प्रत्यक्ष योग

प्रत्यक्ष योग, गणित की एक शाखा और अमूर्त बीजगणित में गणितीय संरचना के बीच का एक संचालन है। यह अलग-अलग प्रकार की संरचनाओं के लिए अलग-अलग, लेकिन समान रूप से परिभाषित किया गया है। अमूर्त बीजगणित में प्रत्यक्ष योग का उपयोग कैसे किया जाता है, यह देखने के लिए, अधिक प्रारंभिक संरचना, एबेलियन समूह पर विचार करें। दो एबेलियन समूहों $A$ तथा $B$ का प्रत्यक्ष योग एक दूसरा एबेलियन समूह $A\oplus B$ होता है जिसमे क्रमित युग्म $(a,b)$ सम्मलित होता है : जहाँ $a\in A$ तथा $b\in B$. देशित जोड़े से मिलकर जहाँ $a\in A$ तथा $b\in B$ क्रमित युग्मों को जोड़ने के लिए, हम $(a,b)+(c,d)$ योग को $(a+c,b+d)$ द्वारा परिभाषित करते हैं; दूसरे शब्दों में जोड़ को निर्देशांक के अनुसार परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष योग $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$, जहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक कार्तीय तल है, $\mathbb {R} ^{2}$. इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग दो सदिश क्षेत्र रिक्त स्थान या दो मॉड्यूल (गणित) के प्रत्यक्ष योग के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, हम किसी भी परिमित संख्या के जोड़ के साथ सीधा योग भी बना सकते हैं $A\oplus B\oplus C$, बशर्ते $A,B,$ तथा $C$ एक ही प्रकार की बीजगणितीय संरचनाएं हैं (उदाहरण के लिए, सभी एबेलियन समूह, या सभी सदिश रिक्त स्थान)। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रत्यक्ष योग समरूपता तक साहचर्य है। वह है, $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$, $B$, तथा $C$ उसी तरह का। प्रत्यक्ष योग भी तुल्याकारिता तक क्रमविनिमेय है, अर्थात $A\oplus B\cong B\oplus A$ किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$ तथा $B$ उसी तरह का।

बारीकी से कई एबेलियन समूहों, सदिश रिक्त स्थान, या मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग संबंधित प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए कैनोनिक रूप से आइसोमॉर्फिक है। हालांकि, यह कुछ बीजगणितीय वस्तुओं के लिए गलत है, जैसे कि गैर-अबेलियन समूह।

ऐसे मामले में जहां असीमित रूप से कई वस्तुएं संयुक्त होती हैं, प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष उत्पाद आइसोमोर्फिक नहीं होते हैं, यहां तक ​​कि एबेलियन समूहों, सदिश रिक्त स्थान या मॉड्यूल के लिए भी। एक उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों की अपरिमित रूप से अनेक प्रतियों के प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल पर विचार करें। प्रत्यक्ष उत्पाद में एक तत्व एक अनंत अनुक्रम है, जैसे (1,2,3,...) लेकिन प्रत्यक्ष योग में, एक आवश्यकता है कि सभी लेकिन बहुत से निर्देशांक शून्य हों, इसलिए अनुक्रम (1,2) ,3,...) प्रत्यक्ष उत्पाद का एक तत्व होगा, लेकिन प्रत्यक्ष योग का नहीं, जबकि (1,2,0,0,0,...) दोनों का एक तत्व होगा। अक्सर, यदि एक + चिह्न का उपयोग किया जाता है, तो बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी निर्देशांक शून्य होने चाहिए, जबकि यदि गुणन के किसी रूप का उपयोग किया जाता है, तो निश्चित रूप से बहुत से निर्देशांकों को छोड़कर सभी 1 होना चाहिए। अधिक तकनीकी भाषा में, यदि योगफल हैं $(A_{i})_{i\in I}$, प्रत्यक्ष योग

$$\bigoplus _{i\in I}A_{i}$$

tuples के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $(a_{i})_{i\in I}$ साथ $a_{i}\in A_{i}$ ऐसा है कि $a_{i}=0$ सभी के लिए लेकिन निश्चित रूप से बहुत से i. प्रत्यक्ष योग ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ प्रत्यक्ष उत्पाद में निहित है ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$, लेकिन सूचकांक सेट होने पर सख्ती से छोटा होता है $I$ अनंत है, क्योंकि प्रत्यक्ष उत्पाद के एक तत्व में असीम रूप से कई अशून्य निर्देशांक हो सकते हैं।

उदाहरण

xy-प्लेन, एक द्वि-आयामी सदिश स्पेस, को दो एक-आयामी सदिश स्पेस, अर्थात् x और y अक्षों के प्रत्यक्ष योग के रूप में माना जा सकता है। इस प्रत्यक्ष योग में, x और y अक्ष केवल मूल बिंदु (शून्य सदिश) पर प्रतिच्छेद करते हैं। जोड़ को निर्देशांक-वार परिभाषित किया गया है, अर्थात $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$, जो सदिश योग के समान है।

दो संरचनाएं दी गई हैं $A$ तथा $B$, उनका सीधा योग इस प्रकार लिखा जाता है $A\oplus B$. संरचनाओं के अनुक्रमित परिवार को देखते हुए $A_{i}$, के साथ अनुक्रमित $i\in I$, प्रत्यक्ष योग लिखा जा सकता है ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$. प्रत्येक ए_iA का 'प्रत्यक्ष योग' कहा जाता है। यदि सूचकांक सेट परिमित है, तो प्रत्यक्ष योग प्रत्यक्ष उत्पाद के समान होता है। समूहों के मामले में, यदि समूह संचालन के रूप में लिखा गया है $+$ वाक्यांश प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाता है, जबकि यदि समूह संचालन लिखा जाता है $*$ प्रत्यक्ष उत्पाद वाक्यांश का उपयोग किया जाता है। जब इंडेक्स सेट अनंत होता है, तो प्रत्यक्ष योग प्रत्यक्ष उत्पाद के समान नहीं होता है क्योंकि प्रत्यक्ष योग की अतिरिक्त आवश्यकता होती है कि सभी लेकिन अंतत: कई निर्देशांक शून्य होने चाहिए।

आंतरिक और बाह्य प्रत्यक्ष रकम

आंतरिक और बाह्य प्रत्यक्ष योगों के बीच एक भेद किया जाता है, हालांकि दोनों तुल्याकारी हैं। यदि योग को पहले परिभाषित किया जाता है, और फिर योग के संदर्भ में प्रत्यक्ष योग को परिभाषित किया जाता है, तो हमारे पास बाहरी प्रत्यक्ष योग होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम वास्तविक संख्याओं को परिभाषित करते हैं $\mathbb {R}$ और फिर परिभाषित करें $\mathbb{R}\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathbb{R}$