ठोस कोण

Not to be confused with गोलाकार कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए.

Solid angle
सामान्य प्रतीक	Ω
Si   इकाई	steradian
अन्य इकाइयां	Square degree
SI आधार इकाइयाँ में	m2/m2
संरक्षित?	No
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां	$\Omega =A/r^{2}$
आयाम

ज्यामिति में, ठोस कोण (प्रतीक: Ω)किसी विशेष बिंदु से दृष्टि क्षेत्र की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए वस्तु को कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को वस्तु कितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से वस्तु को देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि वस्तु उस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।

अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे स्टेरेडियन (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर इकाई क्षेत्र पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए वस्तु जो शीर्ष से सभी अर्धरखा को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र $4\pi$ के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।

पास की छोटी वस्तु दूर की बड़ी वस्तु के समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है।

परिभाषा और गुण

See also: गोलाकार बहुभुज क्षेत्र

स्टेरेडियन में वस्तु का ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि वस्तु को कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी वस्तु द्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है

$$\Omega ={\frac {A}{r^{2}}},$$

जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।

ठोस कोण अक्सर खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से खगोल भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। किसी वस्तु का ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ वस्तु का वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।

File:Solid Angle, 1 Steradian.svg

एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।

एक गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या 2π/3 sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = (180/π)² वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = 1/4π आंशिक क्षेत्र), जिसे स्पैट (इकाई) (1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है।

गोलीय निर्देशांक में अवकल के लिए एक सूत्र है,

$$d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,$$

कहां θ अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और φ देशांतर है।

एक यादृच्छिक उन्मुख सतह S के लिए एक बिंदु P पर अंतरित ठोस कोण सतह S के केंद्र P, के साथ इकाई क्षेत्र के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर है, जिसकी गणना सतह अभिन्न के रूप में की जा सकती है:

$$\Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,$$

जहां ${\hat {r}}={\vec {r}}/r$ के अनुरूप इकाई सदिश है ${\vec {r}}$, बिंदु P के संबंध में सतह dS के अतिसूक्ष्म क्षेत्र की स्थिति सदिश और जहाँ ${\hat {n}}$, dS को इकाई सामान्य सदिश का प्रतिनिधित्व करता है। यहां तक ​​कि अगर इकाई क्षेत्र पर सतह S पर प्रक्षेपण समरूपी नहीं है, तो स्केलर उत्पाद ${\hat {r}}\cdot {\hat {n}}$ है।

इस प्रकार कोई भीछोटे से पहलू द्वारा अंतरित ठोस कोण का अनुमान लगा सकता है जिसमें सपाट सतह क्षेत्र dS, अभिविन्यास ${\hat {n}}$, दर्शक से r दूरी इस प्रकार है:

$$d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),$$

जहां गोले का सतह क्षेत्र A = 4πr² है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

• चमकदार तीव्रता और चमक को परिभाषित करना, और संबंधित रेडियोमेट्रिक मात्राएं चमकदार तीव्रता और चमक
• गोलाकार त्रिभुज के गोलाकार अतिरिक्त E की गणना करना
• सीमा तत्व विधि (बीईएम) का उपयोग करके क्षमता की गणना
• धातु परिसरों में लिगेंड के आकार का मूल्यांकन, लिगैंड शंकु कोण देखें
• चार्ज वितरण के आसपास विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत की गणना करना
• गॉस के नियम की व्युत्पत्ति
• गर्मी हस्तांतरण में उत्सर्जक शक्ति और विकिरण की गणना
• रदरफोर्ड बिखराव में क्रॉस सेक्शन की गणना करना
• रमन बिखरना में क्रॉस सेक्शन की गणना करना
• प्रकाशित तंतु के स्वीकृति शंकु का ठोस कोण

सामान्य वस्तुओं के लिए ठोस कोण

शंकु, गोलाकार टोपी, गोलार्ध

File:Steradian cone and cap.svg

एक गोले के अंदर शंकु (1) और गोलाकार टोपी (2) का खंड। इस आंकड़े में θ = A/2 और r = 1.

ठोस कोण के शीर्ष पर एक शंकु (ज्यामिति) का ठोस कोण, और शीर्ष (ज्यामिति) कोण 2θ के साथ, एक इकाई गोले पर एक गोलाकार टोपी का क्षेत्रफल है

$$\Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.$$

छोटेθ के लिए जैसे किcos θ ≈ 1 − θ²/2 यह πθ²,एक वृत्त का क्षेत्रफल कम हो जाता है।

उपरोक्त गोलाकार निर्देशांक में इकाई सतह तत्व का उपयोग करके निम्नलिखित दोहरा अभिन्न की गणना करके पाया जाता है:

$$\begin{array}{rl}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }d\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}& ={\int <!--\; \int \; -->}_0^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}d\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }\\ & =2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }\end{array}$$