संख्या

एक संख्या एक गणितीय वस्तु है जिसका उपयोग गिनती, माप और नाममात्र संख्या के लिए किया जाता है। मूल उदाहरण प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, इत्यादि हैं।^[1] संख्याओं को भाषा में संख्या शब्दों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। अधिक सार्वभौमिक रूप से, अलग-अलग संख्याओं को प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है; उदाहरण के लिए, 5 एक अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, मूल अंक आमतौर पर अंक प्रणाली में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने का एक संगठित तरीका है। सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू-अरबी अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व की अनुमति देती है, जिसे संख्यात्मक अंक कहा जाता है।^[2]^[3] गिनती और मापने में उनके उपयोग के अलावा, अंकों का उपयोग अक्सर लेबल के लिए (टेलीफोन नंबरों के साथ), ऑर्डर करने के लिए (क्रमिक संख्याों के साथ) और कोड के लिए (आईएसबीएन के साथ) किया जाता है। सामान्य उपयोग में, एक अंक उस संख्या से स्पष्ट रूप से अलग नहीं होता है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में, संख्या की धारणा को सदियों से विस्तारित किया गया है ताकि इसमें 0 (0),^[4] नकारात्मक संख्या,^[5] परिमेय संख्याएँ जैसे आधा $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ , वास्तविक संख्याएँ जैसे कि 2 का वर्गमूल $\left({\sqrt {2}}\right)$ और पाई| $π$ ,^[6] और जटिल संख्याएँ^[7] जो एक काल्पनिक इकाई के साथ वास्तविक संख्या का विस्तार करते हैं | का वर्गमूल $-1$ (और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाकर वास्तविक संख्याओं के साथ इसका संयोजन)।^[5]संख्याओं के साथ गणना अंकगणितीय संक्रियाओं के साथ की जाती है, जिनमें सबसे अधिक परिचित जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित) और घातांक हैं। उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, एक शब्द जो संख्या सिद्धांत को भी संदर्भित कर सकता है, संख्याओं के गुणों का अध्ययन।

उनके व्यावहारिक उपयोग के अलावा, दुनिया भर में संख्याओं का सांस्कृतिक महत्व है।^[8]^[9] उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, 13 (संख्या) को अक्सर अशुभ माना जाता है, और दस लाख एक सटीक मात्रा के बजाय बहुत अधिक संकेत कर सकते हैं।^[8]हालांकि इसे अब छद्म विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्याओं के एक रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंकशास्त्र के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्यकालीन विचारों में व्याप्त है।^[10] संख्या विज्ञान ने ग्रीक गणित के विकास पर भारी प्रभाव डाला, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को प्रेरित किया जो आज भी रुचिकर हैं।^[10]

19वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने कई अलग-अलग सार विकसित करना शुरू किया जो संख्याओं के कुछ गुणों को साझा करते हैं, और इसे अवधारणा के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। पहले में हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याएं थीं, जिनमें जटिल संख्या प्रणाली के विभिन्न एक्सटेंशन या संशोधन शामिल हैं। आधुनिक गणित में, संख्या प्रणालियों को रिंग (गणित) और क्षेत्र (गणित) जैसे अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं के महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण माना जाता है, और शब्द संख्या का प्रयोग मौलिक महत्व के बिना परंपरा का मामला है।^[11]

इतिहास

अंक

संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, जो कि संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीक हैं। मिस्रियों ने पहली सिफर अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने आयोनियन और डोरिक वर्णमाला पर अपनी गिनती संख्याओं का मानचित्रण किया।^[12] रोमन अंक, एक प्रणाली जो रोमन वर्णमाला के अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत तक श्रेष्ठ हिंदू-अरबी अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रभावी रही, और प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू-अरबी अंक प्रणाली सबसे आम प्रणाली बनी हुई है। आज दुनिया में नंबर।^[13]^{[better source needed]} प्रणाली की प्रभावशीलता की कुंजी शून्य का प्रतीक था, जिसे प्राचीन भारतीय गणित द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।^[13]

संख्याओं का प्रथम प्रयोग

हड्डियों और अन्य कलाकृतियों को उन पर काटे गए निशानों के साथ खोजा गया है जो कई लोगों का मानना है कि मिलान के निशान हैं।^[14] इन मिलान चिह्नों का उपयोग बीता हुआ समय, जैसे दिनों की संख्या, चंद्र चक्र या जानवरों की मात्रा का रिकॉर्ड रखने के लिए किया जा सकता है।

एक मिलान प्रणाली में स्थानीय मान की कोई अवधारणा नहीं है (जैसा कि आधुनिक दशमलव संकेतन में है), जो बड़ी संख्याओं के प्रतिनिधित्व को सीमित करता है। बहरहाल, मिलान प्रणाली को पहली तरह की अमूर्त अंक प्रणाली माना जाता है।

स्थानीय मान के साथ पहली ज्ञात प्रणाली माप की प्राचीन मेसोपोटामिया इकाई थी | मेसोपोटामिया आधार 60 प्रणाली (c. 3400ईसा पूर्व) और सबसे पुराना ज्ञात आधार 10 प्रणाली मिस्र में 3100 ईसा पूर्व की है।^[15]

शून्य

शून्य तारीखों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग 628 ईस्वी तक का है, और भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के मुख्य कार्य ब्रह्मस्फुतासिद्धान्त में प्रकट हुआ। उन्होंने 0 को एक संख्या के रूप में माना और शून्य से विभाजन सहित इसमें शामिल संचालन पर चर्चा की। इस समय (7वीं शताब्दी) तक यह अवधारणा स्पष्ट रूप से खमेर अंकों के रूप में कंबोडिया तक पहुंच गई थी, और प्रलेखन से पता चलता है कि यह विचार बाद में चीन और इस्लामी दुनिया में फैल गया।

File:Khmer Numerals - 605 from the Sambor inscriptions.jpg

खमेर अंकों में संख्या 605, 683 ईस्वी के एक शिलालेख से। दशमलव अंक के रूप में शून्य का प्रारंभिक उपयोग।

ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त पहला ग्रंथ है जिसमें शून्य का एक संख्या के रूप में उल्लेख किया गया है, इसलिए ब्रह्मगुप्त को आमतौर पर शून्य की अवधारणा तैयार करने वाला पहला माना जाता है। उन्होंने ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम दिए, जैसे कि शून्य जोड़ धनात्मक संख्या धनात्मक संख्या है, और ऋणात्मक संख्या जोड़ शून्य ऋणात्मक संख्या है। ब्रह्मस्फुटसिद्धांत शून्य को अपने आप में एक संख्या के रूप में मानने वाला सबसे पहला ज्ञात पाठ है, न कि किसी अन्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए बस एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के प्रतीक के रूप में टॉलेमी द्वारा किया गया था और रोमन।

संख्या के रूप में 0 के उपयोग को स्थान-मान प्रणालियों में प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए। कई प्राचीन ग्रंथों में 0 का प्रयोग किया गया है। बेबीलोनियन और मिस्र के ग्रंथों में इसका प्रयोग किया गया है। मिस्र के लोग डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली में शून्य शेष को दर्शाने के लिए nfr शब्द का उपयोग करते थे। भारतीय ग्रंथों में संस्कृत शब्द का प्रयोग हुआ है Shunye या shunya शून्य की अवधारणा को संदर्भित करने के लिए। गणित के ग्रंथों में यह शब्द अक्सर शून्य संख्या को संदर्भित करता है।^[16] इसी तरह, पाणिनि (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने अष्टाध्यायी में शून्य (शून्य) ऑपरेटर का इस्तेमाल किया, जो संस्कृत भाषा के औपचारिक व्याकरण का एक प्रारंभिक उदाहरण है (पिंगला भी देखें)।

ब्रह्मगुप्त से पहले शून्य के अन्य उपयोग हैं, हालांकि प्रलेखन उतना पूर्ण नहीं है जितना कि ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में है।

रिकॉर्ड बताते हैं कि प्राचीन ग्रीस एक संख्या के रूप में 0 की स्थिति के बारे में अनिश्चित लग रहा था: उन्होंने खुद से पूछा कि 'कुछ नहीं' कुछ कैसे हो सकता है? दिलचस्प दार्शनिक और, मध्ययुगीन काल तक, 0 और निर्वात की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क। एलिया के ज़ेनो के ज़ेनो विरोधाभास भाग में 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं। (प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया था कि क्या1 एक नंबर था।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय ऑल्मेक लोगों ने संभवतः नई दुनिया में शून्य के लिए एक प्रतीक, एक शेल ग्लिफ़ का उपयोग करना शुरू किया, संभवतः 4th century BC लेकिन निश्चित रूप से 40 ईसा पूर्व तक, जो माया अंकों और माया कैलेंडर का एक अभिन्न अंग बन गया। माया अंकगणित ने आधार 4 और आधार 5 को आधार 20 लिखा।^[17]^{[better source needed]} 130 ईस्वी तक, टॉलेमी, हिप्पार्कस और बेबीलोनियों से प्रभावित होकर, 0 के लिए एक प्रतीक का उपयोग कर रहा था (एक लंबा ओवरबार वाला एक छोटा वृत्त) एक साठवाँ अंक प्रणाली के भीतर अन्यथा अल्फ़ाबेटिक ग्रीक अंकों का उपयोग कर रहा था। क्योंकि यह केवल एक प्लेसहोल्डर के रूप में नहीं, बल्कि अकेले इस्तेमाल किया गया था, यह ग्रीक अंक # हेलेनिस्टिक शून्य पुरानी दुनिया में एक वास्तविक शून्य का पहला प्रलेखित उपयोग था। बाद के बीजान्टिन साम्राज्य की उनकी सिंटैक्सिस मैथेमेटिका (अल्मागेस्ट) की पांडुलिपियों में, हेलेनिस्टिक शून्य ग्रीक वर्णमाला ऑमिक्रॉन (अन्यथा अर्थ 70) में रूपांतरित हो गया था।

रोमन अंकों #Zero by 525 के साथ तालिकाओं में एक और वास्तविक शून्य का उपयोग किया गया था (डायोनिसियस द लेसर द्वारा पहला ज्ञात उपयोग), लेकिन एक शब्द के रूप में, nulla अर्थ कुछ भी नहीं, प्रतीक के रूप में नहीं। जब विभाजन ने शेष के रूप में 0 दिया, nihil, जिसका अर्थ कुछ भी नहीं है, का उपयोग किया गया था। ये मध्यकालीन शून्य भविष्य के सभी मध्यकालीन गणना (ईस्टर के कैलकुलेटर) द्वारा उपयोग किए गए थे। उनके प्रारंभिक, एन का एक पृथक उपयोग, रोमन अंकों की तालिका में बीड या एक सहयोगी के बारे में 725, एक वास्तविक शून्य प्रतीक द्वारा उपयोग किया गया था।

ऋणात्मक संख्याएँ

ऋणात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ई.पू. के रूप में मान्यता दी गई थी। गणितीय कला पर नौ अध्यायों में आंकड़ों के क्षेत्रों को खोजने के तरीके शामिल हैं; लाल छड़ों का उपयोग सकारात्मक गुणांकों को निरूपित करने के लिए किया गया था, नकारात्मक के लिए काला।^[18] एक पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ ग्रीस में तीसरी शताब्दी ईस्वी में था। डायोफैंटस के समतुल्य समीकरण को संदर्भित किया जाता है 4x + 20 = 0 (समाधान नकारात्मक है) अंकगणित में, यह कहते हुए कि समीकरण ने एक बेतुका परिणाम दिया।

600 के दशक के दौरान, भारत में ऋणों का प्रतिनिधित्व करने के लिए ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग किया जाता था। डायोफैंटस के पिछले संदर्भ पर भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने 628 में ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में अधिक स्पष्ट रूप से चर्चा की थी, जिन्होंने सामान्य रूप से द्विघात सूत्र का उत्पादन करने के लिए नकारात्मक संख्याओं का उपयोग किया था जो आज भी उपयोग में है। हालाँकि, भारत में 12वीं शताब्दी में, भास्कर II द्विघात समीकरणों के लिए नकारात्मक जड़ें देता है, लेकिन कहता है कि इस मामले में नकारात्मक मान नहीं लिया जाना चाहिए, क्योंकि यह अपर्याप्त है; लोग नकारात्मक जड़ों को स्वीकार नहीं करते हैं।

यूरोपीय गणितज्ञों ने, अधिकांश भाग के लिए, 17वीं शताब्दी तक ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणा का विरोध किया, हालांकि फिबोनैकी ने वित्तीय समस्याओं में नकारात्मक समाधानों की अनुमति दी, जहां उन्हें ऋण के रूप में व्याख्या की जा सकती थी (अबेकस की किताब, 1202 का अध्याय 13) और बाद में नुकसान के रूप में (में Flos). रेने डेसकार्टेस ने उन्हें झूठी जड़ें कहा क्योंकि वे बीजगणितीय बहुपदों में उग आए थे, फिर भी उन्हें सच्ची जड़ों और झूठी जड़ों को स्वैप करने का एक तरीका मिला। उसी समय, चीनी संबंधित धनात्मक संख्या के अंक के सबसे दाहिने गैर-शून्य अंक के माध्यम से एक विकर्ण स्ट्रोक खींचकर ऋणात्मक संख्याओं का संकेत दे रहे थे।^[19] एक यूरोपीय कृति में ऋणात्मक संख्याओं का पहला प्रयोग 15वीं शताब्दी के दौरान निकोलस चुक्वेट द्वारा किया गया था। उन्होंने उन्हें प्रतिपादक के रूप में इस्तेमाल किया, लेकिन उन्हें बेतुकी संख्या के रूप में संदर्भित किया।

हाल ही में 18वीं शताब्दी तक, समीकरणों द्वारा लौटाए गए किसी भी नकारात्मक परिणाम को इस धारणा पर अनदेखा करना आम बात थी कि वे अर्थहीन थे।

परिमेय संख्याएँ

यह संभावना है कि भिन्नात्मक संख्याओं की अवधारणा प्रागैतिहासिक काल की है। प्राचीन मिस्रवासियों ने गणितीय ग्रंथों जैसे रिहंद गणितीय पेपिरस और कहुँ पेपिरस में परिमेय संख्याओं के लिए अपने मिस्री अंश संकेतन का उपयोग किया। शास्त्रीय ग्रीक और भारतीय गणितज्ञों ने संख्या सिद्धांत के सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में तर्कसंगत संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया।^[20] इनमें से सबसे प्रसिद्ध यूक्लिड के तत्व हैं|यूक्लिड के तत्व, लगभग 300 ईसा पूर्व के हैं। भारतीय ग्रंथों में सबसे अधिक प्रासंगिक [[स्थिति सूत्र]] है, जिसमें गणित के सामान्य अध्ययन के भाग के रूप में संख्या सिद्धांत भी शामिल है।

दशमलव भिन्न की अवधारणा दशमलव स्थान-मान अंकन के साथ निकटता से जुड़ी हुई है; ऐसा लगता है कि दोनों मिलकर विकसित हुए हैं। उदाहरण के लिए, जैन गणित सूत्र में पाई या 2 के वर्गमूल के दशमलव-अंश सन्निकटन की गणना शामिल करना आम बात है।^{[citation needed]} इसी तरह, बेबीलोनियन गणित के ग्रंथों में बड़ी आवृत्ति के साथ सेक्सेजिमल (आधार 60) अंशों का उपयोग किया गया था।

अपरिमेय संख्याएँ

अपरिमेय संख्याओं का सबसे पहला ज्ञात उपयोग भारतीय गणित सुल्ब सूत्र में 800 और 500 ईसा पूर्व के बीच रचित था।^[21]^{[better source needed]} अपरिमेय संख्याओं का पहला अस्तित्व प्रमाण आमतौर पर पाइथागोरस को दिया जाता है, विशेष रूप से पाइथागोरसवाद हिप्पसस को, जिन्होंने 2 के वर्गमूल की तर्कहीनता का एक (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय) प्रमाण प्रस्तुत किया। कहानी यह है कि हिप्पसस ने अपरिमेय संख्याओं की खोज की जब कोशिश की 2 के वर्गमूल को भिन्न के रूप में निरूपित करें। हालाँकि, पाइथागोरस संख्याओं की निरपेक्षता में विश्वास करते थे, और अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सकते थे। वह तर्क के माध्यम से उनके अस्तित्व का खंडन नहीं कर सकता था, लेकिन वह तर्कहीन संख्या को स्वीकार नहीं कर सकता था, और इसलिए, कथित तौर पर और अक्सर रिपोर्ट किया गया, उसने हिपपासस को डूबने से मौत की सजा सुनाई, ताकि इस निराशाजनक समाचार को फैलाया जा सके।^[22]^{[better source needed]} 16वीं शताब्दी ने नकारात्मक संख्या अभिन्न और भिन्न (गणित) संख्याओं की अंतिम यूरोपीय स्वीकृति लाई। 17वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ आमतौर पर आधुनिक अंकन के साथ दशमलव अंशों का उपयोग करते थे। हालांकि, 19वीं शताब्दी तक गणितज्ञों ने अपरिमेय को बीजगणितीय और पारलौकिक भागों में अलग नहीं किया, और एक बार फिर अपरिमेय का वैज्ञानिक अध्ययन किया। यूक्लिड के बाद से यह लगभग सुप्त अवस्था में था। 1872 में, कार्ल वीयरस्ट्रास (उनके शिष्य ई. कोसाक द्वारा) के सिद्धांतों का प्रकाशन, एडवर्ड हेन,^[23] जॉर्ज कैंटर,^[24] और रिचर्ड डेडेकिंड^[25] लाया गया था। 1869 में, चार्ल्स मेरे ने हेइन के समान प्रस्थान बिंदु लिया था, लेकिन सिद्धांत को आम तौर पर वर्ष 1872 के रूप में संदर्भित किया जाता है। वेइरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से सल्वाटोर पिंचरले (1880) द्वारा निर्धारित की गई थी, और डेडेकाइंड कट लेखक के बाद के काम के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है। (1888) और पॉल टेनरी (1894) द्वारा समर्थन। वेइरस्ट्रास, कैंटर, और हाइन अपने सिद्धांतों को अनंत श्रृंखला पर आधारित करते हैं, जबकि डेडेकिंड ने अपने सिद्धांतों को वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में डेडेकिंड कट|कट (श्निट) के विचार पर पाया, जिसमें सभी परिमेय संख्याओं को दो विशिष्ट गुणों वाले दो समूहों में अलग किया जाता है। इस विषय को बाद में वीयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर के हाथों योगदान मिला है,^[26] और मेराय।

क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों की जड़ों की खोज एक महत्वपूर्ण विकास था, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (पाओलो रुफ़िनी (गणितज्ञ) 1799, नील्स हेनरिक एबेल 1824) ने दिखाया कि उन्हें एनवें रूट (केवल अंकगणितीय संचालन वाले सूत्र) द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। और जड़ें)। इसलिए बीजगणितीय संख्याओं के व्यापक सेट (बहुपद समीकरणों के सभी समाधान) पर विचार करना आवश्यक था। इवरिस्ट गैलोइस (1832) ने गैल्वा सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म देने वाले समूह सिद्धांत के लिए बहुपद समीकरणों को जोड़ा।

निरंतर भिन्न, अपरिमेय संख्याओं से निकटता से संबंधित (और कैटाल्डी, 1613 के कारण), ने यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया,^[27] और 19वीं सदी की शुरुआत में जोसेफ लुइस लाग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाए गए थे। अन्य उल्लेखनीय योगदान Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), और Günther (1872) द्वारा किए गए हैं। रेमस^[28] पहले विषय को निर्धारकों से जोड़ा, जिसके परिणामस्वरूप, हेइन के बाद के योगदानों के साथ,^[29] अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस, और गुंठर,^[30] के सिद्धांत में Kettenbruchdeterminanten.

ट्रान्सेंडैंटल संख्या और वास्तविक

पारलौकिक संख्याओं का अस्तित्व^[31] पहली बार जोसेफ लिउविल (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था। चार्ल्स हर्मिट ने 1873 में साबित किया कि ई ट्रान्सेंडैंटल है और फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने 1882 में साबित किया कि π ट्रांसेंडेंटल है। अंत में, कैंटर के पहले बेशुमार प्रमाण ने दिखाया कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है लेकिन सभी बीजीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है, इसलिए पारलौकिक संख्याओं की एक बेशुमार अनंत संख्या है।

अनंत और अनंत

गणितीय अनंत की सबसे पुरानी ज्ञात अवधारणा यजुर्वेद में दिखाई देती है, जो एक प्राचीन भारतीय लिपि है, जिसमें एक बिंदु पर कहा गया है, यदि आप अनंत से एक अंश हटा दें या अनंत में एक भाग जोड़ दें, तो भी जो शेष रह जाता है वह अनंत है। अनंतता जैन गणितज्ञों के बीच दार्शनिक अध्ययन का एक लोकप्रिय विषय था। 400 ईसा पूर्व। उन्होंने पाँच प्रकार की अनंतता के बीच भेद किया: एक और दो दिशाओं में अनंत, क्षेत्र में अनंत, हर जगह अनंत, और अनंत काल तक। प्रतीक ${\text{∞}}$ अक्सर एक अनंत मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

अरस्तू ने गणितीय अनंतता की पारंपरिक पश्चिमी धारणा को परिभाषित किया। उन्होंने वास्तविक अनंत और संभावित अनंत के बीच अंतर किया - आम सहमति यह थी कि केवल बाद वाले का ही सही मूल्य था। गैलिलियो गैलिली के दो नए विज्ञानों ने आक्षेप के विचार पर चर्चा की | अनंत सेटों के बीच एक-से-एक पत्राचार। लेकिन सिद्धांत में अगली प्रमुख प्रगति जॉर्ज कैंटर द्वारा की गई; 1895 में उन्होंने अपने नए समुच्चय सिद्धांत के बारे में एक पुस्तक प्रकाशित की, जिसमें अन्य बातों के साथ-साथ अनंत संख्या का परिचय दिया गया और सातत्य परिकल्पना तैयार की गई।

1960 के दशक में, अब्राहम रॉबिन्सन ने दिखाया कि कैसे असीम रूप से बड़ी अतिसूक्ष्म कलन संख्याओं को कठोर रूप से परिभाषित किया जा सकता है और गैर-मानक विश्लेषण के क्षेत्र को विकसित करने के लिए उपयोग किया जाता है। हाइपररियल नंबरों की प्रणाली अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं के बारे में विचारों का इलाज करने की एक कठोर विधि का प्रतिनिधित्व करती है जिसका उपयोग गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों द्वारा आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा बहुत छोता कैलकुलस के आविष्कार के बाद से किया गया था।

अनंत का एक आधुनिक ज्यामितीय संस्करण प्रक्षेपी ज्यामिति द्वारा दिया गया है, जो अनंत पर आदर्श बिंदुओं का परिचय देता है, प्रत्येक स्थानिक दिशा के लिए एक। किसी दिए गए दिशा में समांतर रेखाओं के प्रत्येक परिवार को संबंधित आदर्श बिंदु पर अभिसरण करने के लिए पोस्ट किया गया है। यह परिप्रेक्ष्य (ग्राफ़िकल) आरेखण में लुप्त बिंदुओं के विचार से निकटता से संबंधित है।

जटिल संख्या

ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल का सबसे पहला क्षणभंगुर संदर्भ गणितज्ञ और आविष्कारक अलेक्जेंड्रिया का बगुला के कार्य में पाया गया। 1st century AD, जब उन्होंने एक पिरामिड के एक असंभव छिन्नक के आयतन पर विचार किया। वे तब और अधिक प्रमुख हो गए जब 16वीं शताब्दी में निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और जेरोम कार्डानो जैसे इतालवी गणितज्ञों द्वारा तीसरी और चौथी डिग्री के बहुपदों की जड़ों के लिए बंद सूत्रों की खोज की गई। यह जल्द ही महसूस किया गया कि ये सूत्र, भले ही कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता हो, कभी-कभी ऋणात्मक स�

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