मॉड्यूल (गणित)

गणित में, एक मॉड्यूल सदिश स्थान की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें अदिश (गणित) के क्षेत्र (गणित) को एक वलय (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। 'मॉड्यूल' की अवधारणा विनिमेय समूह की धारणा को भी सामान्यीकृत करती है, क्योंकि विनिमेय समूह पूर्णांकों के वलय के ऊपर के मॉड्यूल हैं।

सदिश स्थान की तरह, एक मॉड्यूल एक योज्य विनिमेय समूह है, और अदिश गुणन वलय या मॉड्यूल के तत्वों के बीच जोड़ के संचालन पर वितरण गुण है और वलय गुणन के साथ अर्धसमूह क्रिया है।

मॉड्यूल समूह (गणित) के प्रतिनिधित्व सिद्धांत से बहुत निकट से संबंधित हैं। वह क्रम विनिमेय बीजगणित और अनुरूपता बीजगणित के केंद्रीय विचारों में से एक हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय टोपोलॉजी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

परिचय और परिभाषा

प्रेरणा

सदिश स्थान में, अदिश (गणित) का समुच्चय एक क्षेत्र (गणित) है और अदिश गुणन द्वारा सदिशों पर कार्य करता है, जो वितरण नियम जैसे कुछ स्वयंसिद्धों के अधीन होता है। एक मॉड्यूल में, अदिश्स को केवल एक वलय (गणित) होना चाहिए, इसलिए मॉड्यूल अवधारणा एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करती है। क्रमविनिमेय बीजगणित में, दोनों आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) और भागफल के छल्ले मॉड्यूल हैं, ताकि आदर्शों या भागफल के छल्ले के बारे में कई तर्कों को मॉड्यूल के बारे में एक ही तर्क में जोड़ा जा सके। गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित में, बाएं आदर्शों, आदर्शों और मॉड्यूल के बीच का अंतर अधिक स्पष्ट हो जाता है, हालांकि कुछ अंगूठी-सैद्धांतिक स्थितियों को या तो बाएं आदर्शों या बाएं मॉड्यूल के बारे में व्यक्त किया जा सकता है। मॉड्यूल के अधिकांश सिद्धांत में वेक्टर रिक्त स्थान के कई वांछनीय गुणों को एक अच्छी तरह से व्यवहार वाली अंगूठी पर मॉड्यूल के दायरे तक विस्तारित करना शामिल है, जैसे कि एक प्रमुख आदर्श डोमेन। हालांकि, वेक्टर रिक्त स्थान की तुलना में मॉड्यूल थोड़ा अधिक जटिल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, सभी मॉड्यूल का आधार (रैखिक बीजगणित) नहीं होता है, और यहां तक ​​​​कि जो ऐसा करते हैं, मुक्त मॉड्यूल, को एक अद्वितीय मुफ्त मॉड्यूल परिभाषा की आवश्यकता नहीं होती है, यदि अंतर्निहित वलय वेक्टर रिक्त स्थान के विपरीत, अपरिवर्तनीय आधार संख्या की स्थिति को पूरा नहीं करती है, जो हमेशा एक (संभवतः अनंत) आधार है जिसकी कार्डिनैलिटी तब अद्वितीय है। (इन अंतिम दो अभिकथनों को सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, लेकिन परिमित-आयामी रिक्त स्थान के मामले में नहीं, या कुछ अच्छी तरह से व्यवहार किए गए अनंत-आयामी स्थान जैसे Lp space|L^p रिक्त स्थान।)

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि R एक वलय (गणित) है, और 1 इसकी गुणात्मक तत्समक है। एक 'बायाँ आर-मॉड्यूल' एम में एक विनिमेय समूह होता है (M, +) और एक ऑपरेशन · : R × M → M ऐसा कि सभी r, s in R और x, y in M ​​के लिए, हमारे पास है

1. $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
2. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
3. $(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
4. $1\cdot x=x.$

संक्रिया · को अदिश गुणन कहते हैं। अक्सर प्रतीक · को छोड़ दिया जाता है, लेकिन इस लेख में हम इसका उपयोग करते हैं और आर में गुणन के लिए सन्निकटन आरक्षित रखते हैं। कोई भी लिख सकता है _Rएम इस बात पर जोर देने के लिए कि एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है। एक 'सही आर-मॉड्यूल' एम_R एक ऑपरेशन के संदर्भ में इसी तरह परिभाषित किया गया है · : M × R → M.

जिन लेखकों को एकात्मक बीजगणित होने के लिए छल्ले की आवश्यकता नहीं है, वे उपरोक्त परिभाषा में शर्त 4 को छोड़ देते हैं; वे यूनिटल लेफ्ट आर-मॉड्यूल के ऊपर परिभाषित संरचनाओं को कॉल करेंगे। इस लेख में, वलय थ्योरी की शब्दावली के अनुरूप, सभी वलय्स और मॉड्यूल्स को एकात्मक माना जाता है। An (R, S)-बिमॉड्यूल एक विनिमेय समूह है जिसमें R के तत्वों द्वारा · बाएं अदिश गुणा · और S के तत्वों द्वारा दाएं अदिश गुणा * दोनों शामिल हैं, इसे एक साथ एक बाएं R-मॉड्यूल और एक दाएं S-मॉड्यूल बनाते हैं, अतिरिक्त शर्त को पूरा करना (r · x) ∗ s = r ⋅ (x ∗ s) आर में सभी आर के लिए, एम में एक्स, और एस में एस।

यदि आर क्रमविनिमेय अंगूठी है, तो बाएं आर-मॉड्यूल दाएं आर-मॉड्यूल के समान होते हैं और उन्हें केवल आर-मॉड्यूल कहा जाता है।

उदाहरण

• यदि के एक क्षेत्र (गणित) है, तो के-वेक्टर रिक्त स्थान (के पर वेक्टर रिक्त स्थान) और के-मॉड्यूल समान हैं।
• यदि K एक क्षेत्र है, और K[x] एक अविभाजित बहुपद वलय है, तो एक बहुपद वलय#Modules|K[x]-मॉड्यूल M, M पर x की एक अतिरिक्त क्रिया के साथ एक K-मॉड्यूल है जो की क्रिया के साथ संचार करता है एम पर के। दूसरे शब्दों में, एक के [एक्स] -मॉड्यूल एक के-वेक्टर स्पेस एम है जो एम से एम के रैखिक मानचित्र के साथ संयुक्त है। इस उदाहरण के लिए एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर अंतिम रूप से जेनरेट किए गए मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय को लागू करना दिखाता है वाजिब विहित रूप और जॉर्डन सामान्य रूप रूपों का अस्तित्व।
• 'जेड'-मॉड्यूल की अवधारणा एक विनिमेय समूह की धारणा से सहमत है। अर्थात्, प्रत्येक विनिमेय समूह एक अनोखे तरीके से पूर्णांक 'Z' के वलय पर एक मॉड्यूल है। के लिये n > 0, होने देना n ⋅ x = x + x + ... + x (एन योग), 0 ⋅ x = 0, तथा (−n) ⋅ x = −(n ⋅ x). इस तरह के एक मॉड्यूल के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) की आवश्यकता नहीं है - मरोड़ वाले तत्वों वाले समूह नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, पूर्णांक अंकगणितीय 3 के समूह में, एक भी तत्व नहीं मिल सकता है जो एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट की परिभाषा को संतुष्ट करता है, क्योंकि जब एक पूर्णांक जैसे 3 या 6 एक तत्व को गुणा करता है, तो परिणाम 0 होता है। हालाँकि, यदि कोई परिमित क्षेत्र को वलय के रूप में लिए गए परिमित क्षेत्र पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, यह एक सदिश स्थान है और इसका एक आधार है।)
• दशमलव भिन्न (नकारात्मक सहित) पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल बनाते हैं। केवल सिंगलटन (गणित) रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट हैं, लेकिन कोई सिंगलटन नहीं है जो आधार के रूप में काम कर सके, इसलिए मॉड्यूल का कोई आधार नहीं है और कोई रैंक नहीं है।
• यदि R कोई वलय है और n एक प्राकृत संख्या है, तो कार्तीय गुणनफल Rⁿ यदि हम घटक-वार संचालन का उपयोग करते हैं, तो R के ऊपर बाएँ और दाएँ R-मॉड्यूल दोनों हैं। इसलिए कब n = 1, आर एक आर-मॉड्यूल है, जहां अदिश गुणा सिर्फ वलय गुणन है। मुकदमा n = 0 तुच्छ आर-मॉड्यूल {0} उत्पन्न करता है जिसमें केवल इसकी पहचान तत्व होता है। इस प्रकार के मॉड्यूल को मुक्त मॉड्यूल कहा जाता है और यदि आर में अपरिवर्तनीय आधार संख्या है (उदाहरण के लिए कोई कम्यूटेटिव वलय या फ़ील्ड) संख्या n तो मुक्त मॉड्यूल का रैंक है।
• यदि एम_n(आर) की अंगूठी है n × n मैट्रिक्स (गणित) एक वलय R के ऊपर, M एक M है_n(आर) -मॉड्यूल, और ई_i है n × n 1 के साथ मैट्रिक्स (i, i)-प्रविष्टि (और शून्य कहीं और), फिर ई_iएम एक आर-मॉड्यूल है, क्योंकि re_im = e_irm ∈ e_iM. तो एम आर-मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में टूट जाता है, M = e₁M ⊕ ... ⊕ e_nM. इसके विपरीत, एक आर-मॉड्यूल एम दिया गया₀, फिर एम₀^⊕n एक एम है_n(आर) -मॉड्यूल। वास्तव में, मॉड्यूल की श्रेणी | आर-मॉड्यूल की श्रेणी और एम की श्रेणी (गणित)।_n(आर)-मॉड्यूल श्रेणियों के स