दशमलव

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दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें

दशमलव अंक प्रणाली (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और /ˈdiːnəri/ या दशकीय भी कहा जाता है) पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदी-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है। दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने की विधि को अधिकांश दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।

दशमलव अंक (अधिकांश केवल दशमलव या, कम सही रूप से, दशमलव संख्या), सामान्यतः दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक दशमलव विभाजक (सामान्यतः। या, 25.9703 या 3,1415 के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है। दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि 3.14 में π का अनुमान है। दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, a/10ⁿ के रूप का भिन्न (गणित) हैं, जहाँ a पूर्णांक है, और n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

दशमलव विभाजक (दशमलव प्रतिनिधित्व देखें) के बाद अंकों के अनुक्रम (गणित) का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, 5.123144144144144... = 5.123144)। एक अनंत दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल यदि यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।

मूल

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ईमानदार = 1.2

प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना प्रारंभ किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले मिस्र के अंक हैं, फिर ब्राह्मी अंक, ग्रीक अंक, हिब्रू अंक, रोमन अंक और चीनी अंक इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना कठिन था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की प्रारंभ के साथ पूरी तरह से समाधान किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

दशमलव अंकन

संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक दशमलव चिह्न, और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक ऋणात्मक चिन्ह "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं; दशमलव विभाजक डॉट "." है कई अन्य देशों में (अधिकांश अंग्रेजी बोलने वाले), और अल्पविराम "," का प्रयोग किया जाता है।

एक गैर-नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक दशमलव अंक होता है

• या तो अंकों का एक (परिमित) अनुक्रम (जैसे 2017), जहां पूरा अनुक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है,

  $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$

• या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)

$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$।

यदि m > 0, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह सामान्यतः माना जाता है कि पहला अंक a_m शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, 3.14 = 03.14 = 003.14। इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात्, तो, यदि b_n = 0 इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; उदाहरण के लिए, 15 = 15.0 = 15.00 और 5.2 = 5.20 = 5.200।

एक ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक ऋण चिह्न a_m से पहले रखा जाता है।

अंक $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है

$a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}$।

दशमलव अंक का पूर्णांक भाग या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)। एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है। दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, सामान्यतः कम्प्यूटिंग में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, .1234, के अतिरिक्त 0.1234)। सामान्य लेखन में, दशमलव चिन्ह और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण इसके प्रयोग से बचा जाता है ।

संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।

दशमलव अंश

दशमलव अंश (कभी -कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों को सम्मिलित करने वाले संदर्भों में) तर्कसंगत संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका भाजक दस का घातांक है। उदाहरण के लिए, दशमलव $0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159$ अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं और 4/5, 1489/100, 79/100000, +809/500 और +314159/100000, इसलिए दशमलव संख्या हैं।

अधिक सामान्यतः, एक दशमलव के साथ n दशमलव विभाजक (एक बिंदु या अल्पविराम) के बाद अंकों में हर 10ⁿ, जिसका अंश विभाजक को हटाकर प्राप्त पूर्णांक है।

यह इस प्रकार है कि एक संख्या एक दशमलव अंश है यदि और केवल यदि इसमें एक परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व है।

पूरी तरह से कम किए गए अंश के रूप में व्यक्त किया गया, दशमलव संख्या वे हैं जिनके भाजक 2 की घात और 5 की घात का एक उत्पाद है। इस प्रकार दशमलव संख्या के सबसे छोटे भाजक हैं

$1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots$

वास्तविक संख्या सन्निकटन

दशमलव अंक सभी वास्तविक संख्याओं के लिए एक त्रुटिहीन प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देते हैं, उदा. वास्तविक संख्या π के लिए। फिर भी, वे किसी भी वांछित शुद्धता के साथ हर वास्तविक संख्या को अनुमानित करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव 3.14159 वास्तविक π का अनुमान लगाता है, जो 10⁻⁵ से कम है; इसलिए दशमलव का व्यापक रूप से विज्ञान, अभियांत्रिकी और दैनिक जीवन में उपयोग किया जाता है।

अधिक त्रुटिहीन रूप से, हर वास्तविक संख्या x के लिए और हर धनात्मक पूर्णांक n, के लिए दो दशमलव L और u होते हैं जिनमें दशमलव चिह्न के बाद अधिक से n अंक होते हैं जैसे कि L ≤ x ≤ u और (u − L) = 10⁻ⁿ।

माप के परिणाम के रूप में संख्या बहुत बार प्राप्त की जाती है। जैसा कि माप एक ज्ञात ऊपरी सीमा के साथ माप अनिश्चितता के अधीन हैं, जैसे ही पूर्ण माप त्रुटि ऊपर से बंधी हुई है 10⁻ⁿ से ऊपर से घिरी होती है, माप का परिणाम दशमलव चिह्न के बाद n अंकों के साथ दशमलव द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया जाता है। व्यवहार में, माप के परिणाम अधिकांश दशमलव बिंदु के बाद एक निश्चित संख्या में अंकों के साथ दिए जाते हैं, जो त्रुटि सीमा का संकेत देते हैं। उदाहरण के लिए, चूंकि 0.080 और 0.08 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, दशमलव अंक 0.080 0.001 से कम त्रुटि के साथ एक माप का सुझाव देता है, जबकि अंक 0.08 0.01 से बंधी एक पूर्ण त्रुटि को निरुपित करता है। दोनों स्थितियों में, मापा मात्रा का सही मान, उदाहरण के लिए, 0.0803 या 0.0796 (महत्वपूर्ण आंकड़े भी देखें) हो सकता है।

अनंत दशमलव विस्तार

Main article: दशमलव प्रतिनिधित्व

एक वास्तविक संख्या x और एक पूर्णांक n ≥ 0 के लिए, मान लीजिए [x]_n सबसे बड़ी संख्या के (परिमित) दशमलव विस्तार को निरूपित करें जो कि x से अधिक नहीं है जिसमें दशमलव चिह्न के बाद बिल्कुल n अंक हैं। मना d_i के अंतिम अंक को [x]_i निरूपित करें। यह देखना सीधा है कि [x]_n को [x]_n−1 के दाईं d_n जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार एक है

[x]_n = [x]₀.d₁d₂...d_n−1d_n,

और [x]_n−1 और [x]_n का अंतर

$\left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}$,

जो या तो 0 है, यदि d_n = 0, या स्वैच्छिक रूप से छोटा हो जाता है क्योंकि n अनंत की ओर जाता है। एक सीमा (गणित) की परिभाषा के अनुसार, x [x]_n की सीमा है जब n अनंत की ओर जाता है। यह के रूप में लिखा है

$$