गेज फिक्सिंग

गेज सिद्धांत भौतिकी में, गेज फिक्सिंग क्षेत्र चर में स्वतंत्रता की अनावश्यक डिग्री से तुलना करने के लिए गणितीय प्रक्रिया को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार,गेज सिद्धांत प्रणाली के प्रत्येक भौतिक रूप से विशिष्ट संरूपण को विस्तृत स्थानीय क्षेत्र संरूपण के समतुल्य वर्ग के रूप में दर्शाता है। एक ही तुल्यता वर्ग में कोई भी दो विस्तृत विन्यास गेज परिवर्तन से संबंधित हैं और विन्यास स्थान में अभौतिक अक्षांसो के साथ समरूपता परिवर्तन के बराबर है। गेज सिद्धांत की अधिकांश मात्रात्मक भौतिक अनुमानों को केवल स्वतंत्रता की इन अभौतिक श्रेणी को दबाने या अनदेखा करने के लिए एक सुसंगत उपाय के अंतर्गत प्राप्त किया जा सकता है।

यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक अक्षांश भौतिक प्रारूप की मौलिक संपत्ति हैं, इनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष समुच्चय नहीं है। इसलिए एक विशेष विस्तृत विन्यास द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले अनुप्रस्थ काट के भारी मात्रा में स्वतंत्रता सम्मिलित है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग, गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक प्रारूप अधिक यथार्थवादी हो जाता है; क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए इसका अनुप्रयोग पुनर्सामान्यीकरण से संबंधित जटिलताओं से भरा होता है, विशेषतः जब गणना उच्च क्रम में जारी रहती है। ऐतिहासिक रूप से, तार्किक सुसंगत और अभिकलनीयतः ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर धारा तक गणितीय भौतिकी का एक प्रमुख चालक रहा है।

गेज स्वतंत्रता

पुरातन गेज सिद्धांत विद्युत चुम्बकीय चर-क्षमता के संदर्भ में हेविसाइड-गिब्स की निरंतर विद्युत् गतिविज्ञान का सूत्रीकरण है, जिसे यहां अंतरिक्ष और समय के असममित हीविसाइड संख्या में प्रस्तुत किया गया है; अंतरिक्ष मैक्सवेल के समीकरणों के विद्युतीय क्षेत्र ई और चुंबकीय क्षेत्र बी में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री के आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। इन क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता p और चुंबकीय सदिश क्षमता A के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है।

$${\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.$$

यदि परिवर्तन

$$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$$

(1)

बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि पहचान के साथ $\nabla \times \nabla \psi =0$

$${\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.$$

यद्यपि, यह परिवर्तन E के अनुसार बदलता है

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}.$$

यदि कोई अन्य परिवर्तन

$$\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}$$

(2)

बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य होता है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं ψ(r, t) और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और φ को रूपांतरित करता है।

स्केलर और वेक्टर क्षमता का विशेष विकल्प, गेज क्षमता है और इसे परिवर्तित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अदिश फलन ψ को गेज फलन कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व ψ(r, t) सिद्धांत यू 1 गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।

यद्यपि पारम्परिक विद्युत चुंबकत्व को अब प्रायः गेज सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। पारम्परिक बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ प्रमाणों और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई पारम्परिक समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद कुंडली के चारों ओर A के रेखा पूर्णांक पर निर्भर करता है, और यह पूर्णांक इसके द्वारा नहीं बदला जाता है

$$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.$$

गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता, अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता फैडडीव-पोपोव छाया और फ्रेम बंडल देखें।

एक उदाहरण

गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, बेलनाकार छड़ को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। यद्यपि, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता रेखा गेज फलन के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है, संक्षेप में, गेज ज्ञात होना चाहिए यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, भौतिक मात्राएँ, जैसे कि अपरूपण ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे अचर गेज हैं।

कूलम्ब गेज

कूलम्ब गेज जिसे अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसका उपयोग क्वांटम रसायन विज्ञान और संघनित पदार्थ भौतिकी में किया जाता है और इसे गेज स्थिति द्वारा परिभाषित किया जाता है।

$$\nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.$$

यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें सदिश क्षमता परिमाणीकरण है, लेकिन कूलम्ब सहभागिता नहीं है।

कूलम्ब गेज में कई गुण हैं:

1. इसे संभावनाओं के क्षेत्रों और घनत्व के तात्कालिक मूल्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है
   $$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t)}{R}}d^{3}\mathbf {r} '$$
   $$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}d^{3}\mathbf {r} '$$
   जहाँ ρ(r, t) विद्युत आवेश घनत्व है, (जहाँ r अंतरिक्ष में कोई स्थिति वेक्टर है और r′ आवेश या वर्तमान वितरण में एक बिंदु है), $\nabla$ r और d³ r मात्रा तत्व r पर संचालित होता है।

   इन संभावनाओं की तात्कालिक प्रकृति, पहली दृष्टि में, कारण-कार्य का उल्लंघन करने के लिए प्रकट होती है, क्योंकि विद्युत आवेश या चुंबकीय क्षेत्र की गति सभी स्थानों पर संभावित परिवर्तन के रूप में तुरंत दिखाई देती है। यह ध्यान देने योग्य है कि अदिश और सदिश क्षमताएं स्वयं आवेशों की गति को प्रभावित नहीं करती हैं, केवल उनके व्युत्पत्ति के संयोजन को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की शक्ति बनाती हैं। यद्यपि कूलम्ब गेज में स्पष्ट रूप से क्षेत्र की s की गणना कर सकता है और प्रदर्शित कर सकता है कि उनमें परिवर्तन प्रकाश की गति से फैलता है, यह निरीक्षण करना बहुत आसान है कि क्षेत्र की ताकत गेज परिवर्तनों के अंतर्गत शक्ति परिवर्तित होती है और स्पष्ट रूप से लोरेंत्ज़ सहसंयोजक लॉरेंज में कार्य-कारण का प्रदर्शन करती है। गेज नीचे वर्णित है।

   सदिश क्षमता के लिए एक और अभिव्यक्ति, समय-मंद विद्युत प्रवाह घनत्व के संदर्भ में J(r, t), को प्राप्त किया गया है।

   $$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\int <!--\; \int \; -->[{\int <!--\; \int \; -->}_0^{}$$