरामीटर

थॉमसन पैरामीटर^[8] प्रत्यास्थातादार मोडुली के आयाम रहित संयोजन हैं जो अनुप्रस्थतः समदैशिक सामग्रियों की विशेषता रखते हैं, जिनका सामना किया जाता है, उदाहरण के लिए, भूभौतिकी में। प्रत्यास्थातादार हुक के नियम के घटकों के संदर्भ में # आव्यूह प्रतिनिधित्व (कठोरता टेन्सर), इन मापदंडों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}

जहाँ सूचकांक 3 सममिति के अक्ष को इंगित करता है ( $\mathbf {e} _{3}$ ) . संबद्ध पी तरंग और एस तरंग वेग के संयोजन के साथ इन मापदंडों का उपयोग कमजोर विषमदैशिक, स्तरित मीडिया के माध्यम से तरंग प्रसार को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है। अनुभवजन्य रूप से, अधिकांश स्तरित रॉक संरचनाओं के लिए थॉमसन पैरामीटर 1 से बहुत कम हैं।

नाम ह्यूस्टन विश्वविद्यालय में भूभौतिकी के प्रोफेसर लियोन थॉमसन को संदर्भित करता है, जिन्होंने अपने 1986 के पेपर कमजोर इलास्टिक अनिसोट्रॉपी में इन मापदंडों का प्रस्ताव रखा था।

तरंग वेगों के लिए सरलीकृत भाव

भूभौतिकी में प्रत्यास्थातादार गुणों में अनिसोट्रॉपी सामान्यतः कमजोर होती है, इस मामले में $\delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1$ . जब उपरोक्त तरंग वेगों के सटीक भावों को इन छोटी मात्राओं में रेखीयकृत किया जाता है, तो वे सरल हो जाते हैं

{\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}

जहाँ

V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}

समरूपता के अक्ष की दिशा में P और S तरंग वेग $\mathbf {e} _{3}$ हैं भूभौतिकी में, यह सामान्यतः लेकिन सदैव नहीं, लंबवत दिशा होती है)। ध्यान दें कि $\delta$ आगे और रैखिक किया जा सकता है, लेकिन इससे और सरलीकरण नहीं होता है।

तरंग वेगों के लिए अनुमानित भाव भौतिक रूप से व्याख्या करने के लिए काफी सरल हैं, और अधिकांश भूभौतिकीय अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त रूप से सटीक हैं। ये अभिव्यक्तियाँ कुछ संदर्भों में भी उपयोगी होती हैं जहाँ अनिसोट्रॉपी कमजोर नहीं होती है।

यह भी देखें

हुक का नियम
रैखिक प्रत्यास्थाता
ऑर्थोट्रोपिक भौतिकी

संदर्भ

↑ Milton, G. W. (2002). कंपोजिट का सिद्धांत. Cambridge University Press.
↑ Slawinski, M. A. (2010). लोचदार निरंतरता में लहरें और किरणें (PDF). World Scientific. Archived from the original (PDF) on 2009-02-10.
↑ We can use the values $\theta =\pi$ and $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ for a derivation of the stiffness matrix for transversely isotropic materials. Specific values are chosen to make the calculation easier.
↑ ^4.0 ^4.1 Backus, G. E. (1962), Long-Wave Elastic Anisotropy Produced by Horizontal Layering, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440
↑ Ikelle, Luc T. and Amundsen, Lasse (2005),Introduction to petroleum seismology, SEG Investigations in Geophysics No. 12
↑ Nye, J. F. (2000). Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press.
↑ G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4
↑ Thomsen, Leon (1986). "कमजोर लोचदार अनिसोट्रॉपी". Geophysics. 51 (10): 1954–1966. Bibcode:1986Geop...51.1954T. doi:10.1190/1.1442051.

[Milton-1] Milton, G. W. (2002). कंपोजिट का सिद्धांत. Cambridge University Press.

[Slawinski-2] Slawinski, M. A. (2010). लोचदार निरंतरता में लहरें और किरणें (PDF). World Scientific. Archived from the original (PDF) on 2009-02-10.

[note1-3] We can use the values $\theta =\pi$ and $\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$ for a derivation of the stiffness matrix for transversely isotropic materials. Specific values are chosen to make the calculation easier.

[Backus-4] 4.0 ^4.1 Backus, G. E. (1962), Long-Wave Elastic Anisotropy Produced by Horizontal Layering, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440

[5] Ikelle, Luc T. and Amundsen, Lasse (2005),Introduction to petroleum seismology, SEG Investigations in Geophysics No. 12

[6] Nye, J. F. (2000). Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press.

[7] G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4

[T86-8] Thomsen, Leon (1986). "कमजोर लोचदार अनिसोट्रॉपी". Geophysics. 51 (10): 1954–1966. Bibcode:1986Geop...51.1954T. doi:10.1190/1.1442051.

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-[[File:USA 10052 Grand Canyon Luca Galuzzi 2007.jpg|thumb|350px|right|लंबी तरंग दैर्ध्य पर तलछटी चट्टानों में अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी देखी जाती है। प्रत्येक परत में लगभग समान गुण होते हैं, लेकिन अलग-अलग गुण मोटाई के माध्यम से होते हैं। प्रत्येक परत का तल आइसोट्रॉपी का तल है और ऊर्ध्वाधर अक्ष सममिति का अक्ष है।]]एक ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री भौतिक गुणों वाली एक है जो एक अक्ष के बारे में [[समरूपता]] है जो [[आइसोट्रॉपी]] के एक विमान के लिए सामान्य है। इस अनुप्रस्थ तल में समरूपता के अनंत तल हैं और इस प्रकार, इस तल के भीतर, भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान हैं। इसलिए, ऐसी सामग्रियों को ध्रुवीय अनिसोट्रोपिक सामग्री के रूप में भी जाना जाता है। भूभौतिकी में, लंबवत अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी (VTI) को रेडियल [[एनिसोट्रॉपिक]] के रूप में भी जाना जाता है।
+[[File:USA 10052 Grand Canyon Luca Galuzzi 2007.jpg|thumb|350px|right|लंबी तरंग दैर्ध्य पर तलछटी चट्टानों में अनुप्रस्थ समदैशिकता देखी जाती है। प्रत्येक परत में लगभग समान गुण होते हैं, लेकिन अलग-अलग गुण मोटाई के माध्यम से होते हैं। प्रत्येक परत का तल समदैशिकता का तल है और ऊर्ध्वाधर अक्ष सममिति का अक्ष है।]]'''अनुप्रस्थतः समदैशिक''' '''भौतिकी,''' भौतिक गुणों वाली एक अक्ष के विषय में [[समरूपता|सममित]] होती है जो [[आइसोट्रॉपी|समदैशिकता]] के समतल के लिए सामान्य होती है। इस अनुप्रस्थ तल में समरूपता के अनंत तल हैं इस प्रकार, इस तल के भीतर, भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान होते हैं। इसलिए, ऐसी भौतिकी को "ध्रुवीय विषमदैशिक" भौतिकी के रूप में भी जाना जाता है। भूभौतिकी में, लंबवत अनुप्रस्थ समदैशिकता (वीटीआई) को त्रिज्यीय [[एनिसोट्रॉपिक|विषमदैशिकता]] के रूप में भी जाना जाता है।
-इस प्रकार की सामग्री [[हेक्सागोनल समरूपता]] प्रदर्शित करती है (हालांकि तकनीकी रूप से यह रैंक 6 और उच्चतर के टेंसरों के लिए सही नहीं है), इसलिए (चौथे-रैंक) [[लोच टेंसर]] में स्वतंत्र स्थिरांक की संख्या 5 तक कम हो जाती है (कुल 21 स्वतंत्र से) पूरी तरह से अनिसोट्रॉपी [[ठोस]] के मामले में स्थिरांक)। विद्युत प्रतिरोधकता, पारगम्यता आदि के (दूसरे दर्जे के) टेंसरों में दो स्वतंत्र स्थिरांक होते हैं।
+इस प्रकार की भौतिकी [[हेक्सागोनल समरूपता|षट्कोणीय समरूपता]] प्रदर्शित करती है (हालांकि तकनीकी रूप से यह 6 और उच्चतर के टेंसरों के लिए सही नहीं है), इसलिए (4 स्थिति) [[लोच टेंसर|प्रत्यास्थाता टेंसर]] में स्वतंत्र स्थिरांक की संख्या 5 तक कम हो जाती है सभी प्रकार से विषमदैशिक [[ठोस]] की स्थिति में स्थिरांक विद्युत प्रतिरोधकता, पारगम्यता आदि के टेंसरों में दो स्वतंत्र स्थिरांक होते हैं।
-<!--[[File:Srikant S Padhee 2009.jpg|thumb|right|Transverse Isotropy is observed in composite materials at long wavelengths: The plane of isotropy is perpendicular to the direction of the fiber.]]-->
+== अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी का उदाहरण ==
+[[File:Transverse Isotropy.svg|right|thumb|350px|एक अनुप्रस्थतः समदैशिक प्रत्यास्थातादार भौतिकी।]]अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी का एक उदाहरण तथाकथित पर अक्ष एकदिशीय सम्मिश्र लैमिना है जहां सम्मिश्र क्रॉस सेक्शन में गोलाकार होते हैं। एक एकदिशीय सम्मिश्र में, फाइबर दिशा के सामान्य विमान को उत्तेजना के लंबे तरंग दैर्ध्य (कम आवृत्तियों) पर समदैशिक विमान के रूप में माना जा सकता है। दाईं ओर की आकृति में, तंतुओं को <math>x_2</math> अक्ष के साथ संरेखित किया जाएगा, जो समदैशिकता के तल के लिए सामान्य है।
+प्रभावी गुणों के संदर्भ में, चट्टानों की भूवैज्ञानिक परतों को प्रायः अनुप्रस्थतः समदैशिक के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। पेट्रोलॉजी में ऐसी परतों के प्रभावी प्रत्यास्थाता गुणों की गणना बैकस अपस्केलिंग को गढ़ा गया है जिसका वर्णन नीचे किया गया है।
-== ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री का उदाहरण ==
+== भौतिकी समरूपता आव्यूह ==
-[[File:Transverse Isotropy.svg|right|thumb|350px|एक ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक लोचदार सामग्री।]]ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री का एक उदाहरण तथाकथित ऑन-एक्सिस यूनिडायरेक्शनल फाइबर कम्पोजिट लैमिना है जहां फाइबर क्रॉस सेक्शन में गोलाकार होते हैं। एक यूनिडायरेक्शनल सम्मिश्र में, फाइबर दिशा के सामान्य विमान को उत्तेजना के लंबे तरंग दैर्ध्य (कम आवृत्तियों) पर आइसोट्रोपिक विमान के रूप में माना जा सकता है। दाईं ओर की आकृति में, तंतुओं को के साथ संरेखित किया जाएगा <math>x_2</math> अक्ष, जो आइसोट्रॉपी के तल के लिए सामान्य है।
+भौतिकी आव्यूह <math>\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}</math> किसी दिए गए [[ऑर्थोगोनल परिवर्तन|लंबकोणीय रूपांतरण]] के संबंध में एक समरूपता है (<math>\boldsymbol{A}</math>) यदि यह उस परिवर्तन के अधीन होने पर नहीं बदलता है।
-प्रभावी गुणों के संदर्भ में, चट्टानों की भूवैज्ञानिक परतों को अक्सर ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। पेट्रोलॉजी में ऐसी परतों के प्रभावी लोचदार गुणों की गणना बैकस अपस्केलिंग को गढ़ा गया है, जिसका वर्णन नीचे किया गया है।
-== सामग्री समरूपता मैट्रिक्स ==
-सामग्री मैट्रिक्स <math>\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}</math> किसी दिए गए [[ऑर्थोगोनल परिवर्तन]] के संबंध में एक समरूपता है (<math>\boldsymbol{A}</math>) यदि यह उस परिवर्तन के अधीन होने पर नहीं बदलता है।
 इस तरह के परिवर्तन के तहत भौतिक गुणों के प्रतिलोम के लिए हमें आवश्यकता होती है
 :<math>
    \boldsymbol{A}\cdot\mathbf{f} = \boldsymbol{K}\cdot(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{d}) \implies \mathbf{f} = (\boldsymbol{A}^{-1}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{d}
   </math>
-इसलिए सामग्री समरूपता की स्थिति है (ऑर्थोगोनल परिवर्तन की परिभाषा का उपयोग करके)
+इसलिए भौतिकी समरूपता की स्थिति है (लंबकोणीय रूपांतरण की परिभाषा का उपयोग करके)
 :<math>
     \boldsymbol{K} = \boldsymbol{A}^{-1}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^{T}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A}
   </math>
-ऑर्थोगोनल परिवर्तनों को कार्टेशियन निर्देशांक में ए द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है <math>3\times 3</math> आव्यूह <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math> द्वारा दिए गए
+लंबकोणीय रूपांतरणों को कार्तीय निर्देशांक में ए द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है <math>3\times 3</math> आव्यूह <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math> द्वारा दिए गए
 :<math>
     \underline{\underline{\boldsymbol{A}}} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
        A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}~.
   </math>
-इसलिए, समरूपता की स्थिति को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है
+इसलिए, समरूपता की स्थिति को आव्यूह रूप में लिखा जा सकता है
 :<math>
     \underline{\underline{\boldsymbol{K}}} = \underline{\underline{\boldsymbol{A}^T}}~\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}
   </math>
-ट्रांसवर्सली आइसोटोपिक सामग्री के लिए, मैट्रिक्स <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math> रूप है
+अनुप्रस्थतः आइसोटोपिक भौतिकी के लिए, आव्यूह <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math> रूप है
 :<math>
    \underline{\underline{\boldsymbol{A}}} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
 & 0 & 1 \end{bmatrix}~.
   </math>
-जहां <math>x_3</math>-अक्ष सममिति का अक्ष है। भौतिक मैट्रिक्स किसी भी कोण से रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय रहता है <math>\theta</math> के बारे में <math>x_3</math>-एक्सिस।
+जहां <math>x_3</math>-अक्ष सममिति का अक्ष है। भौतिक आव्यूह किसी भी कोण से रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय रहता है <math>\theta</math> के बारे में <math>x_3</math>-एक्सिस।
 == भौतिकी में ==
-भौतिकी में रेखीय सामग्री के [[संवैधानिक संबंध]]ों को रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+भौतिकी में रेखीय भौतिकी के [[संवैधानिक संबंध]]ों को रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>
     \mathbf{f} = \boldsymbol{K}\cdot\mathbf{d}
   </math>
-कहाँ <math>\mathbf{d},\mathbf{f}</math> भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाले दो वैक्टर हैं और <math>\boldsymbol{K}</math> एक दूसरे क्रम की सामग्री टेन्सर है। मैट्रिक्स रूप में,
+जहाँ <math>\mathbf{d},\mathbf{f}</math> भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाले दो वैक्टर हैं और <math>\boldsymbol{K}</math> एक दूसरे क्रम की भौतिकी टेन्सर है। आव्यूह रूप में,
 :<math>
     \underline{\underline{\mathbf{f}}} = \underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\underline{\mathbf{d}}}
@@ Line 50: / Line 48: @@
 {| class="wikitable sortable" style="margin:auto;"
 |-
-! Problem !! <math>\mathbf{f}</math> !! <math>\mathbf{d}</math> !! <math>\boldsymbol{K}</math>
+! समस्याए !! <math>\mathbf{f}</math> !! <math>\mathbf{d}</math> !! <math>\boldsymbol{K}</math>
 |-
-| [[Electrical conduction]] || [[Electric current]] <br /><math>\mathbf{J}</math> || [[Electric field]] <br /><math>\mathbf{E}</math>|| [[Electrical conductivity]] <br /><math>\boldsymbol{\sigma}</math>
+| [[Electrical conduction|विद्युत चालन]] || [[Electric current|विद्युत प्रवाह]] <br /><math>\mathbf{J}</math> || [[Electric field|विद्युत क्षेत्र]] <br /><math>\mathbf{E}</math>||  [[Electrical conductivity|विद्युत् चालकता]] <br /><math>\boldsymbol{\sigma}</math>
 |-
-| [[Dielectric]]s || [[Electrical displacement]] <br /><math>\mathbf{D}</math>  || [[Electric field]] <br /><math>\mathbf{E}</math> || [[Electric permittivity]] <br /><math>\boldsymbol{\varepsilon}</math>
+| [[Dielectric|पारद्युतिक]] || [[Electrical displacement|विद्युत विस्थापन]] <br /><math>\mathbf{D}</math>  || [[Electric field|विद्युत क्षेत्र]] <br /><math>\mathbf{E}</math> || [[Electric permittivity|विद्युत पारगम्यता]] <br /><math>\boldsymbol{\varepsilon}</math>
 |-
-| [[Magnetism]]  || [[Electromagnetic induction|Magnetic induction]] <br /><math>\mathbf{B}</math>|| [[Magnetic field]] <br /><math>\mathbf{H}</math>|| [[Magnetic permeability]] <br /><math>\boldsymbol{\mu}</math>
+| [[Magnetism|चुंबकत्व]]  || [[Electromagnetic induction|चुंबकीय प्रेरण]] <br /><math>\mathbf{B}</math>|| [[Magnetic field|चुंबकीय क्षेत्र]] <br /><math>\mathbf{H}</math>|| [[Magnetic permeability|चुम्बकीय भेद्यता]] <br /><math>\boldsymbol{\mu}</math>
 |-
-| [[Thermal conduction]] || [[Heat flux]] <br /><math>\mathbf{q}</math>|| [[Temperature gradient]] <br /><math>-\boldsymbol{\nabla}T</math> || [[Thermal conductivity]] <br /><math>\boldsymbol{\kappa}</math>
+| [[Thermal conduction|तापीय चालकता]] || [[Heat flux|ऊष्मा का प्रवाह]] <br /><math>\mathbf{q}</math>|| [[Temperature gradient|तापमान प्रवणता]] <br /><math>-\boldsymbol{\nabla}T</math> || [[Thermal conductivity|ऊष्मीय चालकता]] <br /><math>\boldsymbol{\kappa}</math>
 |-
-| [[Diffusion]] || Particle [[flux]] <br /><math>\mathbf{J}</math>|| [[Concentration gradient]]<br /><math>-\boldsymbol{\nabla}c</math> || [[Mass diffusivity|Diffusivity]]<br /> <math>\boldsymbol{D}</math>
+| [[Diffusion|प्रसार]] || [[flux|कण प्रवाह]] <br /><math>\mathbf{J}</math>|| [[Concentration gradient|कम और अधिक घनत्व के बीच में एक घुले हुए पदार्थ का जमाव]]<br /><math>-\boldsymbol{\nabla}c</math> || [[Mass diffusivity|प्रसार]]<br /> <math>\boldsymbol{D}</math>
 |-
-| [[Fluid dynamics|Flow]] in [[porous media]] || Weighted fluid [[velocity]] <br /><math>\eta_\mu\mathbf{v}</math>|| [[Pressure gradient]] <br /><math>\boldsymbol{\nabla}P</math>|| [[Fluid permeability]] <br /><math>\boldsymbol{\kappa}</math>
+| [[porous media|मीडिया में प्रवाह]]|| [[velocity|भारित द्रव वेग]] <br /><math>\eta_\mu\mathbf{v}</math>|| [[Pressure gradient|दाब का एक माप]] <br /><math>\boldsymbol{\nabla}P</math>|| [[Fluid permeability|द्रव पारगम्यता]] <br /><math>\boldsymbol{\kappa}</math>
 |-
-| [[Linear elasticity|Elasticity]] || [[Stress (mechanics)|Stress]] <br /><math>\boldsymbol\sigma</math>|| [[Deformation (mechanics)|Strain]] <br /><math>\boldsymbol\varepsilon</math>|| [[Stiffness tensor|Stiffness]] <br /><math>\mathbf{C}</math>
+|  [[Linear elasticity|तन्यता]]|| [[Stress (mechanics)|तनाव]] <br /><math>\boldsymbol\sigma</math>|| [[Deformation (mechanics)|तनाव]] <br /><math>\boldsymbol\varepsilon</math>|| [[Stiffness tensor|दुर्नम्यता]] <br /><math>\mathbf{C}</math>
 |}
-का उपयोग करते हुए <math>\theta=\pi</math> में <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math> मैट्रिक्स का तात्पर्य है <math>K_{13} = K_{31} = K_{23} = K_{32} = 0</math>. का उपयोग करते हुए <math>\theta=\tfrac{\pi}{2}</math> ओर जाता है <math>K_{11} = K_{22}</math> और <math>K_{12} = -K_{21}</math>. ऊर्जा प्रतिबंधों की आमतौर पर आवश्यकता होती है <math>K_{12}, K_{21} \ge 0</math> और इसलिए हमारे पास होना चाहिए <math>K_{12} = K_{21} = 0</math>. इसलिए, ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्री के भौतिक गुणों को मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया गया है
+का उपयोग करते हुए <math>\theta=\pi</math> में <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math> आव्यूह का तात्पर्य है <math>K_{13} = K_{31} = K_{23} = K_{32} = 0</math>. का उपयोग करते हुए <math>\theta=\tfrac{\pi}{2}</math> ओर जाता है <math>K_{11} = K_{22}</math> और <math>K_{12} = -K_{21}</math>. ऊर्जा प्रतिबंधों की सामान्यतः आवश्यकता होती है <math>K_{12}, K_{21} \ge 0</math> और इसलिए हमारे पास होना चाहिए <math>K_{12} = K_{21} = 0</math>. इसलिए, अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी के भौतिक गुणों को आव्यूह द्वारा वर्णित किया गया है
 :<math>
    \underline{\underline{\boldsymbol{K}}} =  \begin{bmatrix} K_{11} & 0 & 0 \\ 0 & K_{11} & 0 \\
@@ Line 73: / Line 71: @@
-== रैखिक लोच में ==
+== रैखिक प्रत्यास्थाता में ==
 === भौतिक समरूपता के लिए शर्त ===
-[[रैखिक लोच]] में, [[तनाव (भौतिकी)]] और [[अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत]] हुक के नियम से संबंधित हैं, अर्थात
+[[रैखिक लोच|रैखिक प्रत्यास्थाता]] में, [[तनाव (भौतिकी)]] और [[अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत]] हुक के नियम से संबंधित हैं, अर्थात
 :<math>
     \underline{\underline{\boldsymbol{\sigma}}} = \underline{\underline{\mathsf{C}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}
   </math>
-या, [[ वायगट नोटेशन ]] का उपयोग करके,
+या, [[ वायगट नोटेशन |वायगट नोटेशन]] का उपयोग करके,
 :<math>
    \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} =
@@ Line 92: / Line 90: @@
    \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}
   </math>
-रैखिक लोचदार सामग्री में भौतिक समरूपता की स्थिति है।<ref name=Slawinski>{{cite book|last=Slawinski|first=M. A.|title=लोचदार निरंतरता में लहरें और किरणें|year=2010|publisher=World Scientific|url=http://samizdat.mines.edu/wavesandrays/WavesAndRays.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20090210192845/http://samizdat.mines.edu/wavesandrays/WavesAndRays.pdf|url-status=dead|archive-date=2009-02-10}}</ref>
+रैखिक प्रत्यास्थातादार भौतिकी में भौतिक समरूपता की स्थिति है।<ref name=Slawinski>{{cite book|last=Slawinski|first=M. A.|title=लोचदार निरंतरता में लहरें और किरणें|year=2010|publisher=World Scientific|url=http://samizdat.mines.edu/wavesandrays/WavesAndRays.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20090210192845/http://samizdat.mines.edu/wavesandrays/WavesAndRays.pdf|url-status=dead|archive-date=2009-02-10}}</ref>
 :<math>
     \underline{\underline{\mathsf{C}}} = \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}^T~\underline{\underline{\mathsf{C}}}~\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}
   </math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>
     \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}} = \begin{bmatrix}
@@ Line 108: / Line 106: @@
-=== लोच टेंसर ===
+=== प्रत्यास्थाता टेंसर ===
 {{further|Elasticity tensor}}
-के विशिष्ट मूल्यों का उपयोग करना <math>\theta</math> मैट्रिक्स में <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math>,<ref name=note1>We can use the  values <math>\theta=\pi</math> and <math>\theta=\tfrac{\pi}{2}</math> for a derivation of the stiffness matrix for transversely isotropic materials.  Specific values are chosen to make the calculation easier.</ref> यह दिखाया जा सकता है कि चौथी रैंक लोच कठोरता टेन्सर को 2-इंडेक्स लीनियर इलास्टिसिटी#अनिसोट्रोपिक सजातीय मीडिया में मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है
+के विशिष्ट मूल्यों का उपयोग करना <math>\theta</math> आव्यूह में <math>\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}</math>,<ref name="note1">We can use the  values <math>\theta=\pi</math> and <math>\theta=\tfrac{\pi}{2}</math> for a derivation of the stiffness matrix for transversely isotropic materials.  Specific values are chosen to make the calculation easier.</ref> यह दिखाया जा सकता है कि चौथी रैंक प्रत्यास्थाता कठोरता टेन्सर को 2-इंडेक्स लीनियर इलास्टिसिटी#विषमदैशिक सजातीय मीडिया में आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है
 :<math> \underline{\underline{\mathsf{C}}} =
 \begin{bmatrix}
@@ Line 128: / Line 126: @@
 \end{bmatrix}.
 </math>
-लोच कठोरता मैट्रिक्स <math>C_{ij}</math> 5 स्वतंत्र स्थिरांक हैं, जो निम्नलिखित तरीके से प्रसिद्ध इंजीनियरिंग [[लोचदार मापांक]] से संबंधित हैं। ये इंजीनियरिंग मॉड्यूल प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किए गए हैं।
+प्रत्यास्थाता कठोरता आव्यूह <math>C_{ij}</math> 5 स्वतंत्र स्थिरांक हैं, जो निम्नलिखित तरीके से प्रसिद्ध इंजीनियरिंग [[लोचदार मापांक|प्रत्यास्थातादार मापांक]] से संबंधित हैं। ये इंजीनियरिंग मॉड्यूल प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किए गए हैं।
-अनुपालन मैट्रिक्स (लोचदार कठोरता मैट्रिक्स का व्युत्क्रम) है
+अनुपालन आव्यूह (प्रत्यास्थातादार कठोरता आव्यूह का व्युत्क्रम) है
 :<math>
     \underline{\underline{\mathsf{C}}}^{-1} = \frac{1}{\Delta}
@@ Line 142: / Line 140: @@
     \end{bmatrix}
   </math>
-कहाँ <math>\Delta := (C_{11} - C_{12}) [(C_{11} + C_{12}) C_{33} -2 C_{13}C_{13}]</math>. इंजीनियरिंग नोटेशन में,
+जहाँ <math>\Delta := (C_{11} - C_{12}) [(C_{11} + C_{12}) C_{33} -2 C_{13}C_{13}]</math>. इंजीनियरिंग नोटेशन में,
 :<math>
     \underline{\underline{\mathsf{C}}}^{-1} = \begin{bmatrix}
@@ Line 153: / Line 151: @@
      \end{bmatrix}
   </math>
-अनुपालन मैट्रिक्स के इन दो रूपों की तुलना करने से हमें पता चलता है कि अनुदैर्ध्य यंग का मापांक किसके द्वारा दिया गया है
+अनुपालन आव्यूह के इन दो रूपों की तुलना करने से हमें पता चलता है कि अनुदैर्ध्य यंग का मापांक किसके द्वारा दिया गया है
 :<math>E_L = E_{\rm z} = C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})</math>
 इसी प्रकार, अनुप्रस्थ यंग का मापांक है
@@ Line 165: / Line 163: @@
 == भूभौतिकी में ==
-भूभौतिकी में, एक आम धारणा यह है कि भूपर्पटी की चट्टानें स्थानीय रूप से रैखिक लोच #अनिसोट्रोपिक सजातीय मीडिया (ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक) हैं; यह भूभौतिकीय रुचि का सबसे सरल मामला है। बैकस अपस्केलिंग<ref name =Backus/>लंबी तरंग दैर्ध्य भूकंपीय तरंगों के लिए स्तरित मीडिया के प्रभावी ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक लोचदार स्थिरांक को निर्धारित करने के लिए अक्सर उपयोग किया जाता है।
+भूभौतिकी में, एक आम धारणा यह है कि भूपर्पटी की चट्टानें स्थानीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थाता #विषमदैशिक सजातीय मीडिया (अनुप्रस्थतः समदैशिक) हैं; यह भूभौतिकीय रुचि का सबसे सरल मामला है। बैकस अपस्केलिंग<ref name =Backus/>लंबी तरंग दैर्ध्य भूकंपीय तरंगों के लिए स्तरित मीडिया के प्रभावी अनुप्रस्थतः समदैशिक प्रत्यास्थातादार स्थिरांक को निर्धारित करने के लिए प्रायः उपयोग किया जाता है।
 बैकस सन्निकटन में किए गए अनुमान हैं:
-* सभी सामग्री रैखिक रूप से लोचदार हैं
+* सभी भौतिकी रैखिक रूप से प्रत्यास्थातादार हैं
 * आंतरिक ऊर्जा अपव्यय का कोई स्रोत नहीं (जैसे घर्षण)
 * अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में मान्य, इसलिए अच्छे परिणाम तभी मिलते हैं जब परत की मोटाई तरंग दैर्ध्य से बहुत कम हो
-* परत लोचदार गुणों के वितरण के आँकड़े स्थिर हैं, अर्थात इन गुणों में कोई सहसंबद्ध प्रवृत्ति नहीं है।
+* परत प्रत्यास्थातादार गुणों के वितरण के आँकड़े स्थिर हैं, अर्थात इन गुणों में कोई सहसंबद्ध प्रवृत्ति नहीं है।
-कम तरंग दैर्ध्य के लिए, भूकंपीय तरंगों के व्यवहार को समतल तरंगों के अध्यारोपण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक मीडिया तीन प्रकार की लोचदार समतल तरंगों का समर्थन करता है:
+कम तरंग दैर्ध्य के लिए, भूकंपीय तरंगों के व्यवहार को समतल तरंगों के अध्यारोपण का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। अनुप्रस्थतः समदैशिक मीडिया तीन प्रकार की प्रत्यास्थातादार समतल तरंगों का समर्थन करता है:
 * एक अर्ध-[[पी लहर]] (ध्रुवीकरण (तरंगें) दिशा लगभग प्रसार दिशा के बराबर)
 * एक अर्ध-एस तरंग
-* एक एस-वेव (ध्रुवीकृत ऑर्थोगोनल अर्ध-एस तरंग के लिए, समरूपता अक्ष के लिए, और प्रसार की दिशा में)।
+* एक एस-वेव (ध्रुवीकृत लंबकोणीय अर्ध-एस तरंग के लिए, समरूपता अक्ष के लिए, और प्रसार की दिशा में)।
 [[फूरियर विश्लेषण]] का उपयोग करते हुए, इन समतल तरंगों से ऐसे मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान का निर्माण किया जा सकता है।
 === बैकस अपस्केलिंग (लंबी तरंग दैर्ध्य सन्निकटन) ===
-सजातीय और आइसोट्रोपिक सामग्री का एक स्तरित मॉडल, बैकस द्वारा प्रस्तावित अनुप्रस्थ आइसोट्रोपिक माध्यम में बढ़ाया जा सकता है।<ref name =Backus>Backus, G. E. (1962), Long-Wave Elastic Anisotropy Produced by Horizontal Layering, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440</ref>
+सजातीय और समदैशिक भौतिकी का एक स्तरित मॉडल, बैकस द्वारा प्रस्तावित अनुप्रस्थ समदैशिक माध्यम में बढ़ाया जा सकता है।<ref name =Backus>Backus, G. E. (1962), Long-Wave Elastic Anisotropy Produced by Horizontal Layering, J. Geophys. Res., 67(11), 4427–4440</ref>
-बैकस ने एक समतुल्य माध्यम सिद्धांत प्रस्तुत किया, एक विषम माध्यम को एक सजातीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो वास्तविक माध्यम में तरंग प्रसार की भविष्यवाणी करता है।<ref>Ikelle, Luc T. and Amundsen, Lasse (2005),Introduction to petroleum seismology, SEG Investigations in Geophysics No. 12</ref> बैकस ने दिखाया कि तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत बेहतर पैमाने पर लेयरिंग का प्रभाव पड़ता है और कई आइसोट्रोपिक परतों को एक सजातीय ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक माध्यम से बदला जा सकता है जो अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में स्थिर भार के तहत वास्तविक माध्यम के समान ही व्यवहार करता है। .
+बैकस ने एक समतुल्य माध्यम सिद्धांत प्रस्तुत किया, एक विषम माध्यम को एक सजातीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो वास्तविक माध्यम में तरंग प्रसार की भविष्यवाणी करता है।<ref>Ikelle, Luc T. and Amundsen, Lasse (2005),Introduction to petroleum seismology, SEG Investigations in Geophysics No. 12</ref> बैकस ने दिखाया कि तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत बेहतर पैमाने पर लेयरिंग का प्रभाव पड़ता है और कई समदैशिक परतों को एक सजातीय अनुप्रस्थतः समदैशिक माध्यम से बदला जा सकता है जो अनंत तरंग दैर्ध्य सीमा में स्थिर भार के तहत वास्तविक माध्यम के समान ही व्यवहार करता है। .
-यदि प्रत्येक परत <math>i</math> 5 ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक मापदंडों द्वारा वर्णित है <math>(a_i, b_i, c_i, d_i, e_i)</math>, मैट्रिक्स निर्दिष्ट करना
+यदि प्रत्येक परत <math>i</math> 5 अनुप्रस्थतः समदैशिक मापदंडों द्वारा वर्णित है <math>(a_i, b_i, c_i, d_i, e_i)</math>, आव्यूह निर्दिष्ट करना
 :<math> \underline{\underline{\mathsf{C}_i}}  =\begin{bmatrix}
 a_i & a_i - 2e_i & b_i & 0 & 0 & 0 \\
@@ Line 205: / Line 203: @@
 \end{bmatrix}
 </math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>
 \begin{align}
@@ Line 218: / Line 216: @@
 <math>\langle \cdot\rangle</math> सभी परतों पर आयतन भारित औसत दर्शाता है।
-इसमें आइसोट्रोपिक परतें शामिल हैं, क्योंकि परत आइसोट्रोपिक है यदि <math>b_i = a_i - 2e_i</math>, <math>a_i = c_i</math> और <math>d_i = e_i</math>.
+इसमें समदैशिक परतें शामिल हैं, क्योंकि परत समदैशिक है यदि <math>b_i = a_i - 2e_i</math>, <math>a_i = c_i</math> और <math>d_i = e_i</math>.
 === लघु और मध्यम तरंग दैर्ध्य सन्निकटन ===
-रैखिक लोचदार ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान अर्ध-पी लहर, अर्ध एस-लहर, और एस-लहर ध्रुवीकृत ऑर्थोगोनल को अर्ध एस-लहर के लिए सुपरपोज़िंग समाधानों द्वारा निर्मित किया जा सकता है।
+रैखिक प्रत्यास्थातादार अनुप्रस्थतः समदैशिक मीडिया में तरंग प्रसार समस्याओं के समाधान अर्ध-पी लहर, अर्ध एस-लहर, और एस-लहर ध्रुवीकृत लंबकोणीय को अर्ध एस-लहर के लिए सुपरपोज़िंग समाधानों द्वारा निर्मित किया जा सकता है।
-हालाँकि, वेग की कोणीय भिन्नता के समीकरण बीजगणितीय रूप से जटिल हैं और समतल-तरंग वेग प्रसार कोण के कार्य हैं <math>\theta</math> हैं।<ref>{{cite book|last=Nye|first= J. F.|year=2000|title=Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices | publisher= Oxford University Press }}</ref> सामग्री के माध्यम से लोचदार तरंगों के लिए दिशा निर्भर सिग्नल वेग रैखिक लोच का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसके द्वारा दिया जाता है<ref>G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. ''The Rock Physics Handbook''. Cambridge University Press 2003 (paperback). {{ISBN|0-521-54344-4}}</ref>
+हालाँकि, वेग की कोणीय भिन्नता के समीकरण बीजगणितीय रूप से जटिल हैं और समतल-तरंग वेग प्रसार कोण के कार्य हैं <math>\theta</math> हैं।<ref>{{cite book|last=Nye|first= J. F.|year=2000|title=Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices | publisher= Oxford University Press }}</ref> भौतिकी के माध्यम से प्रत्यास्थातादार तरंगों के लिए दिशा निर्भर सिग्नल वेग रैखिक प्रत्यास्थाता का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसके द्वारा दिया जाता है<ref>G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. ''The Rock Physics Handbook''. Cambridge University Press 2003 (paperback). {{ISBN|0-521-54344-4}}</ref>
 :<math>
    \begin{align}
@@ Line 235: / Line 234: @@
    \end{align}
 </math>
-कहाँ <math>\begin{align}\theta\end{align}</math> समरूपता के अक्ष और तरंग प्रसार दिशा के बीच का कोण है, <math>\rho</math> द्रव्यमान घनत्व है और <math>C_{ij}</math> रैखिक लोच # अनिसोट्रोपिक सजातीय मीडिया के तत्व हैं। इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें समझने में आसान बनाने के लिए थॉमसन पैरामीटर का उपयोग किया जाता है।
+जहाँ <math>\begin{align}\theta\end{align}</math> समरूपता के अक्ष और तरंग प्रसार दिशा के बीच का कोण है, <math>\rho</math> द्रव्यमान घनत्व है और <math>C_{ij}</math> रैखिक प्रत्यास्थाता # विषमदैशिक सजातीय मीडिया के तत्व हैं। इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें समझने में आसान बनाने के लिए थॉमसन पैरामीटर का उपयोग किया जाता है।
 ==== थॉमसन पैरामीटर ====
-थॉमसन पैरामीटर<ref name="T86">{{cite journal |last=Thomsen|first= Leon|year=1986|title=कमजोर लोचदार अनिसोट्रॉपी|journal=Geophysics |volume=51|issue= 10|pages=1954–1966 |doi=10.1190/1.1442051 |bibcode = 1986Geop...51.1954T }}</ref> [[ लोचदार मोडुली ]] के आयाम रहित संयोजन हैं जो ट्रांसवर्सली आइसोट्रोपिक सामग्रियों की विशेषता रखते हैं, जिनका सामना किया जाता है, उदाहरण के लिए, [[भूभौतिकी]] में। लोचदार हुक के नियम के घटकों के संदर्भ में # मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व (कठोरता टेन्सर), इन मापदंडों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+थॉमसन पैरामीटर<ref name="T86">{{cite journal |last=Thomsen|first= Leon|year=1986|title=कमजोर लोचदार अनिसोट्रॉपी|journal=Geophysics |volume=51|issue= 10|pages=1954–1966 |doi=10.1190/1.1442051 |bibcode = 1986Geop...51.1954T }}</ref> [[ लोचदार मोडुली |प्रत्यास्थातादार मोडुली]] के आयाम रहित संयोजन हैं जो अनुप्रस्थतः समदैशिक सामग्रियों की विशेषता रखते हैं, जिनका सामना किया जाता है, उदाहरण के लिए, [[भूभौतिकी]] में। प्रत्यास्थातादार हुक के नियम के घटकों के संदर्भ में # आव्यूह प्रतिनिधित्व (कठोरता टेन्सर), इन मापदंडों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 :<math>
    \begin{align}
@@ Line 246: / Line 245: @@
    \end{align}
 </math>
-जहाँ सूचकांक 3 सममिति के अक्ष को इंगित करता है (<math>\mathbf{e}_3</math>) . संबद्ध पी तरंग और एस तरंग वेग के संयोजन के साथ इन मापदंडों का उपयोग कमजोर अनिसोट्रोपिक, स्तरित मीडिया के माध्यम से तरंग प्रसार को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है। अनुभवजन्य रूप से, अधिकांश स्तरित रॉक संरचनाओं के लिए थॉमसन पैरामीटर 1 से बहुत कम हैं।
+जहाँ सूचकांक 3 सममिति के अक्ष को इंगित करता है (<math>\mathbf{e}_3</math>) . संबद्ध पी तरंग और एस तरंग वेग के संयोजन के साथ इन मापदंडों का उपयोग कमजोर विषमदैशिक, स्तरित मीडिया के माध्यम से तरंग प्रसार को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है। अनुभवजन्य रूप से, अधिकांश स्तरित रॉक संरचनाओं के लिए थॉमसन पैरामीटर 1 से बहुत कम हैं।
 नाम [[ह्यूस्टन विश्वविद्यालय]] में भूभौतिकी के प्रोफेसर लियोन थॉमसन को संदर्भित करता है, जिन्होंने अपने 1986 के पेपर कमजोर इलास्टिक अनिसोट्रॉपी में इन मापदंडों का प्रस्ताव रखा था।
 ==== तरंग वेगों के लिए सरलीकृत भाव ====
-भूभौतिकी में लोचदार गुणों में अनिसोट्रॉपी आमतौर पर कमजोर होती है, इस मामले में <Math>\delta, \gamma, \epsilon \ll 1</math>. जब उपरोक्त तरंग वेगों के सटीक भावों को इन छोटी मात्राओं में रेखीयकृत किया जाता है, तो वे सरल हो जाते हैं
+भूभौतिकी में प्रत्यास्थातादार गुणों में अनिसोट्रॉपी सामान्यतः कमजोर होती है, इस मामले में <Math>\delta, \gamma, \epsilon \ll 1</math>. जब उपरोक्त तरंग वेगों के सटीक भावों को इन छोटी मात्राओं में रेखीयकृत किया जाता है, तो वे सरल हो जाते हैं
 :<math>
@@ Line 260: / Line 259: @@
    \end{align}
 </math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>
    V_{P0}= \sqrt{C_{33}/\rho} ~;~~ V_{S0}= \sqrt{C_{44}/\rho}
 </math>
-समरूपता के अक्ष की दिशा में P और S तरंग वेग हैं (<math>\mathbf{e}_3</math>) (भूभौतिकी में, यह आमतौर पर, लेकिन हमेशा नहीं, लंबवत दिशा होती है)। ध्यान दें कि <math>\delta</math> आगे और रैखिक किया जा सकता है, लेकिन इससे और सरलीकरण नहीं होता है।
+समरूपता के अक्ष की दिशा में P और S तरंग वेग <math>\mathbf{e}_3</math> हैं भूभौतिकी में, यह सामान्यतः लेकिन सदैव नहीं, लंबवत दिशा होती है)। ध्यान दें कि <math>\delta</math> आगे और रैखिक किया जा सकता है, लेकिन इससे और सरलीकरण नहीं होता है।
 तरंग वेगों के लिए अनुमानित भाव भौतिक रूप से व्याख्या करने के लिए काफी सरल हैं, और अधिकांश भूभौतिकीय अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त रूप से सटीक हैं। ये अभिव्यक्तियाँ कुछ संदर्भों में भी उपयोगी होती हैं जहाँ अनिसोट्रॉपी कमजोर नहीं होती है।
@@ Line 270: / Line 269: @@
 == यह भी देखें ==
 * हुक का नियम
-* रैखिक लोच
+* रैखिक प्रत्यास्थाता
-* [[ऑर्थोट्रोपिक सामग्री]]
+* [[ऑर्थोट्रोपिक सामग्री|ऑर्थोट्रोपिक भौतिकी]]
 ==संदर्भ==

v t e Topics in continuum mechanics
Divisions	Solid mechanics Fluid mechanics Acoustics Vibrations Rigid body dynamics
Laws and Definitions	Laws Conservation of mass Conservation of momentum Navier-Stokes Bernoulli Poiseuille Archimedes Pascal Conservation of energy Entropy inequality Definitions Stress Cauchy stress Stress measures Deformation Small strain Antiplane shear Large strain Compatibility
Solid and Structural mechanics	Solids Elasticity linear Hooke's law Transverse isotropy Orthotropy hyperelasticity Membrane elasticity Equation of state Hugoniot JWL hypoelasticity Cauchy elasticity Viscoelasticity Creep Concrete creep Plasticity Rock mass plasticity Viscoplasticity Yield criterion Bresler-Pister Contact mechanics Frictionless Frictional Material failure theory Drucker stability Material failure theory Fatigue Fracture mechanics J-integral Compact tension specimen Damage mechanics Johnson-Holmquist Structures Bending Bending moment Bending of plates Sandwich theory
Fluid mechanics	Fluids Fluid statics Fluid dynamics Navier–Stokes equations Bernoulli's principle Poiseuille equation Buoyancy Viscosity Newtonian Non-Newtonian Archimedes' principle Pascal's law Pressure Liquids Surface tension Capillary action Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Gay-Lussac's law Combined gas law Plasma
Acoustics	Acoustic theory Aeroacoustics
Rheology	Viscoelasticity Smart fluids Magnetorheological Electrorheological Ferrofluids Rheometry Rheometer
Scientists	Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes
Awards	Eringen Medal William Prager Medal

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अनुप्रस्थतः समदैशिक भौतिकी का उदाहरण

भौतिकी समरूपता आव्यूह

भौतिकी में