ऑपरेशन (गणित)

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Not to be confused with ऑपरेटर (गणित).
प्राथमिक अंकगणितीय संचालन:
  • +, प्लस (अतिरिक्त)
  • −, ऋण (घटाव)
  • ÷, ओबेलस (विभाजन)
  • ×, गुणा (गुणन)

गणित में, ऑपरेशन एक ऐसा फलन है जो शून्य या अधिक इनपुट मान (जिन्हें "संचालन" या "तर्क" भी कहा जाता है) को एक अच्छी तरह से परिभाषित आउटपुट मान पर ले जाता है। संकार्य की संख्या संचालन की एरिटी है।

सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले संचालन बाइनरी संचालन हैं (अर्थात, एरिटी 2 के संचालन), जैसे कि जोड़ और गुणा, और यूनरी संचालन (अर्थात, 1 के संचालन), जैसे योगज प्रतिलोम और गुणात्मक प्रतिलोम। शून्य संचालन, या अशक्त संचालन, एक नियतांक (गणित) है।[1][2] मिश्रित उत्पाद एरिटी 3 के संचालन का एक उदाहरण है, जिसे त्रिगुट संचालन भी कहा जाता है।

सामान्यतः, परिमित होने के लिए एरिटी लिया जाता है। चूंकि, असीमित संचालन को कभी-कभी माना जाता है,[1] जिस स्थिति में परिमित एरिटी के "सामान्य" संचालनों को परिमित संचालन कहा जाता है।

एक आंशिक संचालन को एक संचालन के समान ही परिभाषित किया जाता है, लेकिन एक फ़ंक्शन के स्थान पर एक आंशिक फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया जाता है।

संचालन के प्रकार

एक बाइनरी संचालन में दो तर्क होते हैं और , और परिणाम देता है .

संचालन के दो सामान्य प्रकार हैं: यूनरी संचालन और बाइनरी संचालन। एकात्मक संचालनों में केवल एक मान सम्मलित होता है, जैसे कि निषेध और त्रिकोणमितीय कार्य।[3] दूसरी ओर, द्विआधारी संचालनएं दो मान लेती हैं, और इसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक सम्मलित होते हैं।[4]

संचालनों में संख्याओं के अतिरिक्त अन्य गणितीय वस्तुएँ सम्मलित हो सकती हैं। तार्किक मान सही और गलत तर्क संचालन का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, जैसे कि और, या, और नहीं। सदिशों को जोड़ा और घटाया जा सकता है।[5] फ़ंक्शन रचना संचालन का उपयोग करके घुमावों को जोड़ा जा सकता है, पहला घुमाव और फिर दूसरा। सेट पर संचालन में बाइनरी संचालन यूनियन और चौराहे और पूरकता के यूनरी संचालन सम्मलित हैं।[6][7][8] कार्यों की संचालनों में रचना और कनवल्शन सम्मलित हैं।[9][10]

संचालनों को इसके डोमेन के हर संभावित मूल्य के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं में शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है[11] या ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल नहीं लिया जा सकता है। वे मान जिनके लिए किसी संचालन को परिभाषित किया जाता है, एक समुच्चय होता है जिसे उसकी परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन कहा जाता है। जिस सेट में उत्पादित मूल्य होते हैं उसे कोडोमेन कहा जाता है, लेकिन संचालन द्वारा प्राप्त वास्तविक मूल्यों का सेट इसकी परिभाषा, सक्रिय कोडोमेन, छवि या श्रेणी का कोडोमेन है।[12] उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या में, वर्गाकार संचालन केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ उत्पन्न करती है; कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, लेकिन श्रेणी गैर-ऋणात्मक संख्या है।

संचालनों में असमान वस्तुएं सम्मलित हो सकती हैं: एक सदिश को एक अदिश (गणित) से गुणा करके दूसरा सदिश बनाया जा सकता है (एक संचालन जिसे स्केलर गुणन के रूप में जाना जाता है),[13] और दो सदिशों पर आंतरिक उत्पाद संचालन एक मात्रा उत्पन्न करता है जो स्केलर है।[14][15] एक संचालन में कुछ गुण हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए यह साहचर्य, क्रमविनिमेय, एंटीकोम्यूटेटिव, आइडेम्पोटेंट, और इसी तरह हो सकता है।

संयुक्त मूल्यों को संकार्य, तर्क या इनपुट कहा जाता है, और उत्पादित मूल्य को मूल्य, परिणाम या आउटपुट कहा जाता है। संचालन में कम या दो से अधिक इनपुट हो सकते हैं (शून्य इनपुट और असीम रूप से कई इनपुट[1] के स्थिति सहित)।

एक ऑपरेटर एक संचालन के समान है जिसमें यह प्रतीक या संचालन को निरूपित करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया को संदर्भित करता है, इसलिए उनका दृष्टिकोण अलग है। उदाहरण के लिए, जब आप संकार्य और परिणाम पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो अधिकांशतः "जोड़ने का संचालन" या "जोड़ने का संचालन" के बारे में बात करता है, लेकिन प्रक्रिया पर ध्यान केंद्रित करते समय "अतिरिक्त ऑपरेटर" (संभवतः ही कभी "जोड़ने का ऑपरेटर") पर स्विच करता है , या अधिक प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से, फलन +: X × X → X.

परिभाषा

एक n-एरी संचालन ω से X1, …, Xn से Y एक फ़ंक्शन ω: X1 × … × Xn → Y है। सेट X1 × … × Xn को संचालन का डोमेन कहा जाता है, सेट Y को कोडोमेन कहा जाता है संचालन, और निश्चित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n (संकार्य की संख्या) को संचालन की एरिटी कहा जाता है। इस प्रकार एक एकरी संचालन में एरिटी एक है, और एक द्विआधारी संचालन में एरिटी दो है। एरीटी शून्य का एक संचालन, जिसे शून्य संचालन कहा जाता है, केवल कोडोमेन वाई का एक तत्व है। एक एन-एरी संचालन को एक (n + 1)-एरी संबंध के रूप में भी देखा जा सकता है जो इसके एन इनपुट डोमेन पर कुल है और अद्वितीय है इसका आउटपुट डोमेन।

एक n-एरी आंशिक संचालन ω से X1, …, Xn से Y एक आंशिक फलन ω: X1 × … × Xn → Y है। एक n-एरी आंशिक संचालन को (n + 1)-ऐरी संबंध के रूप में भी देखा जा सकता है अपने आउटपुट डोमेन पर अद्वितीय है।

उपरोक्त वर्णन करता है कि सामान्यतः संकार्य की परिमित संख्या (मान 'एन) का संदर्भ देते हुए, जिसे सामान्यतः एक परिमित संचालन कहा जाता है। ऐसे स्पष्ट विस्तार हैं जहां एरिटी को अनंत क्रमिक संख्या या कार्डिनल संख्या के रूप में लिया जाता है,[1]या संकार्य को अनुक्रमणित करने वाला एक मनमाना सेट भी। उपरोक्त वर्णन करता है कि सामान्यतः संकार्य की परिमित संख्या (मान n) का संदर्भ देते हुए, जिसे सामान्यतः एक परिमित संचालन कहा जाता है। ऐसे स्पष्ट विस्तार हैं जहां एरिटी को एक अनंत क्रमसूचक या कार्डिनल,[1] या यहां तक कि एक मनमाना सेट जो किसंकार्यों को अनुक्रमणित करता है, के रूप में लिया जाता है।

अधिकांशतः, संचालन शब्द के प्रयोग का मतलब है कि फ़ंक्शन के डोमेन में कोडोमेन की शक्ति सम्मलित है (अर्थात कोडोमेन की एक या एक से अधिक प्रतियों का कार्टेशियन उत्पाद),[16] चूंकि यह किसी भी तरह से सार्वभौमिक नहीं है, जैसा कि डॉट उत्पाद का मामला, जहां सदिश को गुणा किया जाता है और परिणामस्वरूप एक स्केलर होता है। एक n-एरी संचालन ω: Xn → X एक आंतरिक संचालन कहलाती है। एक एन-एरी संचालन ω: Xi × S × Xn − i − 1 → X जहां 0 ≤ i < n को स्केलर सेट या ऑपरेटर सेट S द्वारा बाहरी संचालन कहा जाता है। विशेष रूप से बाइनरी संचालन के लिए, ω: S × X → X को S द्वारा बाएँ-बाहरी संचालन कहा जाता है, और ω: X × S → X को S द्वारा दाएँ-बाहरी संचालन कहा जाता है। बाहरी संचालन का एक उदाहरण अदिश गुणन है, जहां एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाता है और परिणाम सदिश होता है।

एक n-एरी मल्टीफंक्शन या मल्टीसंचालन ω एक सेट के कार्टेशियन पावर से उस सेट के सबसेट के सेट में एक मैपिंग है, औपचारिक रूप से ω: Xn → P(X)।[17]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 "Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-10.
  2. ↑ DeMeo, William (August 26, 2010). "Universal Algebra Notes" (PDF). math.hawaii.edu. Retrieved 2019-12-09.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Unary Operation". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  4. ↑ Weisstein, Eric W. "Binary Operation". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  5. ↑ Weisstein, Eric W. "वेक्टर". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27. वेक्टरs can be added together (vector addition), subtracted (vector subtraction) ...
  6. ↑ Weisstein, Eric W. "मिलन". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. "चौराहा". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  8. ↑ Weisstein, Eric W. "पूरक". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. "संघटन". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  10. ↑ Weisstein, Eric W. "कनवल्शन". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  11. ↑ Weisstein, Eric W. "Division by Zero". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  12. ↑ Weisstein, Eric W. "कार्यक्षेत्र". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-08.
  13. ↑ Weisstein, Eric W. "Scalar Multiplication". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  14. ↑ Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. (1995). Functional Analysis (in English). New Age International. ISBN 978-81-224-0801-0.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. "Inner Product". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
  16. ↑ Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981). "Chapter II, Definition 1.1". A Course in Universal Algebra. Springer.
  17. ↑ Brunner, J.; Drescher, Th.; Pöschel, R.; Seidel, H. (Jan 1993). "Power algebras: clones and relations" (PDF). EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik). 29: 293–302. Retrieved 2022-10-25.
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