पूर्व आदेश

This article is about binary relations. For the graph vertex ordering, see depth-first search. For purchase orders for unreleased products, see pre-order. For other uses, see पूर्व आदेश (disambiguation).

"Quasiorder" redirects here. For irreflexive transitive relations, see strict order.

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Partial order ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Total order ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Well-ordering ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Lattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ Join-semilattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Strict total order ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
File:Green check.svgY indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

File:Prewellordering example svg.svg

//4 द्वारा परिभाषित पूर्व आदेश x R y का हस्से आरेख। चक्रों के कारण R प्रतिसममित नहीं है। यदि एक चक्र में सभी संख्याओं को समतुल्य माना जाता है, तो एक आंशिक, सम रैखिक, क्रम प्राप्त होना। नीचे पहला उदाहरण देखें।

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, एक पूर्व-आदेश या अर्ध-आदेश एक द्विआधारी संबंध है जो प्रतिवर्त संबंध और सकर्मक संबंध है। समतुल्य संबंधों और (गैर-सख्त) आंशिक आदेशों की तुलना में सीमाएँ अधिक सामान्य हैं, दोनों एक पूर्व-आदेश के विशेष मामले हैं: एक एंटीसिमेट्रिक संबंध (या कंकाल (श्रेणी सिद्धांत)) पूर्व-आदेश एक आंशिक आदेश है, और एक सममित संबंध पूर्व-आदेश एक है तुल्यता संबंध।

नाम preorder इस विचार से आता है कि पूर्व-आदेश (जो आंशिक आदेश नहीं हैं) 'लगभग' (आंशिक) आदेश हैं, लेकिन पूरी तरह से नहीं; वे न तो आवश्यक रूप से प्रतिसममित और न ही असममित संबंध हैं। क्योंकि प्रीआर्डर एक बाइनरी रिलेशन है, सिंबल $\,\leq \,$ संबंध के लिए नोटेशनल डिवाइस के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। हालाँकि, क्योंकि वे आवश्यक रूप से एंटीसिमेट्रिक नहीं हैं, कुछ सामान्य अंतर्ज्ञान प्रतीक से जुड़े हैं $\,\leq \,$ लागू नहीं हो सकता। दूसरी ओर, एक आंशिक क्रम और एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करने के लिए, एक सीधी-सादी शैली में एक पूर्व-आदेश का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, ऐसा करना हमेशा उपयोगी या उपयोगी नहीं होता है, यह अध्ययन किए जा रहे समस्या क्षेत्र पर निर्भर करता है।

शब्दों में, कब $a\leq b,$ कोई कह सकता है कि बी covers ए या वह ए precedes बी, या वह बी reduces एक के लिए। कभी-कभी, अंकन ← या → या $\,\lesssim \,$ की जगह प्रयोग किया जाता है $\,\leq .$ प्रत्येक प्रीऑर्डर के लिए, एक निर्देशित ग्राफ़ से मेल खाता है, सेट के तत्वों के साथ कोने के अनुरूप होता है, और कोने के बीच निर्देशित किनारों के अनुरूप तत्वों के जोड़े के बीच ऑर्डर संबंध होता है। इसका विलोम सत्य नहीं है: अधिकांश निर्देशित रेखांकन न तो प्रतिवर्त होते हैं और न ही सकर्मक। सामान्य तौर पर, संबंधित ग्राफ़ में चक्र (ग्राफ़ सिद्धांत) हो सकता है। एक पूर्व-आदेश जो असममित है अब चक्र नहीं है; यह एक आंशिक क्रम है, और एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ से मेल खाता है। एक पूर्व-आदेश जो सममित है एक तुल्यता संबंध है; इसके बारे में सोचा जा सकता है कि ग्राफ़ के किनारों पर दिशा चिह्नक खो गए हैं। सामान्य तौर पर, प्रीऑर्डर के संबंधित निर्देशित ग्राफ में कई डिस्कनेक्ट किए गए घटक हो सकते हैं।

औपचारिक परिभाषा

एक सजातीय संबंध पर विचार करें $\,\leq \,$ किसी दिए गए सेट (गणित) पर $P,$ ताकि परिभाषा के अनुसार, $\,\leq \,$ का कुछ उपसमुच्चय है $P\times P$ और अंकन $a\leq b$ के स्थान पर प्रयोग किया जाता है $(a,b)\in \,\leq .$ तब $\,\leq \,$ ए कहा जाता हैpreorderयाquasiorderअगर यह रिफ्लेक्सिव रिलेशन और सकर्मक रिलेशन है; अर्थात्, यदि यह संतुष्ट करता है:

1. Reflexive संबंध: $a\leq a$ सभी के लिए $a\in P,$ और
2. सकर्मक संबंध: यदि $a\leq b{\text{ and }}b\leq c{\text{ then }}a\leq c$ सभी के लिए $a,b,c\in P.$ एक सेट जो एक प्रीआर्डर से लैस होता है उसे एक प्रीऑर्डर्ड सेट (या प्रोसेट) कहा जाता है। #सख्त प्रीऑर्डर पर जोर या इसके विपरीत, एक प्रीऑर्डर को गैर-सख्त प्रीऑर्डर के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है।

यदि रिफ्लेक्सिविटी को अविचलित संबंध से बदल दिया जाता है (ट्रांज़िटिविटी रखते हुए) तो परिणाम को एक सख्त प्रीऑर्डर कहा जाता है; स्पष्ट रूप से, एstrict preorderपर $P$ एक सजातीय द्विआधारी संबंध है $\,<\,$ पर $P$ जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: <ओल>

इरेफ्लेक्सिव रिलेशन या एंटी-रिफ्लेक्सिविटी: not $a<a$ सभी के लिए $a\in P;$ वह है, $\,a<a$ है false सभी के लिए $a\in P,$ और</ली>

सकर्मक संबंध: यदि $a<b{\text{ and }}b<c{\text{ then }}a<c$ सभी के लिए $a,b,c\in P.$</ली> </ओल> एक द्विआधारी संबंध एक सख्त पूर्व-आदेश है यदि और केवल यदि यह एक सख्त आंशिक आदेश है। परिभाषा के अनुसार, एक सख्त आंशिक आदेश एक असममित संबंध सख्त पूर्व आदेश है, जहां $\,<\,$ कहा जाता है asymmetric अगर $a<b{\text{ implies }}{\textit {not}}\ b<a$ सभी के लिए $a,b.$ इसके विपरीत, प्रत्येक सख्त पूर्व-आदेश एक सख्त आंशिक आदेश है क्योंकि प्रत्येक सकर्मक अपरिवर्तनीय संबंध आवश्यक रूप से असममित संबंध है। हालांकि वे समतुल्य हैं, सख्त आंशिक आदेश शब्द को विशेष रूप से सख्त पूर्व आदेश पर पसंद किया जाता है और पाठकों को ऐसे संबंधों के विवरण के लिए सख्त आंशिक आदेश के लिए संदर्भित किया जाता है। सख्त पूर्व-आदेशों के विपरीत, कई (गैर-सख्त) पूर्व-आदेश हैं not (गैर-सख्त) आंशिक आदेश।

संबंधित परिभाषाएँ

अगर एक प्रीऑर्डर भी एंटीसिमेट्रिक रिलेशन है, यानी, $a\leq b$ और $b\leq a$ तात्पर्य $a=b,$ तो यह आंशिक रूप से आदेशित सेट है।

दूसरी ओर, यदि यह सममित संबंध है, अर्थात यदि $a\leq b$ तात्पर्य $b\leq a,$ तो यह एक तुल्यता संबंध है।

एक प्रीऑर्डर कुल अग्रिम आदेश है अगर $a\leq b$ या $b\leq a$ सभी के लिए $a,b\in P.$ एक पूर्वनिर्धारित सेट की धारणा $P$ एक श्रेणी सिद्धांत में एक पतली श्रेणी के रूप में तैयार किया जा सकता है; अर्थात्, एक श्रेणी के रूप में एक वस्तु से दूसरी वस्तु में अधिकतम एक रूपवाद। यहाँ वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के तत्वों के अनुरूप है $P,$ और संबंधित वस्तुओं के लिए एक आकारिकी है, अन्यथा शून्य। वैकल्पिक रूप से, एक पूर्व-आदेशित सेट को समृद्ध श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है, श्रेणी से समृद्ध $2=(0\to 1).$ एक पूर्व-आदेशित वर्ग एक ऐसा वर्ग (गणित) है जो एक पूर्व-आदेश से सुसज्जित है। प्रत्येक सेट एक वर्ग है और इसलिए प्रत्येक पूर्वनिर्धारित सेट एक पूर्वनिर्धारित वर्ग है।

उदाहरण

ग्राफ सिद्धांत

• (ऊपर चित्र देखें) xinteger division|//4 का अर्थ सबसे बड़ा पूर्णांक है जो x से कम या बराबर है जो 4 से विभाजित है, इस प्रकार 1integer division|//4 0 है, जो निश्चित रूप से 0 से कम या उसके बराबर है, जो स्वयं 0पूर्णांक विभाजन के समान है|//4.

• किसी भी निर्देशित ग्राफ (संभवतः चक्र युक्त) में पुन: योग्यता संबंध एक प्रीऑर्डर को जन्म देता है, जहां $x\leq y$ प्रीऑर्डर में अगर और केवल अगर निर्देशित ग्राफ में x से y तक का रास्ता है। इसके विपरीत, प्रत्येक प्रीऑर्डर एक निर्देशित ग्राफ़ का रीचैबिलिटी रिलेशनशिप है (उदाहरण के लिए, ग्राफ़ जिसमें प्रत्येक जोड़ी के लिए x से y तक का किनारा है (x, y) साथ $x\leq y.$ हालाँकि, कई अलग-अलग ग्राफ़ में एक-दूसरे के समान रीचैबिलिटी प्रीऑर्डर हो सकते हैं। उसी तरह, निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ़ की पुन: योग्यता, बिना चक्र वाले निर्देशित ग्राफ़, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों को जन्म देते हैं (अतिरिक्त एंटीसिमेट्री संपत्ति को संतुष्ट करने वाले पूर्व-आदेश)।
• ग्राफ सिद्धांत में ग्राफ-मामूली रिलेशन।

कंप्यूटर विज्ञान

कंप्यूटर विज्ञान में, निम्नलिखित पूर्व-आदेशों के उदाहरण मिल सकते हैं।

• बिग ओ नोटेशन फ़ंक्शन पर प्रीऑर्डर का कारण बनता है $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$. संबंधित तुल्यता संबंध को स्पर्शोन्मुख_विश्लेषण # परिभाषा कहा जाता है।
• बहुपद-समय में कमी | बहुपद-समय, कई-एक कमी | कई-एक (मानचित्रण) और ट्यूरिंग कटौती जटिलता वर्गों पर पूर्व-आदेश हैं।
• सबटाइपिंग संबंध आमतौर पर प्रीऑर्डर होते हैं।
• सिमुलेशन प्रीऑर्डर्स प्रीऑर्डर्स हैं (इसलिए नाम)।
• सार पुनर्लेखन प्रणालियों में संबंधों में कमी।
• द्वारा परिभाषित शब्द (तर्क) के सेट पर समावेशन प्रस्ताव $s\leq t$ यदि एक शब्द (तर्क) # टी की शर्तों के साथ संचालन एस का प्रतिस्थापन उदाहरण है।
• थीटा-अवधारणा, जो तब होता है जब पूर्व के लिए एक प्रतिस्थापन (तर्क) लागू करने के बाद, एक वियोगात्मक प्रथम-क्रम सूत्र में शाब्दिक दूसरे द्वारा समाहित होते हैं।

अन्य

और उदाहरण:

• प्रत्येक परिमित सामयिक स्थान परिभाषित करके अपने बिंदुओं पर एक पूर्व-आदेश को जन्म देता है $x\leq y$ यदि और केवल यदि x, y के प्रत्येक पड़ोस (गणित) से संबंधित है। इस तरह से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के स्पेशलाइजेशन (प्री) ऑर्डर के रूप में हर परिमित प्रीऑर्डर का गठन किया जा सकता है। यही है, परिमित टोपोलॉजी और परिमित सीमा के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है। हालांकि, अनंत टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान और उनकी विशेषज्ञता की सीमाओं के बीच संबंध एक-से-एक नहीं है।

• एक नेट (गणित) एक निर्देशित सेट प्रीऑर्डर है, यानी तत्वों की प्रत्येक जोड़ी में ऊपरी सीमा होती है। नेट के माध्यम से अभिसरण की परिभाषा टोपोलॉजी में महत्वपूर्ण है, जहां महत्वपूर्ण विशेषताओं को खोए बिना पूर्व-आदेशों को आंशिक रूप से आदेशित सेटों द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है।

• द्वारा परिभाषित संबंध $x\leq y$ अगर $f(x)\leq f(y),$ जहां एफ कुछ प्रीऑर्डर में एक फ़ंक्शन है।
• द्वारा परिभाषित संबंध $x\leq y$ अगर एक्स से वाई तक कुछ इंजेक्शन समारोह मौजूद है। इंजेक्शन को अनुमान से बदला जा सकता है, या किसी भी प्रकार की संरचना-संरक्षण कार्य, जैसे रिंग समरूपता, या क्रमचय।
• गणनीय कुल ऑर्डरिंग के लिए एम्बेडिंग संबंध।
• एक श्रेणी (गणित) किसी भी वस्तु x से किसी भी अन्य वस्तु y में अधिकतम एक रूपवाद के साथ एक पूर्व-आदेश है। ऐसी श्रेणियों को पतली श्रेणी कहा जाता है। इस अर्थ में, श्रेणियां वस्तुओं के बीच एक से अधिक संबंधों की अनुमति देकर पूर्व-आदेशों को सामान्यीकृत करती हैं: प्रत्येक आकारिकी एक विशिष्ट (नामित) पूर्व-आदेश संबंध है।

सख्त कमजोर ऑर्डरिंग का उदाहरण#कुल अग्रिम आदेश:

• वरीयता, सामान्य मॉडल के अनुसार।

उपयोग करता है

कई स्थितियों में पूर्व-आदेश एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं:

• हर प्रीऑर्डर को एक टोपोलॉजी दी जा सकती है, अलेक्जेंडर टोपोलॉजी; और वास्तव में, सेट पर प्रत्येक प्रीऑर्डर उस सेट पर एक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के साथ एक-से-एक पत्राचार में है।
• आंतरिक बीजगणित को परिभाषित करने के लिए पूर्व-आदेशों का उपयोग किया जा सकता है।
• प्रीऑर्डर्स कुछ प्रकार के मॉडल तर्क के लिए क्रिपके शब्दार्थ प्रदान करते हैं।
• प्रीऑर्डर्स का उपयोग फोर्सिंग (गणित) में समुच्चय सिद्धान्त में स्थिरता और स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) परिणामों को साबित करने के लिए किया जाता है।

निर्माण

हर द्विआधारी संबंध $R$ एक सेट पर $S$ पर प्रीऑर्डर तक बढ़ाया जा सकता है $S$ सकर्मक बंद और रिफ्लेक्सिव क्लोजर लेकर, $R^{+=}.$ सकर्मक समापन पथ कनेक्शन को इंगित करता है $R:xR^{+}y$ अगर और केवल अगर कोई है $R$-पथ (ग्राफ सिद्धांत) से $x$ को $y.$ बायनरी रिलेशन से प्रेरित लेफ्ट रेसीड्यूल प्रीऑर्डर

एक द्विआधारी संबंध दिया $R,$ पूरक रचना $R\backslash R={\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}$ एक पूर्व-आदेश बनाता है जिसे विषम संबंध#पूर्व-आदेश R\R कहा जाता है, कहाँ $R^{\textsf {T}}$ के विलोम संबंध को दर्शाता है $R,$ और ${\overline {R}}$ के पूरक (सेट सिद्धांत) संबंध को दर्शाता है $R,$ जबकि $\circ$ संबंध संरचना को दर्शाता है।

विभाजनों पर अग्रिम आदेश और आंशिक आदेश

एक पूर्व आदेश दिया $\,\lesssim \,$ पर $S$ कोई एक तुल्यता संबंध को परिभाषित कर सकता है $\,\sim \,$ पर $S$ ऐसा है कि

$$a\sim b\quad {\text{ if and only if }}\quad a\lesssim b\;{\text{ and }}\;b\lesssim a.$$
 परिणामी संबंध $\,\sim \,$ प्रीऑर्डर के बाद से रिफ्लेक्सिव है $\,\lesssim \,$ प्रतिवर्त है; की संक्रामकता को लागू करके सकर्मक $\,\lesssim \,$ दो बार; और परिभाषा के अनुसार सममित।

इस संबंध का उपयोग करके, तुल्यता के भागफल सेट पर एक आंशिक क्रम बनाना संभव है, $S/\sim ,$ जो कि सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय है $\,\sim .$ यदि पूर्व आदेश द्वारा निरूपित किया जाता है $R^{+=},$ तब $S/\sim$ का सेट है $R$-चक्र (ग्राफ सिद्धांत) तुल्यता वर्ग:

$x\in [y]$ अगर और केवल अगर $x=y$ या $x$ एक में है $R$-साइकिल के साथ $y$ किसी भी मामले में, पर $S/\sim$ परिभाषित करना संभव है $[x]\leq [y]$ अगर और केवल अगर $x\lesssim y.$ यह अच्छी तरह से परिभाषित है, जिसका अर्थ है कि इसकी परिभाषित स्थिति किस प्रतिनिधि पर निर्भर नहीं करती है $[x]$ और $[y]$ चुने गए हैं, की परिभाषा से अनुसरण करते हैं $\,\sim .\,$ यह आसानी से सत्यापित है कि यह आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का उत्पादन करता है।

इसके विपरीत, किसी सेट के विभाजन पर किसी आंशिक क्रम से $S,$ पर प्रीऑर्डर बनाना संभव है $S$ अपने आप। पूर्व-आदेशों और जोड़े (विभाजन, आंशिक क्रम) के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

Example: होने देना $S$ एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) हो, जो कुछ गुणों के साथ वाक्य (गणितीय तर्क) का एक सेट है (जिसका विवरण सिद्धांत (गणितीय तर्क) में पाया जा सकता है)। उदाहरण के लिए, $S$ एक प्रथम-क्रम सिद्धांत हो सकता है (जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) या एक सरल प्रस्तावक कलन | शून्य-क्रम सिद्धांत। के अनेक गुणों में से एक है $S$ क्या यह तार्किक परिणामों के तहत बंद है, उदाहरण के लिए, यदि कोई वाक्य $A\in S$ तार्किक रूप से कुछ वाक्य का तात्पर्य है $B,$ जो इस प्रकार लिखा जाएगा $A\Rightarrow B$ और के रूप में भी $B\Leftarrow A,$ फिर अनिवार्य रूप से $B\in S$ (विधि सेट करके)। रिश्ता $\,\Leftarrow \,$ पर एक अग्रिम आदेश है $S$ क्योंकि $A\Leftarrow A$ हमेशा धारण करता है और जब भी $A\Leftarrow B$ और $B\Leftarrow C$ दोनों पकड़ तो ऐसा करता है $A\Leftarrow C.$ इसके अलावा, किसी के लिए $A,B\in S,$ $A\sim B$ अगर और केवल अगर $A\Leftarrow B{\text{ and }}B\Leftarrow A$; अर्थात्, दो वाक्यों के संबंध में समकक्ष हैं $\,\Leftarrow \,$ अगर और केवल अगर वे तार्किक रूप से समकक्ष हैं। यह विशेष तुल्यता संबंध $A\sim B$ आमतौर पर अपने विशेष प्रतीक के साथ दर्शाया जाता है $A\iff B,$ और इसलिए यह प्रतीक $\,\iff \,$ की जगह इस्तेमाल किया जा सकता है $\,\sim .$ वाक्य का तुल्यता वर्ग $A,$ द्वारा चिह्नित $[A],$ सभी वाक्यों से मिलकर बनता है $B\in S$ जो तार्किक रूप से समकक्ष हैं $A$ (बस इतना ही $B\in S$ ऐसा है कि $A\iff B$). आंशिक आदेश जारी है $S/\sim$ प्रेरक $\,\Leftarrow ,\,$ जिसे उसी प्रतीक द्वारा भी दर्शाया जाएगा $\,\Leftarrow ,\,$ द्वारा चित्रित है $[A]\Leftarrow [B]$ अगर और केवल अगर $A\Leftarrow B,$ जहां दाहिने हाथ की स्थिति प्रतिनिधियों की पसंद से स्वतंत्र होती है $A\in [A]$ और $B\in [B]$ तुल्यता वर्गों की। यह सब कहा गया है $\,\Leftarrow \,$ अब तक इसके विलोम संबंध के बारे में भी कहा जा सकता है $\,\Rightarrow .\,$ पहले से ऑर्डर किया हुआ सेट $(S,\Leftarrow )$ एक निर्देशित सेट है क्योंकि अगर $A,B\in S$ और अगर $C:=A\wedge B$ तार्किक संयोजन द्वारा गठित वाक्य को दर्शाता है $\,\wedge ,\,$ तब $A\Leftarrow C$ और $B\Leftarrow C$ कहाँ $C\in S.$ आंशिक रूप से आदेशित सेट $\left(S/\sim ,\Leftarrow \right)$ परिणामस्वरूप एक निर्देशित सेट भी है। संबंधित उदाहरण के लिए लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें।

अग्रिम-आदेश और सख्त पूर्व-आदेश

एक प्रीऑर्डर द्वारा प्रेरित सख्त प्रीऑर्डर

एक पूर्व आदेश दिया $\,\lesssim ,$ एक नया रिश्ता $\,<\,$ घोषित करके परिभाषित किया जा सकता है $a<b$ अगर और केवल अगर $a\lesssim b{\text{ and not }}b\lesssim a.$ तुल्यता संबंध का उपयोग करना $\,\sim \,$ ऊपर पेश किया गया, $a<b$ अगर और केवल अगर $a\lesssim b{\text{ and not }}a\sim b;$ और इसलिए निम्नलिखित धारण करता है

$$a\lesssim b\quad {\text{ if and only if }}\quad a<b\;{\text{ or }}\;a\sim b.$$

रिश्ता $\,<\,$ एक सख्त आंशिक आदेश है और every सख्त आंशिक आदेश इस तरह से बनाया जा सकता है।

If अग्रिम आदेश $\,\lesssim \,$ प्रतिसममित संबंध है (और इस प्रकार एक आंशिक क्रम) तो तुल्यता $\,\sim \,$ समानता है (अर्थात, $a\sim b$ अगर और केवल अगर $a=b$) और इसलिए इस मामले में, की परिभाषा $\,<\,$ के रूप में पुनर्स्थापित किया जा सकता है:
$$a<b\quad {\text{ if and only if }}\quad a\leq b\;{\text{ and }}\;a\neq b\quad \quad ({\text{assuming }}\lesssim {\text{ is antisymmetric}}).$$

लेकिन खास बात यह है कि यह नई शर्त है not संबंध की सामान्य परिभाषा के रूप में (न ही यह समतुल्य है) उपयोग किया जाता है $\,<\,$ (वह है, $\,<\,$ है not के रूप में परिभाषित: $a<b$ अगर और केवल अगर $a\lesssim b{\text{ and }}a\neq b$) क्योंकि अगर प्रीऑर्डर $\,\lesssim \,$ प्रतिसममित नहीं है तो परिणामी संबंध $\,<\,$ सकर्मक नहीं होगा (विचार करें कि समतुल्य गैर-बराबर तत्व कैसे संबंधित हैं)। प्रतीक के प्रयोग का यही कारण है$\lesssim$प्रतीक से कम या उसके बराबर के बजाय$\leq$, जो एक ऐसे प्रीऑर्डर के लिए भ्रम पैदा कर सकता है जो एंटीसिमेट्रिक नहीं है क्योंकि यह भ्रामक रूप से सुझाव दे सकता है $a\leq b$ तात्पर्य $a<b{\text{ or }}a=b.$ सख्त प्रीऑर्डर से प्रेरित प्रीऑर्डर

उपरोक्त निर्माण का उपयोग करके, कई गैर-सख्त पूर्व-आदेश एक ही सख्त पूर्व-आदेश दे सकते हैं $\,<,\,$ तो कैसे के बारे में अधिक जानकारी के बिना $\,<\,$ का निर्माण किया गया था (इस तरह के तुल्यता संबंध का ज्ञान $\,\sim \,$ उदाहरण के लिए), मूल गैर-सख्त प्रीऑर्डर से पुनर्निर्माण करना संभव नहीं हो सकता है $\,<.\,$ संभावित (गैर-सख्त) पूर्व-आदेश जो दिए गए सख्त पूर्व-आदेश को प्रेरित करते हैं $\,<\,$ निम्नलिखित को शामिल कीजिए:

• परिभाषित करना $a\leq b$ जैसा $a<b{\text{ or }}a=b$ (अर्थात, संबंध का प्रतिवर्त समापन लें)। यह सख्त आंशिक आदेश से जुड़ा आंशिक आदेश देता है$<$रिफ्लेक्सिव क्लोजर के माध्यम से; इस मामले में समानता समानता है $\,=,$ तो प्रतीक $\,\lesssim \,$ और $\,\sim \,$ जरूरत नहीं है।
• परिभाषित करना $a\lesssim b$ जैसा${\text{ not }}b<a$(अर्थात, संबंध का व्युत्क्रम पूरक लें), जो परिभाषित करने के अनुरूप है $a\sim b$ न तो $a<b{\text{ nor }}b<a$; ये संबंध $\,\lesssim \,$ और $\,\sim \,$ सामान्य रूप से सकर्मक नहीं हैं; हालाँकि, अगर वे हैं $\,\sim \,$ एक समानता है; उस मामले में$<$एक सख्त कमजोर आदेश है। परिणामी प्रीऑर्डर जुड़ा हुआ संबंध है (जिसे पहले टोटल कहा जाता था); यानी कुल प्रीऑर्डर।

अगर $a\leq b$ तब $a\lesssim b.$ विलोम धारण करता है (अर्थात, $\,\lesssim \;\;=\;\;\leq \,$) अगर और केवल अगर जब भी $a\neq b$ तब $a<b$ या $b<a.$

पूर्व-आदेशों की संख्या

Number of n-element binary relations of different types

Elem­ents	Any	Transitive	Reflexive	Symmetric	Preorder	Partial order	Total preorder	Total order	Equivalence relation
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Note that S(n, k) refers to Stirling numbers of the second kind. जैसा कि ऊपर बताया गया है, पूर्व-आदेशों और जोड़े (विभाजन, आंशिक क्रम) के बीच 1-टू-1 पत्राचार है। इस प्रकार पूर्व-आदेशों की संख्या प्रत्येक विभाजन पर आंशिक आदेशों की संख्या का योग है। उदाहरण के लिए:

• for $n=3:$
  • 1 partition of 3, giving 1 preorder
  • 3 partitions of 2 + 1, giving $3\times 3=9$ preorders
  • 1 partition of 1 + 1 + 1, giving 19 preorders
  I.e., together, 29 preorders.
• for $n=4:$
  • 1 partition of 4, giving 1 preorder
  • 7 partitions with two classes (4 of 3 + 1 and 3 of 2 + 2), giving $7\times 3=21$ preorders
  • 6 partitions of 2 + 1 + 1, giving $6\times 19=114$ preorders
  • 1 partition of 1 + 1 + 1 + 1, giving 219 preorders
  I.e., together, 355 preorders.

अंतराल

के लिए $a\lesssim b,$ अंतराल (गणित) $[a,b]$ बिंदुओं का समुच्चय x संतोषजनक है $a\lesssim x$ और $x\lesssim b,$ भी लिखा $a\lesssim x\lesssim b.$ इसमें कम से कम अंक a और b होते हैं। कोई भी परिभाषा को सभी जोड़ियों तक विस्तारित करना चुन सकता है $(a,b)$ अतिरिक्त अंतराल सभी खाली हैं।

इसी सख्त संबंध का उपयोग करना$<$, कोई भी अंतराल को परिभाषित कर सकता है $(a,b)$ अंक x संतोषजनक के सेट के रूप में $a<x$ और $x<b,$ भी लिखा $a<x<b.$ एक खुला अंतराल भले ही खाली हो सकता है $a<b.$ भी $[a,b)$ और $(a,b]$ इसी प्रकार परिभाषित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• आंशिक रूप से आदेशित सेट - प्रीऑर्डर जो एंटीसिमेट्रिक रिलेशन है
• तुल्यता संबंध - पूर्वक्रम जो कि सममित संबंध है
• सख्त कमजोर आदेश # कुल अग्रिम आदेश - पूर्व आदेश जो जुड़ा हुआ संबंध है
• टोटल ऑर्डर - प्रीऑर्डर जो एंटीसिमेट्रिक और टोटल है
• निर्देशित सेट
• पहले से ऑर्डर किए गए सेट की श्रेणी
• पूर्व-आदेश देना
• अच्छी तरह से आदेश देने वाला

टिप्पणियाँ

संदर्भ

• Schmidt, Gunther, "Relational Mathematics", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-76268-7
• Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9