मॉड्यूल (गणित)

गणित में, एक मॉड्यूल सदिश स्थान की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें अदिश (गणित) के क्षेत्र (गणित) को एक वलय (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। 'मॉड्यूल' की अवधारणा विनिमेय समूह की धारणा को भी सामान्यीकृत करती है, क्योंकि विनिमेय समूह पूर्णांकों के वलय के ऊपर के मॉड्यूल हैं।

सदिश स्थान की तरह, एक मॉड्यूल एक योज्य विनिमेय समूह है, और अदिश गुणन वलय या मॉड्यूल के तत्वों के बीच जोड़ के संचालन पर वितरण गुण है और वलय गुणन के साथ अर्धसमूह क्रिया है।

मॉड्यूल समूह (गणित) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत से बहुत निकट से संबंधित हैं। वह क्रम विनिमेय बीजगणित और अनुरूपता बीजगणित के केंद्रीय विचारों में से एक हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय टोपोलॉजी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

परिचय और परिभाषा

प्रेरणा

सदिश स्थान में, अदिशों का समुच्चय एक क्षेत्र होता है और अदिश गुणन द्वारा सदिशों पर कार्य करता है, जो वितरण नियम जैसे कुछ स्वयंसिद्धों के अधीन होता है। एक मॉड्यूल में, अदिशों को केवल एक वलय (गणित) आवश्यकता होती है, इसलिए मॉड्यूल अवधारणा एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करती है। क्रमविनिमेय बीजगणित में, दोनों आदर्श (वलय सिद्धांत) और भागफल के वलय मॉड्यूल हैं, ताकि आदर्शों या भागफल के वलय के बारे में कई तर्कों को मॉड्यूल के बारे में एक ही तर्क में जोड़ा जा सके। गैर-क्रमविनिमेय बीजगणित में, बाएं आदर्शों, आदर्शों और मॉड्यूल के बीच का अंतर अधिक स्पष्ट हो जाता है, चूंकि कुछ वलयों-सैद्धांतिक स्थितियों को या तो बाएं आदर्शों या बाएं मॉड्यूल के बारे में व्यक्त किया जा सकता है।

मॉड्यूल के अधिकांश सिद्धांत में अच्छी तरह से व्यवहार वाली वलय पर मॉड्यूल के दायरे में संभव के रूप में सदिश रिक्त स्थान के कई वांछनीय गुणों का विस्तार होता है, जैसे कि एक प्रमुख आदर्श डोमेन। चूंकि, सदिश रिक्त स्थान की तुलना में मॉड्यूल थोड़ा अधिक जटिल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, सभी मॉड्यूल का आधार (रैखिक बीजगणित) नहीं होता है, और यहां तक ​​​​कि जो ऐसा करते है, मुफ्त मॉड्यूल के लिए, एक अद्वितीय रैंक की आवश्यकता नहीं होती है यदि अंतर्निहित वलय अपरिवर्तनीय आधार संख्या की स्थिति को पूरा नहीं करती है, जिसमें हमेशा एक (संभवतः अनंत) होता है। आधार जिसकी कार्डिनैलिटी तब अद्वितीय है। (इन अंतिम दो अभिकथनों को सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, लेकिन परिमित-आयामी रिक्त स्थान या कुछ अच्छी तरह से व्यवहार किए गए अनंत-आयामी रिक्त स्थान जैसे L^p रिक्त स्थान के मामले में नहीं।)

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि R एक वलय (गणित) है, और 1 इसकी गुणात्मक तत्समक है।

एक 'बायाँ R-मॉड्यूल' M में एक विनिमेय समूह (M, +) और एक ऑपरेशन R × M → M होता है जैसे कि सभी r, s में R और x, y में M ​​के लिए, हमारे पास है

1. $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
2. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
3. $(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
4. $1\cdot x=x.$

संक्रिया (·) को अदिश गुणन कहते हैं। अक्सर प्रतीक (·) को छोड़ दिया जाता है, लेकिन इस लेख में हम इसका उपयोग करते हैं और R में गुणन के लिए संसर्ग आरक्षित रखते हैं। कोई इस बात पर ज़ोर देने के लिए _RM लिख सकता है कि M एक बायाँ R-मॉड्यूल है। एक सही R-मॉड्यूल M_R को ऑपरेशन के संदर्भ में समान रूप से · : M × R → M. परिभाषित किया गया है

जिन लेखकों को एकात्मक बीजगणित होने के लिए वलय की आवश्यकता नहीं है, वे उपरोक्त परिभाषा में शर्त 4 को छोड़ दें; वे ऊपर परिभाषित संरचनाओं को "इकाई बाया R-मॉड्यूल" कहेंगे।। इस लेख में, वलय सिद्धांत की शब्दावली के अनुरूप, सभी वलयों और मॉड्यूल्स को एकात्मक माना जाता है।

An (R, S)-बिमॉड्यूल एक विनिमेय समूह है जिसमें R के तत्वों द्वारा · बाएं अदिश गुणा · और S के तत्वों द्वारा दाएं अदिश गुणा * दोनों शामिल हैं, इसे एक साथ एक बाएं R-मॉड्यूल और एक दाएं S-मॉड्यूल बनाते हैं, R में सभी R, M में X, और S में S के लिए अतिरिक्त शर्त (r · x) ∗ s = r ⋅ (x ∗ s) को संतुष्ट करता हैं।

यदि R क्रमविनिमेय वलय है, तो बाएं R-मॉड्यूल दाएं R-मॉड्यूल के समान होते हैं और उन्हें केवल R-मॉड्यूल कहा जाता है।

उदाहरण

• यदि K एक क्षेत्र (गणित) है, तो K-सदिश रिक्त स्थान (K पर सदिश रिक्त स्थान) और K-मॉड्यूल समान हैं।
• यदि K एक क्षेत्र है, और K[x] एक अविभाजित बहुपद वलय है, तो K[x]-मॉड्यूल M, M पर x की अतिरिक्त क्रिया के साथ एक K-मॉड्यूल है जो M पर K की क्रिया के साथ परिवर्तित होता है। दूसरे में शब्द, एक K[x]-मॉड्यूल एक K-सदिश स्पेस M है जो M से M के रैखिक मानचित्र के साथ संयुक्त है। इस उदाहरण के लिए एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्मता से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय को लागू करना तर्कसंगत और जॉर्डन के अस्तित्व का विहित रूप दिखाता है।
• 'Z'-मॉड्यूल की अवधारणा एक विनिमेय समूह की धारणा से सहमत है। अर्थात्, प्रत्येक विनिमेय समूह एक अद्वितीय विधि से पूर्णांक 'Z' के वलय पर एक मॉड्यूल है। n > 0 के लिये, मान लीजिए n ⋅ x = x + x + ... + x (n योग), 0 ⋅ x = 0, तथा (−n) ⋅ x = −(n ⋅ x) है. इस तरह के एक मॉड्यूल के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) की आवश्यकता नहीं है - मरोड़ वाले तत्वों वाले समूह नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, पूर्णांक अंकगणितीय 3 के समूह में, एक भी तत्व नहीं मिल सकता है जो एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट की परिभाषा को संतुष्ट करता है, क्योंकि जब एक पूर्णांक जैसे 3 या 6 एक तत्व को गुणा करता है, तो परिणाम 0 होता है। चूँकि, यदि कोई परिमित क्षेत्र को वलय के रूप में लिए गए परिमित क्षेत्र पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, यह एक सदिश स्थान है और इसका एक आधार है।)
• दशमलव भिन्न (नकारात्मक सहित) पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल बनाते हैं। केवल सिंगलटन (गणित) रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट हैं, लेकिन कोई सिंगलटन नहीं है जो आधार के रूप में काम कर सके, इसलिए मॉड्यूल का कोई आधार नहीं है और कोई रैंक नहीं है।
• यदि R कोई वलय है और n एक प्राकृत संख्या है, तो कार्तीय गुणनफल Rⁿ यदि हम घटक-वार संचालन का उपयोग करते हैं, तो R के ऊपर बाएँ और दाएँ R-मॉड्यूल दोनों हैं। इसलिए जब n = 1, R एक R-मॉड्यूल है, जहां अदिश गुणा सिर्फ वलय गुणन है। स्थिति n = 0 तुच्छ R-मॉड्यूल {0} उत्पन्न करता है जिसमें केवल इसकी पहचान तत्व होता है। इस प्रकार के मॉड्यूल को मुक्त मॉड्यूल कहा जाता है और यदि R में अपरिवर्तनीय आधार संख्या है (उदाहरण के लिए कोई क्रम विनिमेय वलय या क्षेत्र) संख्या n तो मुक्त मॉड्यूल का रैंक है।
• यदि M_n(R) वलय R के ऊपर n × n मैट्रिक्स (गणित) वलय है, तो M एक M_n(R)-मॉड्यूल है, और ei (i, i)-प्रवेश (और शून्य) में 1 वाला n × n अन्यत्र मैट्रिक्स है), तो e_iM एक R-मॉड्यूल है, क्योंकि re_im = e_irm ∈ e_iM है. तो M R-मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग M = e₁M ⊕ ... ⊕ e_nM के रूप में टूट जाता है, इसके विपरीत, एक R-मॉड्यूल M₀ दिया गया, तो M₀^⊕n एक M_n(R) -मॉड्यूल है। वास्तव में, R-मॉड्यूल की श्रेणी और M_n(R)-मॉड्यूल श्रेणी (गणित) समतुल्य हैं। विशेष स्थिति यह है कि मॉड्यूल Mसिर्फ एक मॉड्यूल के रूप में R है, तो Rⁿ एक M_n(R) -मॉड्यूल है।
• यदि S एक खाली सेट सेट (