स्पिन (भौतिकी)

यह लेख क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन के बारे में है। उत्कृष्ट यांत्रिकी में घूर्णन के लिए, कोणीय संवेग देखें।

स्पिन (प्रचक्रण) संरक्षित मात्रा है जो प्राथमिक कणों द्वारा और इस प्रकार मिश्रित कणों (हैड्रॉन्स) और परमाणु नाभिकों द्वारा वहन की जाती है।

क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन दो प्रकार के कोणीय संवेग में से एक है, दूसरा कक्षीय कोणीय संवेग है। कक्षीय कोणीय संवेग संचालिका कक्षीय क्रांति के उत्कृष्ट कोणीय संवेग के लिए क्वांटम-यांत्रिकी समकक्ष है और तब प्रकट होता है जब कोण के रूप में इसकी तरंग के लिए आवधिक संरचना होती है। फोटॉनों के लिए, स्पिन प्रकाश के ध्रुवीकरण का क्वांटम-यांत्रिकी समकक्ष है; इलेक्ट्रॉनों के लिए, स्पिन का कोई उत्कृष्ट समकक्ष नहीं है।।

इलेक्ट्रॉन स्पिन कोणीय संवेग का विद्यमान प्रयोगों से अनुमानित है, जैसे कि स्टर्न-गेरलाच प्रयोग, जिसमें चांदी के परमाणुओं को कक्षीय कोणीय संवेग न होने के उपेक्षा दो संभावित असतत कोणीय संवेग रखने के लिए देखा गया था। स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय और पाउली अपवर्जन सिद्धांत से सैद्धांतिक रूप से इलेक्ट्रॉन स्पिन के विद्यमान होने का अनुमान लगाया जा सकता है- और इसके विपरीत, इलेक्ट्रॉन के विशेष स्पिन को देखते हुए, पाउली अपवर्जन सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है।

स्पिन को गणितीय रूप से फोटॉन जैसे कुछ कणों के लिए सदिश के रूप में और इलेक्ट्रॉनों जैसे अन्य कणों के लिए स्पिनर और बिस्पिनर के रूप में वर्णित किया गया है। स्पिनर और बिस्पिनर यूक्लिडियन सदिश के समान व्यवहार करते हैं: उनके पास निश्चित परिमाण होते हैं और घूर्णन के अंतर्गत परिवर्तन होते हैं;हालाँकि, वे एक अपरंपरागत "दिशा" का उपयोग करते हैं। किसी दिए गए प्रकार के सभी प्राथमिक कणों में स्पिन कोणीय संवेग का समान परिमाण होता है, हालांकि इसकी दिशा परिवर्तित हो सकती है। ये कण को ​​​​ स्पिन क्वांटम संख्या निर्दिष्ट करके इंगित किया जाता है।

स्पिन की इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली उत्कृष्ट कोणीय संवेग के समान है (अर्थात, न्यूटन (इकाई) मीटर सेकंड, जूल सेकंड, या किलोग्राम मीटर2/सेकंड−1)। व्यवहार में, स्पिन को कम प्लैंक स्थिरांक ħ द्वारा स्पिन कोणीय संवेग को विभाजित करके एक आयामहीन स्पिन क्वांटम संख्या के रूप में दिया जाता है , जिसका कोणीय संवेग के समान आयामी विश्लेषण है, हालांकि यह इस मान की पूर्ण गणना नहीं है। अधिक बार, ''स्पिन क्वांटम संख्या'' को केवल ''स्पिन कहा'' जाता है। यह तथ्य निहित है कि यह एक क्वांटम संख्या है।

इतिहास

1924 में वोल्फगैंग पाउली दो-मूल्यवान वाले गैर-उत्कृष्ट ''अप्रत्यक्ष घूर्णन'' के कारण उपलब्ध इलेक्ट्रॉन अवस्थाओ की संख्या को दोगुना करने का प्रस्ताव देने वाले पहले व्यक्ति थे। 1925 में, लीडेन विश्वविद्यालय में जॉर्ज उहलेनबेक और शमूएल गौडस्मिट नील्स बोह्र और अर्नोल्ड सोमरफेल्ड के पुराने क्वांटम सिद्धांत की विचारधारा में, अपनी धुरी के चारों ओर स्पिन करते हुए एक कण की सरल भौतिक व्याख्या का सुझाव दिया।। राल्फ क्रोनिग ने कई महीने पहले कोपेनहेगन में हेनरी क्रेमर्स के साथ चर्चा में उहलेनबेक-गॉडस्मिट मॉडल का अनुमान लगाया था, लेकिन प्रकाशित नहीं किया। 1927 में पाउली द्वारा गणितीय सिद्धांत पर गहनता से काम किया गया था। जब पॉल डिराक ने 1928 में अपने सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी को व्युत्पन्न किया, तो इलेक्ट्रॉन स्पिन इसका एक अनिवार्य भाग था।

क्वांटम संख्या

Main article: Spin quantum number

जैसा कि नाम से पता चलता है, स्पिन की कल्पना मूल रूप से किसी धुरी के चारों ओर एक कण के स्पिन के रूप में की गई थी। जबकि यह सवाल कि क्या प्राथमिक कण वास्तव में स्पिन करते हैं, अस्पष्ट है (जैसा कि वे बिंदु की तरह दिखाई देते हैं), यह तस्वीर सही है क्योंकि स्पिन उन्हीं गणितीय नियमों का क्रियान्वयन करता है जैसे कोणीय संवेग परिमाणीकरण कोणीय संवेग करते हैं; विशेष रूप से, स्पिन का अर्थ है कि कण का प्रावस्था कोण के साथ परिवर्तित होता है। दूसरी ओर, स्पिन में कुछ विलक्षण गुण होते हैं जो इसे कक्षीय कोणीय संवेग से अलग करते हैं:

• स्पिन क्वांटम संख्याएँ अर्ध-पूर्णांक मान ले सकती हैं।
• हालांकि इसके स्पिन की दिशा परिवर्तित की जा सकती है, एक प्राथमिक कण को ​​तीव्र या मंद गति से स्पिन के लिए नहीं बनाया जा सकता है।
• आवेशित कण का स्पिन एक चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण से जुड़ा होता है जिसका g-कारक 1 से भिन्न होता है। यह उत्कृष्ट रूप से तभी हो सकता है जब कण के आंतरिक आवेश को उसके द्रव्यमान से भिन्न रूप से वितरित किया गया हो।

स्पिन क्वांटम संख्या की पारंपरिक परिभाषा है s = n/2, जहां पर n कोई भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है। इसलिए s के अनुमत मान 0, स्पिन- 0,1/2, 1, 3/2 आदि है। s का मान एक प्राथमिक कण के लिए केवल कण के प्रकार पर निर्भर करता है और इसे किसी भी ज्ञात तरीके से नहीं परिवर्तित किया जा सकता है (नीचे वर्णित स्पिन दिशा के विपरीत)। किसी भी भौतिक तंत्र का प्रचक्रण कोणीय संवेग S परिमाणित होता है। S के अनुमत मान हैं

$$S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},$$

जहां पर h प्लैंक स्थिरांक है, और ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है। इसके विपरीत, कोणीय संवेग संचालिका केवल पूर्णांक मानों s को ही ले सकता है ; अर्थात, सम-संख्या वाले मान n.

फर्मियन और बोसॉन

अर्ध-पूर्णांक स्पिन वाले वे कण, जैसे 1/2, 3/2, 5/2, को फर्मियन के रूप में जाना जाता है, जबकि पूर्णांक स्पिन वाले कण, जैसे 0, 1, 2, बोसोन के रूप में जाने जाते हैं। कणों के दो वर्ग अलग-अलग नियमों का क्रियान्वयन करते हैं और बड़े पैमाने पर हमारे आसपास की दुनिया में अलग-अलग भूमिकाएँ होती हैं। दो वर्गों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि फ़र्मियन पाउली अपवर्जन सिद्धांत का क्रियान्वयन करते हैं: अर्थात्, एक ही क्वांटम संख्या (अर्थात्, बड़े पैमाने पर, समान स्थिति, वेग और स्पिन दिशा वाले) वाले दो समान फ़र्मियन एक साथ नहीं हो सकते। फ़र्मियन फ़र्मी-डिराक सांख्यिकी के नियमों का क्रियान्वयन करते हैं। इसके विपरीत, बोसोन बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी के नियमों का क्रियान्वयन करते हैं और उन पर ऐसा कोई प्रतिबंध नहीं है, इसलिए वे समान अवस्थाओं में ''एक साथ समूह'' बना सकते हैं। साथ ही, मिश्रित कणों में स्पिन उनके घटक कणों से भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, मूल अवस्था में एक हीलियम -4 परमाणु में स्पिन 0 होता है और यह बोसोन की तरह व्यवहार करता है, यद्यपि इसे बनाने वाले क्वार्क और इलेक्ट्रॉनों सभी फ़र्मियन हैं।

इसके कुछ गम्भीर परिणाम होते हैं:

• क्वार्क और लेप्टॉन (इलेक्ट्रॉन और न्युट्रीनो सहित), जो उत्कृष्ट रूप से पदार्थ के रूप में जाना जाता है, सभी स्पिन- 1/2 के साथ फ़र्मियन हैं। सामान्य विचार है कि "पदार्थ स्थान लेता है" वास्तव में पाउली अपवर्जन सिद्धांत से आता है जो इन कणों पर एक ही क्वांटम स्थिति में होने से रोकने के लिए इन कणों पर कार्य करता है। आगे के संघनन के लिए इलेक्ट्रॉनों को समान ऊर्जा अवस्थाओं पर अधिग्रहित करने की आवश्यकता होगी, और इसलिए एक प्रकार का दबाव (कभी-कभी इलेक्ट्रॉनों के अध: पतन दबाव के रूप में जाना जाता है) फर्मों को अत्यधिक करीब होने का विरोध करने के लिए कार्य करता है। अन्य स्पिन के साथ प्रारंभिक फर्मन (3/2, 5/2, आदि) सम्मिलित नहीं हैं।
• प्राथमिक कण जिन्हें बल वाहक माना जाता है, वे सभी स्पिन 1 वाले बोसोन हैं। इनमें फोटॉन सम्मिलित है, जो विद्युत चुम्बकीय बल , ग्लूऑन (मजबूत बल ), और डब्ल्यू और जेड बोसॉन (कमजोर बल ) को वहन करता है। बोसोन की एक ही क्वांटम स्थिति पर अधिग्रहित करने की क्षमता का उपयोग लेज़र में किया जाता है, जो एक ही क्वांटम संख्या (समान दिशा और आवृत्ति) वाले कई फोटॉन को संरेखित करता है, हीलियम -4 परमाणुओं से उत्पन्न सुपरफ्लुइड (अतितरल) द्रव हीलियम बोसोन और अतिचालकता है, जहां इलेक्ट्रॉनों के युग्म (जो व्यक्तिगत रूप से फ़र्मियन हैं) एकल मिश्रित बोसोन के रूप में कार्य करते हैं। अन्य प्रचक्रणों (0, 2, 3, आदि) के साथ प्रारंभिक बोसोन ऐतिहासिक रूप से विद्यमान नहीं थे, हालांकि उन्हें काफी सैद्धांतिक समाधान प्राप्त हुआ है और वे अपने संबंधित मुख्यधारा के सिद्धांतों के अंदर अच्छी तरह से स्थापित हैं। विशेष रूप से, सिद्धांतकारों ने स्पिन 2 के साथ गुरुत्वाकर्षण (कुछ क्वांटम गुरुत्व सिद्धांतों द्वारा विद्यमान होने की भविष्यवाणी की है) और स्पिन 0 के साथ हिग्स बॉसन ( विद्युत्-दुर्बल समरूपता को विभंजन की व्याख्या) का प्रस्ताव दिया है। 2013 से, स्पिन 0 के साथ सम्मिलित हिग्स बोसोन को सिद्ध माना गया है। यह प्रकृति में सम्मिलित पहला अदिश प्राथमिक कण (स्पिन 0) है।
• परमाणु नाभिक में परमाणु स्पिन होता है जो या तो अर्ध-पूर्णांक या पूर्णांक हो सकता है, जिससे कि नाभिक या तो फ़र्मियन या बोसोन हो सकते हैं।

स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय

Main article: स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय

स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय कणों को दो समूहों में विभाजित करता है: बोसोन और फ़र्मियन , जहां बोसॉन बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का क्रियान्वयन करते हैं, और फ़र्मियन फ़र्मी-डिराक सांख्यिकी (और इसलिए पाउली अपवर्जन सिद्धांत) का क्रियान्वयन करते हैं। विशेष रूप से, सिद्धांत कहता है कि एक पूर्णांक स्पिन वाले कण बोसॉन हैं, जबकि अन्य सभी कणों में अर्ध-पूर्णांक स्पिन है और वे फ़र्मियन हैं। एक उदाहरण के रूप में, इलेक्ट्रॉनो में अर्ध-पूर्णांक स्पिन होता है और वे फ़र्मियन होते हैं जो पाउली अपवर्जन सिद्धांत का क्रियान्वयन करते हैं, जबकि फोटॉन में पूर्णांक स्पिन होता है और नहीं होता है। प्रमेय क्वांटम यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत दोनों पर निर्भर करता है, और स्पिन और सांख्यिकी के बीच इस संबंध को "विशेष सापेक्षता सिद्धांत के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक" कहा जाता है।

उत्कृष्ट घूर्णन से संबंध

चूँकि प्राथमिक कण बिंदु-समान होते हैं, स्व-घूर्णन उनके लिए अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। हालाँकि, हालांकि, स्पिन का तात्पर्य है कि स्पिन एस के समानांतर धुरी के चारों ओर कोण θ के घूर्णन के लिए कण की प्रावस्था $e^{iS\theta }$ के रूप में कोण पर निर्भर करता है। यह स्थिति में प्रावस्था निर्भरता के रूप में संवेग की क्वांटम-यांत्रिकी व्याख्या के समान है, और और कोणीय स्थिति में प्रावस्था निर्भरता के रूप में कक्षीय कोणीय संवेग के समान है।

फोटॉन स्पिन प्रकाश ध्रुवीकरण (तरंगों) का क्वांटम-यांत्रिकी विवरण है,जहां स्पिन +1 और स्पिन -1 परिपत्र ध्रुवीकरण के दो विपरीत दिशाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार, परिभाषित परिपत्र ध्रुवीकरण के प्रकाश में एक ही स्पिन वाले फोटॉन , या तो सभी +1 या सभी -1 होते हैं। स्पिन अन्य सदिश बोसोन के लिए भी ध्रुवीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

फर्मियंस के लिए, चित्र कम स्पष्ट है। कोणीय वेग एरेनफेस्ट प्रमेय द्वारा हैमिल्टनियन के व्युत्पन्न के बराबर संयुग्म गति के बराबर है, जो कुल कोणीय संवेग संचालिका J = L + S है। इसलिए, यदि हैमिल्टन एच स्पिन एस पर निर्भर है, डीएच/डीएस गैर-शून्य है, और स्पिन कोणीय वेग का कारण बनता है, और इसलिए वास्तविक घूर्णन, अर्थात समय के साथ प्रावस्था-कोण संबंध में परिवर्तन होता है। हालांकि, क्या यह मुक्त इलेक्ट्रॉन के लिए धारण करता है अस्पष्ट है, क्योंकि एक इलेक्ट्रॉन के लिए, एस² स्थिर है, और इसलिए यह व्याख्या का विषय है कि मिल्टनियन में ऐसा शब्द सम्मिलित है या नहीं है। तथापि, डायराक समीकरण में स्पिन प्रकट होता है, और इस प्रकार इलेक्ट्रॉन के सापेक्षवादी हैमिल्टनियन, जिसे डायराक क्षेत्र के रूप में माना जाता है, एस को स्पिन में निर्भरता के रूप में व्याख्या की जा सकती है। इस व्याख्या के अंतर्गत, मुक्त इलेक्ट्रॉन भी स्व-घूर्णन करते हैं, ज़िटरबेवेगंग प्रभाव के साथ इस घूर्णन के रूप में समझा जाता है।

चुंबकीय आघूर्ण

Main article: स्पिन चुंबकीय आघूर्ण

ब्लैक एरो के रूप में न्यूट्रॉन के स्पिन को दर्शाने वाला योजनाबद्ध आरेख और न्यूट्रॉन चुंबकीय आघूर्ण से जुड़ी चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ। न्यूट्रॉन का एक नकारात्मक चुंबकीय आघूर्ण होता है। जबकि इस आरेख में न्यूट्रॉन का स्पिन ऊपर की ओर है, द्विध्रुव के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ नीचे की ओर हैं।

स्पिन वाले कणों में चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण, उत्कृष्ट विद्युतगतिकी में एक घूर्णन विद्युत आवेशित पिंड की तरह हो सकता है। इन चुंबकीय आघूर्णो को प्रयोगात्मक रूप से कई तरीकों से देखा जा सकता है, उदा- स्टर्न-गेरलाच प्रयोग में अमानवीय चुंबकीय क्षेत्रो द्वारा कणों के विक्षेपण द्वारा, या स्वयं कणों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों को मापकर देखा जा सकता है।

स्पिन आंतरिक चुंबकीय आघूर्ण μ-1/2आवेश q, द्रव्यमान m, और स्पिन कोणीय संवेग S, वाला कण है

${\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{s}q}{2m}}\mathbf {S} ,$

जहां आयाम रहित मात्रा g_s इसे स्पिन g-कारक कहा जाता है। विशेष रूप से कक्षीय घुमावों के लिए यह 1 होगा (यह मानते हुए कि द्रव्यमान और आवेश समान त्रिज्या के क्षेत्रों पर अधिग्रहित करते हैं)।

इलेक्ट्रॉन, एक आवेशित प्राथमिक कण होने के कारण, एक इलेक्ट्रॉन चुंबकीय आघूर्ण रखता है। क्वांटम विद्युतगतिकी के सिद्धांत की अभिभूत में से एक इलेक्ट्रॉन g-कारक की शुद्ध पूर्वानुमानित है, जिसे प्रयोगात्मक रूप से मूल्य -2.002 319 304 362 56(35) के रूप में निर्धारित किया गया है, कोष्ठक में अंक एक मानक विचलन पर अंतिम दो अंकों में माप अनिश्चितता को दर्शाते है। 2 का मान डायराक समीकरण से उत्पन्न होता है, एक मौलिक समीकरण जो इलेक्ट्रॉन के स्पिन को उसके विद्युत चुम्बकीय गुणों से जोड़ता है, और इसका सुधार 0.002319304... अपने स्वयं के क्षेत्र सहित आसपास के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ इलेक्ट्रॉन की परस्पर क्रिया से उत्पन्न होता है।

मिश्रित कणों में भी उनके स्पिन से जुड़े चुंबकीय आघूर्ण होते हैं। विशेष रूप से, विद्युत्-उदासीन होने के उपेक्षा न्यूट्रॉन में गैर-शून्य चुंबकीय आघूर्ण होता है। यह तथ्य एक प्रारंभिक संकेत था कि न्यूट्रॉन प्राथमिक कण नहीं है। वास्तव में, यह क्वार्क से बना है, जो विद्युत आवेशित कण हैं। न्यूट्रॉन चुंबकीय आघूर्ण व्यक्तिगत क्वार्कों और उनके कक्षीय गतियों के स्पिन से आता है।

न्युट्रीनो प्राथमिक और विद्युत्-उदासीन दोनों हैं। उन्होंने गैर-शून्य न्यूट्रिनो द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए न्यूनतम रूप से मानक मॉडल का विस्तार किया, जो न्यूट्रिनो चुंबकीय आघूर्णो की भविष्यवाणी करता है:

$\mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }}{\text{eV}}},$

जहां μ_ν न्यूट्रिनो चुंबकीय आघूर्ण हैं, m_ν न्यूट्रिनो द्रव्यमान हैं, और μ_B बोहर मैग्नेटॉन है। हालांकि, विद्युत्-दुर्बल पैमाने के ऊपर नई भौतिकी, महत्वपूर्ण रूप से उच्चतर न्यूट्रिनो चुंबकीय आघूर्णो को उत्पन्न दे सकती है। यह मॉडल-स्वतंत्र तरीके से दिखाया जा सकता है कि लगभग 10 ^-14μ_B से बड़े न्यूट्रिनो चुंबकीय आघूर्ण ''अप्राकृतिक'' हैं क्योंकि वे न्यूट्रिनो द्रव्यमान में बड़े विकिरण योगदान का भी नेतृत्व करेंगे। चूंकि न्यूट्रिनो द्रव्यमान अधिकतम 1 eV के रूप में जाना जाता है, इसलिए बड़े विकिरण संबंधी संशोधन को एक दूसरे को निष्प्रभाव करने के लिए, एक बड़ी डिग्री तक, और न्यूट्रिनो द्रव्यमान को कम छोड़ने के लिए पूर्ण समायोजित करना होगा। न्यूट्रिनो चुंबकीय आघूर्णो का माप अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है। प्रायोगिक परिणामों ने न्यूट्रिनो चुंबकीय आघूर्ण को इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण के 1.2×10-10 गुना से कम पर रखा है।

दूसरी ओर स्पिन के साथ प्राथमिक कण, लेकिन विद्युत आवेश के बिना, जैसे कि फोटॉन या जेड बोसॉन, में चुंबकीय आघूर्ण नहीं होता है।

क्यूरी तापमान और संरेखण का नुकसान

सामान्य सामग्रियों में, अलग-अलग परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जो एक दूसरे को निष्प्रभाव करते हैं, क्योंकि प्रत्येक द्विध्रुव एक यादृच्छिक दिशा में इंगित करता है,समग्र औसत शून्य के बहुत करीब होता है। हालांकि, उनके क्यूरी तापमान के नीचे लोह चुंबकीय सामग्री, चुंबकीय परिक्षेत्र प्रदर्शित करती है जिसमें परमाणु द्विध्रुवीय आघूर्ण स्वाभाविक तरीके से स्थानीय रूप से संरेखित होते हैं, परिक्षेत्र से एक असूक्ष्म, गैर-शून्य चुंबकीय क्षेत्र का उत्पादन करते हैं। ये साधारण चुम्बक हैं जिनसे हम सभी परिचित हैं।

अनुचुम्बकीय पदार्थों में, अलग-अलग परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण आंशिक रूप से बाहरी रूप से लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित होंगे। प्रतिचुम्बकीय पदार्थों में, दूसरी ओर, अलग-अलग परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण किसी बाहरी रूप से लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र के विपरीत संरेखित होते हैं, यद्यपि ऐसा करने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता हो।

ऐसे स्पिन मॉडल के व्यवहार का अध्ययन संघनित पदार्थ भौतिकी में अनुसंधान का एक संपन्न क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, ईज़िंग मॉडल स्पिन (डिपोल) का वर्णन करता है जिसमें केवल दो संभावित अवस्थाएँ होती हैं, ऊपर और नीचे, जबकि हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम) में स्पिन वेक्टर को किसी भी दिशा में इंगित करने की स्वीकृति होती है। इन मॉडलों में कई रोचक गुण हैं, जिससे प्रावस्था संक्रमण के सिद्धांत में रोचक परिणाम सामने आए हैं।

दिशा

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