लाई (lie) बीजगणित

"लाई कोष्ठक" redirects here. For सदिश क्षेत्रों पर संचालन, see सदिश क्षेत्रों का लाइ कोष्ठक.

गणित में, एक लाई बीजगणित (उच्चारण /liː/ LEE) एक सदिश स्थान है ${\mathfrak {g}}$ एक साथ एक द्वि-आधारी संक्रिया के साथ जिसे लाई कोष्ठक कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, जो जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का लाई कोष्ठक $x$ तथा $y$ निरूपित किया जाता है, $[x,y]$। सदिश स्थान ${\mathfrak {g}}$ और यह संक्रिया एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ कोष्ठक आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।

लाई बीजगणित लाई समूह से निकटता से संबंधित हैं, जो ऐसे समूह (गणित) हैं जो तिरछा-सममित भी हैं, कोई लाई समूह लाई बीजगणित को निर्गत करता है, जो समरूपता पर इसकी स्पर्शरेखा है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित संयोजित स्थान लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (लाई का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह पत्राचार लाई बीजगणित के संदर्भ में लाई समूहों की संरचना और वर्गीकरण का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

भौतिक विज्ञान में, लाई समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके लाई बीजगणित (समरूपता के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार बीजगणित और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी और कण भौतिकी में।

एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी सदिश का स्थान ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ है संकर उत्पाद द्वारा परिभाषित कोष्ठक संक्रिया के साथ $[x,y]=x\times y.$ यह तिरछा-सममित $x\times y=-y\times x$है, और सहयोगीता के अतिरिक्त यह जैकोबी समरूपता को संतुष्ट करता है:

$x\times (y\times z)\ =\ (x\times y)\times z\ +\ y\times (x\times z).$

यह स्थान के घूर्णन के लाई समूह का लाई बीजगणित है,और प्रत्येक सदिश $v\in \mathbb {R} ^{3}$ को अक्ष $v$ के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है, $v$ के परिमाण के बराबर वेग के साथ। लाइ कोष्ठक दो घुमावों के बीच गैर-क्रमविनिमेयता का एक माप है: चूँकि घूर्णन अपने साथ चलता है, हमारे पास वैकल्पिक संपत्ति $[x,x]=x\times x=0$ है।