अतान2 (atan2)

File:Atan2definition.svg

atan2(y, x) कोण लौटाता है θ किरण (ज्यामिति) के बीच बिंदु पर (x, y) और धनात्मक x-अक्ष, तक ही सीमित है (−π, π].

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का ग्राफ $\operatorname {atan2} (y,x)$ ऊपर $y/x$

कम्प्यूटिंग और गणित में, फ़ंक्शन (गणित) atan2 एक फ़ंक्शन स्पर्शरेखा का 2-तर्क है। परिभाषा से, $\theta =\operatorname {atan2} (y,x)$ कोण माप है (कांति में, साथ $-\pi <\theta \leq \pi$) धनात्मक अक्ष (गणित) के बीच|$x$-अक्ष और किरण (ज्यामिति) मूल (गणित) से बिंदु तक $(x,\,y)$ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में। समान रूप से, $\operatorname {atan2} (y,x)$ जटिल संख्या का तर्क (जटिल विश्लेषण) (जिसे चरण या कोण भी कहा जाता है) है $x+iy.$

$\operatorname {atan2}$ h> फ़ंक्शन पहली बार 1961 में प्रोग्रामिंग भाषा फोरट्रान में दिखाई दिया। मूल रूप से इसका उद्देश्य कोण के लिए एक सही और स्पष्ट मान लौटाना था θ कार्तीय निर्देशांक से परिवर्तित करने में (x, y) ध्रुवीय निर्देशांक के लिए (r, θ). यदि $\theta =\operatorname {atan2} (y,x)$ तथा ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, फिर $x=r\cos \theta$ तथा $y=r\sin \theta .$

यदि x > 0, वांछित कोण माप है ${\textstyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)=\arctan \left(y/x\right).}$ हालाँकि, कब x < 0, कोना $\arctan(y/x)$ एंटीपोडल बिंदु वांछित कोण है, और ±π (एक आधा मोड़ (कोण)) बिंदु को सही चतुर्भुज (विमान ज्यामिति) में रखने के लिए जोड़ा जाना चाहिए। का उपयोग करते हुए $\operatorname {atan2}$ फ़ंक्शन इस सुधार को दूर करता है, कोड और गणितीय सूत्रों को सरल करता है।

प्रेरणा

File:Atan2 argument sign graph.svg

− से स्पर्शरेखा समारोह का ग्राफπ से +π y/x के संबंधित संकेतों के साथ। हरे तीर atan2(-1, -1) और atan2(1, 1) के परिणामों की ओर इशारा करते हैं।

सामान्य एकल-तर्क चाप स्पर्शरेखा फ़ंक्शन अंतराल में केवल कोण माप देता है ${\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi ,+{\tfrac {1}{2}}\pi \right]},$ और इसके बीच के कोण को खोजने के लिए इसका आह्वान करते समय x-एक्सिस और कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम प्लेन में एक मनमाना वेक्टर, बाएं आधे-प्लेन (यानी, एक बिंदु) में एक दिशा को इंगित करने का कोई आसान तरीका नहीं है $(x,\,y)$ साथ $x<0$). एंटीपोडल बिंदु कोण उपायों में समान स्पर्शरेखा होती है क्योंकि $y/x=(-y)/(-x),$ तो स्पर्शरेखा $y/x$ एक कोण को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए अपने आप में पर्याप्त नहीं है।

एक बिंदु या सदिश दिए गए चाप स्पर्शरेखा फलन का उपयोग करके एक कोण माप निर्धारित करना $(x,y),$ गणितीय सूत्र या कंप्यूटर कोड को कई मामलों को संभालना चाहिए; के सकारात्मक मूल्यों के लिए कम से कम एक $x$ और एक के नकारात्मक मूल्यों के लिए $x,$ और कभी-कभी अतिरिक्त मामले जब $y$ ऋणात्मक है या एक निर्देशांक शून्य है। वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कोण के उपायों को खोजना और कार्टेशियन को ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में परिवर्तित करना आम है, और यह कोड बेमानी और त्रुटि-प्रवण है।

इसका समाधान करने के लिए, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं ने पेश किया atan2 कार्य, कम से कम 1960 के फोरट्रान IV भाषा के रूप में। मात्रा atan2(y,x) के बीच के कोण का माप है x-अक्ष और मूल से एक बिंदु तक एक किरण (x, y) कार्तीय तल में कहीं भी। की धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ x तथा y परिणाम के कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को निर्धारित करने और बहुविकल्पीय फ़ंक्शन की सही शाखा का चयन करने के लिए उपयोग किया जाता है Arctan(y/x). atan2 }} फ़ंक्शन यूक्लिडियन वेक्टर से जुड़े कई अनुप्रयोगों में उपयोगी है जैसे कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर दिशा खोजना या रोटेशन मैट्रिक्स को यूलर कोणों में परिवर्तित करना। वह atan2 समारोह अब कई अन्य प्रोग्रामिंग भाषाओं में शामिल है, और आमतौर पर पूरे विज्ञान और इंजीनियरिंग में गणितीय सूत्रों में भी पाया जाता है।

तर्क क्रम

1961 में, फोरट्रान ने atan2 तर्क क्रम के साथ कार्य करें $(y,x)$ ताकि एक जटिल संख्या का तर्क (जटिल विश्लेषण) (चरण कोण) हो $\operatorname {arg} z=\operatorname {atan2} (\operatorname {Im} z,\operatorname {Re} z).$ यह लिखे हुए अंश के बाएँ से दाएँ क्रम का अनुसरण करता है $y/x,$ ताकि $\operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {atan} (y/x)$ के सकारात्मक मूल्यों के लिए $x.$ हालांकि, यह जटिल संख्याओं के पारंपरिक घटक क्रम के विपरीत है, $z=x+iy,$ या निर्देशांक के रूप में $(\operatorname {Re} z,\operatorname {Im} z).$ खंड देखें #परिभाषा और संगणना।

कुछ अन्य प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (देखें § #सामान्य कंप्यूटर भाषाओं में फ़ंक्शन की प्रतीति) ने इसके बजाय विपरीत क्रम चुना। उदाहरण के लिए माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल उपयोग करता है $\mathrm{Atan2}<!--\; \; -->($