अनंत

For the symbol, see Infinity symbol. For other uses of "Infinity" and "Infinite", see अनंत (disambiguation).

Not to be confused with Infiniti (disambiguation).

निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब अनंत दर्पण के कारण, ऐसा लगता है कि उनके अंदर असीमित स्थान और पुनरावृत्ति है।

अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ा है। इसे अक्सर अनंत प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है $\infty$.

ग्रीक गणित के समय से ही इन्फिनिटी (दर्शनशास्त्र) दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रहा है। 17वीं शताब्दी में अनंत प्रतीक की शुरुआत के साथ और अतिसूक्ष्म कलन, गणितज्ञों ने अनंत श्रृंखला के साथ काम करना शुरू किया और क्या कुछ गणितज्ञों (गिलौमे डे ल'हॉपिटल सहित)असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना जाता है, लेकिन अनंत अनंत प्रक्रियाओं से जुड़ा रहा। जैसा कि गणितज्ञ कलन की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि अनंत को संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।19वीं शताब्दी के अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अनंत सेटों और ट्रांसफ़िनिट संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन का विस्तार किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की प्रमुखता) पूर्णांकों की संख्या से बड़ी होती है। इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य गणितीय वस्तु की तरह ही उपयोग किया जा सकता है।

अनंत की गणितीय अवधारणा पुरानी दार्शनिक अवधारणा को परिशोधित और विस्तारित करती है, विशेष रूप से अनंत सेटों के असीमित कई अलग-अलग आकारों को पेश करके। जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों में, जिस पर अधिकांश आधुनिक गणित विकसित किए जा सकते हैं, अनंत का स्वयंसिद्ध है, जो अनंत समुच्चयों के अस्तित्व की गारंटी देता है।अनंतता की गणितीय अवधारणा और अनंत समुच्चयों के हेरफेर का उपयोग गणित में हर जगह किया जाता है, यहां तक ​​​​कि साहचर्य जैसे क्षेत्रों में भी जिनका उनसे कोई लेना-देना नहीं है। उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण | फर्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड के अस्तित्व पर निर्भर करता है प्राथमिक अंकगणित के संदर्भ में दीर्घकालीन समस्या को हल करने के लिए।

भौतिकी और ब्रह्माण्ड विज्ञान में, ब्रह्मांड#आकार और क्षेत्र एक खुला प्रश्न है।

इतिहास

Further information: Infinity (philosophy)

प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। वैदिक काल और प्राचीन ग्रीस ने आधुनिक गणित की तरह सटीक औपचारिकता में अनंतता को परिभाषित नहीं किया, बल्कि एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंचे।

प्रारंभिक ग्रीक

ग्रीस में अनन्तता का सबसे पुराना अभिलिखित विचार Anaximander (सी. 610 – सी. 546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय दर्शन|पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने एपिरोन (ब्रह्मांड विज्ञान) शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है असीमित, अनिश्चित, और शायद इसका अनुवाद अनंत के रूप में किया जा सकता है। अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को वास्तविक अनंत से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता था। यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, हेलेनिस्टिक यूनानियों के पास अनंत का आतंक था जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों यूक्लिड (सी। 300 ईसा पूर्व) ने यह नहीं कहा कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, बल्कि अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्दिष्ट भीड़ से अधिक हैं। यह भी कायम रखा गया है, कि, अभाज्य संख्याओं की अनंतता को साबित करने में, यूक्लिड सबसे पहले अनंत की भयावहता को दूर करने वाला था। यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा से संबंधित एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता है:

If a straight line falling across two [other] straight lines makes internal angles on the same side [of itself whose sum is] less than two right angles, then the two [other] straight lines, being produced to infinity, meet on that side [of the original straight line] that the [sum of the internal angles] is less than two right angles.

हालांकि, अन्य अनुवादक अनुवाद को दो सीधी रेखाओं में पसंद करते हैं, यदि अनिश्चित काल तक उत्पादित किया जाता है ..., इस प्रकार इस निहितार्थ से बचना कि यूक्लिड अनंत की धारणा के साथ सहज था। अंत में, यह बनाए रखा गया है कि अनंत पर एक प्रतिबिंब, अनंत के आतंक को दूर करने से दूर, सभी प्रारंभिक ग्रीक दर्शन को रेखांकित करता है और अरस्तू की संभावित अनंतता इस अवधि की सामान्य प्रवृत्ति से एक विपथन है।

ज़ेनो: दुखती और कछुआ

Main article: Zeno's paradoxes § Achilles and the tortoise

एलिया का ज़ेनो (c. 495 – c. 430 ईसा पूर्व) ने अनंत से संबंधित किसी भी विचार को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उसके विरोधाभास, विशेष रूप से एच्लीस और कछुआ, इसमें महत्वपूर्ण योगदान थे कि उन्होंने लोकप्रिय धारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को बर्ट्रेंड रसेल द्वारा बेहद सूक्ष्म और गहन के रूप में वर्णित किया गया था। Achilles एक कछुआ दौड़ता है, बाद वाले को एक प्रमुख शुरुआत देता है।

• चरण #1: कछुआ के शुरुआती बिंदु पर अकिलिस दौड़ता है जबकि कछुआ आगे बढ़ता है।
• चरण #2: अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण #1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
• चरण #3: अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण #2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।
• चरण #4: अकिलिस आगे बढ़ता है जहां चरण #3 के अंत में कछुआ था, जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है।

वगैरह।

जाहिरा तौर पर, अकिलिस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने भी कदम पूरे कर लेता है, कछुआ उसके आगे रहता है।

ज़ेनो अनंतता के बारे में बात करने का प्रयास नहीं कर रहा था। एलीटिक्स स्कूल के एक सदस्य के रूप में, जो गति को एक भ्रम मानता था, उसने यह मान लेना एक गलती के रूप में देखा कि अकिलिस दौड़ सकता है। इसके बाद के विचारकों ने इस समाधान को अस्वीकार्य पाया, तर्क में अन्य कमजोरियों को खोजने के लिए दो सहस्राब्दियों तक संघर्ष किया।

अंत में, 1821 में, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने एक सीमा की एक संतोषजनक परिभाषा और एक प्रमाण प्रदान किया कि, के लिए 0 < x < 1,

$$a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.$$

मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की हेड स्टार्ट है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न के साथ फिट बैठती है a = 10 seconds और x = 0.01. Achilles कछुआ से आगे निकल जाता है; यह उसे लेता है

$$10+0.1+0.001+0.00001+\cdots ={\frac {10}{1-.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.$$

प्रारंभिक भारतीय

भारतीय गणित पाठ सूर्य प्रज्ञापति (सी। चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है: गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में विभाजित किया गया था:

• गणनीय: निम्नतम, मध्यवर्ती और उच्चतम
• असंख्य: लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य असंख्य
• अनंत: लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, असीम रूप से अनंत

17वीं शताब्दी

17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने एक व्यवस्थित तरीके से अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का उपयोग करना शुरू किया। 1655 में, जॉन वालिस ने पहली बार नोटेशन का इस्तेमाल किया था $\infty$ इन शंकु वर्गों में ऐसी संख्या के लिए, और क्षेत्र की गणना में इस क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यल्प स्ट्रिप्स में विभाजित करके इसका शोषण किया ${\tfrac {1}{\infty }}.$ लेकिन अरिथमेटिका इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। , जैसा कि 1, 6, 12, 18, 24, और सी में है। 1699 में, आइजैक न्यूटन ने अपने काम में असीमित संख्या वाले समीकरणों के बारे में लिखा था।

गणित

हरमन वेइल ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक पते को खोला:

Mathematics is the science of the infinite.

प्रतीक

Main article: Infinity symbol

अनंत का प्रतीक $\infty$ (कभी-कभी limniscate कहा जाता है) एक गणितीय प्रतीक है जो अनंत की अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीक यूनिकोड में एन्कोड किया गया है U+221E ∞ INFINITY (&infin;) और LaTeX में as \infty. इसे 1655 में जॉन वालिस द्वारा पेश किया गया था। और इसकी शुरूआत के बाद से, आधुनिक रहस्यवाद में इसका उपयोग गणित के बाहर भी किया गया है और साहित्यिक प्रतीकवाद।

कलन

Gottfried Wilhelm Leibniz, जो कि इनफिनिटिमल कैलकुलस के सह-अन्वेषकों में से एक थे, ने अनंत संख्याओं और गणित में उनके उपयोग के बारे में व्यापक रूप से अनुमान लगाया। लाइबनिज के लिए, दोनों अपरिमेय और अनंत मात्राएं आदर्श संस्थाएं थीं, प्रशंसनीय मात्राओं के समान प्रकृति की नहीं, लेकिन निरंतरता के कानून के अनुसार समान गुणों का आनंद ले रही थीं।

वास्तविक विश्लेषण

वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक $\infty$, जिसे अनंत कहा जाता है, का उपयोग किसी फ़ंक्शन की असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है। अंकन $x\rightarrow \infty$ मतलब कि$x$बिना किसी सीमा के बढ़ता है, और $x\to -\infty$ मतलब कि$x$बिना सीमा के घटता है। उदाहरण के लिए, अगर $f(t)\geq 0$ हर एक के लिए$t$, तब

• $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$ मतलब कि $f(t)$ से परिमित क्षेत्र को बाध्य नहीं करता है $a$ को $b.$
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$ का अर्थ है कि इसके अंतर्गत क्षेत्र $f(t)$ अनंत है।
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$ का अर्थ है कि कुल क्षेत्रफल $f(t)$ परिमित है, और के बराबर है $a.$

इन्फिनिटी का उपयोग अनंत श्रृंखला का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है:

• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$