स्थिर समय

भौतिकी और अभियांत्रिकी में, समय स्थिर, आमतौर पर ग्रीक भाषा के पत्र द्वारा निरूपित किया जाता है τ (tau), प्रथम-क्रम, LTI प्रणाली सिद्धांत | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणाली के एक चरण इनपुट की प्रतिक्रिया को चिह्नित करने वाला पैरामीटर है। समय स्थिरांक प्रथम-क्रम LTI प्रणाली की मुख्य विशेषता इकाई है।

समय डोमेन में, समय की प्रतिक्रिया का पता लगाने के लिए सामान्य विकल्प एक हैवीसाइड स्टेप फंक्शन के चरण प्रतिक्रिया या डिराक डेल्टा समारोह इनपुट के आवेग प्रतिक्रिया के माध्यम से होता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन में (उदाहरण के लिए, चरण प्रतिक्रिया के फूरियर रूपांतरण को देखते हुए, या एक इनपुट का उपयोग करना जो समय का एक सरल साइनसॉइडल फ़ंक्शन है) समय स्थिरांक पहले-क्रम के समय-अपरिवर्तनीय के बैंडविड्थ (संकेत आगे बढ़ाना) को भी निर्धारित करता है प्रणाली, अर्थात्, वह आवृत्ति जिस पर आउटपुट सिग्नल की शक्ति कम आवृत्तियों पर उसके आधे मान तक गिर जाती है।

बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) सिस्टम - चुंबकीय टेप, रेडियो ट्रांसमीटर और रेडियो रिसीवर, रिकॉर्ड काटने और रीप्ले उपकरण, और डिजिटल फिल्टर - की आवृत्ति प्रतिक्रिया को चिह्नित करने के लिए समय स्थिरांक का भी उपयोग किया जाता है - जिसे प्रथम-क्रम LTI सिस्टम द्वारा मॉडल या अनुमानित किया जा सकता है। अन्य उदाहरणों में इंटीग्रल और डेरिवेटिव एक्शन कंट्रोलर्स के लिए नियंत्रण प्रणाली में इस्तेमाल होने वाला टाइम कॉन्स्टेंट शामिल है, जो अक्सर इलेक्ट्रिकल के बजाय वायवीय होते हैं।

समय स्थिरांक थर्मल सिस्टम के लिए लम्प्ड सिस्टम विश्लेषण (ढेर क्षमता विश्लेषण विधि) की एक विशेषता है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब वस्तुएं संवहन शीतलन या वार्मिंग के प्रभाव में समान रूप से ठंडी या गर्म होती हैं। भौतिक रूप से, समय स्थिरांक प्रणाली की प्रतिक्रिया के लिए शून्य से क्षय होने के लिए आवश्यक बीता हुआ समय दर्शाता है यदि सिस्टम प्रारंभिक दर पर क्षय करना जारी रखता है, क्योंकि क्षय की दर में प्रगतिशील परिवर्तन के कारण प्रतिक्रिया वास्तव में मूल्य में कम हो जाएगी 1 / e ≈ 36.8% इस समय में (एक कदम कमी से कहते हैं)। एक बढ़ती हुई प्रणाली में, सिस्टम की कदम प्रतिक्रिया तक पहुँचने के लिए समय स्थिर समय है 1 − 1 / e ≈ 63.2% इसके अंतिम (स्पर्शोन्मुख) मूल्य (एक कदम वृद्धि से कहते हैं)। रेडियोधर्मी क्षय में समय स्थिरांक क्षय स्थिरांक (λ) से संबंधित होता है, और यह क्षय होने से पहले एक क्षय प्रणाली (जैसे एक परमाणु) के औसत जीवनकाल, या 36.8% परमाणुओं को छोड़कर सभी के लिए लगने वाले समय दोनों का प्रतिनिधित्व करता है। क्षय करने के लिए। इस कारण से, समय स्थिर अर्ध-जीवन से अधिक लंबा है, जो केवल 50% परमाणुओं के क्षय होने का समय है।

विभेदक समीकरण

Main article: LTI system theory

फर्स्ट ऑर्डर LTI सिस्टम की विशेषता डिफरेंशियल इक्वेशन है

$\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)$

कहाँ τ घातीय क्षय स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है और V समय का एक कार्य है t

$V=V(t).$

दायीं ओर का बल बल देने वाला कार्य है f(t) समय के बाहरी ड्राइविंग फ़ंक्शन का वर्णन करना, जिसे सिस्टम इनपुट के रूप में माना जा सकता है, जिसके लिए V(t) प्रतिक्रिया है, या सिस्टम आउटपुट है। शास्त्रीय उदाहरण के लिए f(t) हैं:

हीविसाइड स्टेप फंक्शन, जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है u(t):

$u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}$

डायराक डेल्टा फ़ंक्शन, जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है δ(t), और साइनसोइडल इनपुट फ़ंक्शन भी:

$f(t)=A\sin(2\pi ft)$

या

$f(t)=Ae^{j\omega t},$

कहाँ A फोर्सिंग फ़ंक्शन का आयाम है, f हर्ट्ज़ में आवृत्ति है, और ω = 2π f प्रति सेकंड रेडियंस में आवृत्ति है।

उदाहरण समाधान

प्रारंभिक मूल्य के साथ अंतर समीकरण का एक उदाहरण समाधान V₀ और कोई जबरदस्ती कार्य नहीं है

$V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$

कहाँ

$V_{0}=V(t=0)$

का प्रारंभिक मूल्य है V. इस प्रकार, प्रतिक्रिया समय स्थिर के साथ एक घातीय क्षय है τ.

चर्चा

कल्पना करना

$$V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.$$

इस व्यवहार को क्षयकारी घातीय कार्य कहा जाता है। समय τ (tau) को समय स्थिरांक के रूप में संदर्भित किया जाता है और इसका उपयोग किया जा सकता है (जैसा कि इस मामले में) यह इंगित करने के लिए कि एक घातीय फलन कितनी तेजी से घटता है।

यहाँ:

• t समय है (आम तौर पर t > 0 नियंत्रण इंजीनियरिंग में)
• V₀ प्रारंभिक मूल्य है (नीचे विशिष्ट मामले देखें)।

विशिष्ट मामले

1. होने देना $t=0$; तब $V=V_{0}e^{0}$, इसलिए $V=V_{0}$
2. होने देना $t=\tau$; तब $V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}$
3. होने देना $V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }$, इसलिए ${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
4. होने देना $t=5\tau$; तब $V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}$

एक समय की अवधि के बाद निरंतर समारोह पहुंचता है e⁻¹ = इसके प्रारंभिक मूल्य का लगभग 37%। मामले 4 में, पांच बार स्थिरांक के बाद फ़ंक्शन अपने मूल के 1% से कम मान तक पहुँच जाता है। ज्यादातर मामलों में यह 1% सीमा यह मानने के लिए पर्याप्त मानी जाती है कि फ़ंक्शन शून्य तक क्षय हो गया है - अंगूठे के नियम के रूप में, नियंत्रण इंजीनियरिंग में एक स्थिर प्रणाली वह है जो इस तरह के समग्र अवमंदित व्यवहार को प्रदर्शित करती है।

बैंडविड्थ से निरंतर समय का संबंध

File:Single-pole sine wave response.JPG

साइन वेव फोर्सिंग फ़ंक्शन के लिए सिस्टम की प्रतिक्रिया का एक उदाहरण। समय स्थिरांक की इकाइयों में समय अक्ष τ. प्रतिक्रिया नम हो जाती है और एक साधारण साइन वेव बन जाती है।

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बैंडविड्थ की इकाइयों में सिस्टम बनाम आवृत्ति की आवृत्ति प्रतिक्रिया f_3dB. प्रतिक्रिया को एकता के शून्य आवृत्ति मान पर सामान्यीकृत किया जाता है, और बैंडविड्थ पर 1/√2 तक गिर जाता है।

मान लीजिए कि फोर्सिंग फ़ंक्शन को साइनसोइडल के रूप में चुना गया है:

$\tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.$

(यूलर के सूत्र के आधार पर अंतिम परिणाम के वास्तविक या काल्पनिक भाग को लेकर एक वास्तविक कोसाइन या साइन वेव इनपुट की प्रतिक्रिया प्राप्त की जा सकती है।) समय के लिए इस समीकरण का सामान्य समाधान t ≥ 0 s, मानते हुए V(t = 0) = V₀ है:

${\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}$

लंबे समय तक क्षयकारी घातांक नगण्य हो जाते हैं और स्थिर-अवस्था समाधान या दीर्घकालिक समाधान है:

$V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.$

इस प्रतिक्रिया का परिमाण है:

$|V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.$

सम्मेलन द्वारा, इस प्रणाली की बैंडविड्थ वह आवृत्ति है जहां |V_∞|² आधा मूल्य, या जहां तक ​​गिर जाता है ωτ = 1. यह सामान्य बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) प्रथा है, जिसे फ़्रीक्वेंसी रेंज के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां बिजली आधे से भी कम (अधिकतम -3 dB) गिरती है। रेडियन/एस के बजाय हर्ट्ज़ में आवृत्ति का उपयोग करना (ω = 2πf):

$f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.$

अंकन f_3dB डेसीबल में शक्ति की अभिव्यक्ति से उपजा है और अवलोकन है कि आधा शक्ति के मूल्य में गिरावट के अनुरूप है |V_∞| 1/2 या 3 डेसिबल के कारक द्वारा।

इस प्रकार, समय स्थिरांक इस प्रणाली की बैंडविड्थ को निर्धारित करता है।

मनमाने ढंग से प्रारंभिक शर्तों के साथ कदम प्रतिक्रिया

दो अलग-अलग प्रारंभिक मूल्यों के लिए प्रणाली की चरण प्रतिक्रिया वी₀, एक अंतिम मान से ऊपर और एक शून्य पर। लंबे समय तक प्रतिक्रिया एक स्थिर है, वी_∞. समय स्थिरांक की इकाइयों में समय अक्ष $\tau$.

मान लीजिए कि फोर्सिंग फ़ंक्शन को एक चरण इनपुट के रूप में चुना गया है:

${\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),$

साथ u(t) हीविसाइड स्टेप फंक्शन। समय के लिए इस समीकरण का सामान्य समाधान t ≥ 0 s, मानते हुए V(t = 0) = V₀ है:

$V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).$

(यह देखा जा सकता है कि यह प्रतिक्रिया है ω → 0 एक साइनसोइडल इनपुट के लिए उपरोक्त प्रतिक्रिया की सीमा।)

लंबे समय का समाधान समय स्वतंत्र और प्रारंभिक स्थितियों से स्वतंत्र है:

$V_{\infty }=A\tau .$

आरंभिक स्थितियों की परवाह किए बिना समान प्रणाली के लिए समय स्थिरांक समान रहता है। सीधे तौर पर कहा गया है, एक प्रणाली अपनी अंतिम, स्थिर-स्थिति की स्थिति को एक स्थिर दर पर प्राप्त करती है, भले ही यह किसी भी शुरुआती बिंदु पर उस मूल्य के कितने करीब हो।

उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रिक मोटर पर विचार करें जिसका स्टार्टअप पहले क्रम के एलटीआई सिस्टम द्वारा अच्छी तरह से तैयार किया गया है। मान लीजिए कि जब आराम से शुरू किया जाता है, तो मोटर लेती है 1/8 100 RPM, या 63 RPM की नाममात्र गति के 63% तक पहुँचने के लिए सेकंड का - 37 RPM की कमी। फिर यह पता चलेगा कि अगले के बाद 1/8 एक सेकंड में, मोटर ने अतिरिक्त 23 RPM को गति दी है, जो उस 37 RPM अंतर के 63% के बराबर है। यह इसे 86 RPM पर लाता है - अभी भी 14 RPM कम है। एक तिहाई के बाद 1/8 एक सेकंड में, मोटर ने अतिरिक्त 9 RPM (उस 14 RPM अंतर का 63%) प्राप्त किया होगा, जो इसे 95 RPM पर रखता है।

वास्तव में, किसी भी प्रारंभिक गति को देखते हुए s ≤ 100 RPM, 1/8 एक सेकंड के बाद इस विशेष मोटर ने एक अतिरिक्त लाभ प्राप्त किया होगा 0.63 × (100 − s) RPM.

उदाहरण

विद्युत परिपथों में समय स्थिरांक

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संधारित्र वोल्टेज चरण-प्रतिक्रिया।

File:Series RC resistor voltage.svg

प्रारंभ करनेवाला वोल्टेज चरण-प्रतिक्रिया।

एक एकल रोकनेवाला और प्रारंभ करनेवाला से बना एक आरएल सर्किट में, समय स्थिर$\tau$(दूसरा में) है

$\tau ={\frac {L}{R}}$

जहाँ R विद्युत प्रतिरोध (ओम में) है और L अधिष्ठापन है (हेनरी (यूनिट) में)।

इसी तरह, एक एकल रोकनेवाला और संधारित्र से बना एक आरसी सर्किट में, समय स्थिर $\tau$ (सेकंड में) है:

$\tau =RC$

जहाँ R प्रतिरोध है (ओम में) और C समाई है (फैराड में)।

विद्युत सर्किट अक्सर इन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल होते हैं, और कई बार स्थिरांक प्रदर्शित कर सकते हैं (कुछ उदाहरणों के लिए चरण प्रतिक्रिया और ध्रुव विभाजन देखें।) उस मामले में जहां नकारात्मक प्रतिक्रिया एम्पलीफायर मौजूद है, एक प्रणाली अस्थिर, बढ़ते दोलनों को प्रदर्शित कर सकती है। इसके अलावा, बहुत कम आयाम उत्तेजनाओं को छोड़कर, भौतिक विद्युत सर्किट शायद ही कभी सही मायने में रैखिक प्रणाली होते हैं; हालाँकि, रैखिकता के सन्निकटन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में एक और उपाय, 4 का फैनआउट अक्सर उपयोग किया जाता है। इसे समीकरण के माध्यम से समय स्थिर इकाइयों में परिवर्तित किया जा सकता है $5\tau ={\text{FO4}}$.

थर्मल समय स्थिर

समय स्थिरांक थर्मल सिस्टम के लिए लुम्प्ड सिस्टम विश्लेषण (ढेर क्षमता विश्लेषण विधि) की एक विशेषता है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब संवहन (गर्मी हस्तांतरण) के प्रभाव में वस्तुओं को समान रूप से ठंडा या गर्म किया जाता है। इस मामले में, एक निश्चित समय पर शरीर से परिवेश में गर्मी हस्तांतरण शरीर और परिवेश के बीच तापमान के अंतर के समानुपाती होता है:

$F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),$

जहाँ h ऊष्मा अंतरण गुणांक है, और A_s सतह क्षेत्र है, टी तापमान समारोह है, यानी, टी (टी) समय टी पर शरीर का तापमान है, और टी_a निरंतर परिवेश का तापमान है। धनात्मक चिह्न इस सम्मेलन को इंगित करता है कि F सकारात्मक है जब गर्मी शरीर छोड़ रही है क्योंकि इसका तापमान परिवेश के तापमान से अधिक है (F एक बाहरी प्रवाह है)। यदि गर्मी परिवेश में खो जाती है, तो इस गर्मी हस्तांतरण से शरीर के तापमान में गिरावट आती है:

$\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,$

जहाँ ρ = घनत्व, c_p = विशिष्ट ऊष्मा और V शरीर का आयतन है। ऋणात्मक संकेत तापमान में गिरावट को इंगित करता है जब गर्मी हस्तांतरण शरीर से बाहर की ओर होता है (अर्थात, जब F > 0)। गर्मी हस्तांतरण के लिए इन दो भावों की बराबरी करना,

$\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).$

जाहिर है, यह एक प्रथम-क्रम LTI प्रणाली है जिसे इस रूप में डाला जा सकता है:

${\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},$

साथ

$\tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.$

दूसरे शब्दों में, उच्च ताप क्षमता वाले बड़े द्रव्यमान ρV c_p तापमान में धीमे परिवर्तन (लंबे समय तक स्थिर τ) की ओर ले जाते हैं, जबकि बड़े सतह क्षेत्र A_s उच्च गर्मी हस्तांतरण एच के साथ अधिक तेजी से तापमान परिवर्तन (कम समय स्थिर τ) होता है।

परिचयात्मक #Differential_equation के साथ तुलना समय-परिवर्तित परिवेश तापमान T के संभावित सामान्यीकरण का सुझाव देती है_a. हालांकि, चर ΔT ≡ (T − T) को प्रतिस्थापित करके सरल स्थिर परिवेश उदाहरण को बनाए रखना_a), कोई पाता है:

${\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.$

जिन प्रणालियों के लिए शीतलन उपरोक्त घातीय समीकरण को संतुष्ट करता है, उन्हें न्यूटन के शीतलन के नियम को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है। इस समीकरण के समाधान से पता चलता है कि, ऐसी प्रणालियों में, सिस्टम के तापमान और उसके परिवेश के बीच का अंतर ΔT समय t के एक समारोह के रूप में दिया जाता है:

$\Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },$

जहां डीटी₀ प्रारंभिक तापमान अंतर है, समय टी = 0 पर। शब्दों में, शरीर एक ही तापमान को परिवेश के रूप में मानता है जो समय स्थिर द्वारा निर्धारित एक घातीय धीमी दर पर होता है।

बायोफिजिक्स में समय स्थिरांक

एक उत्तेजनीय कोशिका जैसे मायोसाइट या न्यूरॉन में, झिल्ली क्षमता का समय स्थिर $\tau$ है

$\tau =r_{m}c_{m}$

जहां आर_m झिल्ली भर में प्रतिरोध है और सी_m झिल्ली की समाई है।

झिल्ली के पार प्रतिरोध खुले आयन चैनलों की संख्या का एक कार्य है और समाई लिपिड बिलेयर के गुणों का एक कार्य है।

झिल्ली वोल्टेज में वृद्धि और गिरावट का वर्णन करने के लिए समय स्थिरांक का उपयोग किया जाता है, जहां वृद्धि का वर्णन किया जाता है

$V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)$

और पतन का वर्णन किया है

$V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }$

जहां वोल्टेज मिलीवोल्ट में है, समय सेकंड में है, और $\tau$ सेकेंड में है।

वी_max स्थिर क्षमता से अधिकतम वोल्टेज परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां

$V_{\textrm {max}}=r_{m}I$

जहां आर_m झिल्ली के पार प्रतिरोध है और मैं झिल्ली धारा है।

टी = के लिए सेटिंग $\tau$ उदय सेट के लिए V(t) 0.63V के बराबर है_max. इसका अर्थ है कि समय स्थिर V के 63% के बाद बीता हुआ समय है_max तक पहुँच चुका है

टी = के लिए सेटिंग $\tau$ फॉल सेट के लिए V(t) 0.37V के बराबर है_max, जिसका अर्थ है कि समय स्थिरांक वी के 37% तक गिरने के बाद बीता हुआ समय है_max.

समय स्थिरांक जितना बड़ा होता है, न्यूरॉन की क्षमता का उत्थान या पतन उतना ही धीमा होता है। एक लंबे समय के स्थिरांक का परिणाम लौकिक योग, या बार-बार संभावितों का बीजगणितीय योग हो सकता है। स्थानिक योग के माध्यम से न्यूरबायोलॉजी में एक कम समय निरंतर एक संयोग का पता लगाता है।

घातीय क्षय

Further information: Exponential decay

घातीय क्षय में, जैसे रेडियोधर्मी क्षय समस्थानिक में, समय स्थिरांक को औसत जीवनकाल के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। आधा जीवन टी_HL घातीय समय स्थिरांक से संबंधित है $\tau$ द्वारा

$T_{HL}=\tau \ln 2.$

समय स्थिरांक के व्युत्क्रम को क्षय स्थिरांक कहा जाता है, और निरूपित किया जाता है $\lambda =1/\tau$.

मौसम संबंधी सेंसर

एक समय स्थिर वह समय है जो एक मौसम संबंधी संवेदक को एक माप में तेजी से बदलाव का जवाब देने में लगता है, और जब तक कि यह आमतौर पर संवेदक से अपेक्षित सटीकता सहिष्णुता के भीतर मूल्यों को माप नहीं लेता है।

यह अक्सर तापमान, ओस-बिंदु तापमान, आर्द्रता और वायु दाब के मापन पर लागू होता है। रेडियोसोंडे विशेष रूप से ऊंचाई में तेजी से वृद्धि के कारण प्रभावित होते हैं।

यह भी देखें

• आरसी समय स्थिर
• आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
• घातीय क्षय
• लीड-लैग कम्पेसाटर
• लंबाई स्थिर
• वृद्धि समय
• पतझड़ का समय
• आवृत्ति प्रतिक्रिया
• आवेग प्रतिक्रिया
• कदम की प्रतिक्रिया
• संक्रमण का समय
• निपटान समय

बाहरी संबंध

• Conversion of time constant τ to cutoff frequency fc and vice versa
• All about circuits - Voltage and current calculations
• Energy and Thermal Time Constant of Buildings