ट्रेस ऑपरेटर

एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका निशान (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।

गणित में, ट्रेस ऑपरेटर प्रोग्राम की धारणा को उसके डोमेन की सीमा तक सोबोलेव स्पेस में सामान्यीकृत प्रोग्राम तक बढ़ाता है। यह विशेष रूप से निर्धारित सीमा स्थितियों (सीमा मूल्य समस्याओं) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण है, जहां कमजोर समाधान नियमित रूप से कार्यों के शास्त्रीय अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

प्रेरणा

एक सीमित, चिकने डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, विषम डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ पोइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें:

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

दिए गए कार्यों के साथ ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$ ट्रेस ऑपरेटर नीचे दिए गए आवेदन में चर्चा की गई नियमितता के साथ। कमजोर उपाय ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$. ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$वें>- की नियमितता ${\textstyle u}$ इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि किस अर्थ में ${\textstyle u}$ सीमा शर्त को पूरा कर सकते हैं ${\textstyle u=g}$ पर ${\textstyle \partial \Omega }$: परिभाषा से, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिस पर मनमाना मान हो सकता है ${\textstyle \partial \Omega }$ चूंकि यह एन-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।

यदि ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ वहाँ रखती है ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ सोबोलेव असमानता द्वारा, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि ${\textstyle u}$ शास्त्रीय अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात ${\textstyle u}$ प्रति ${\textstyle \partial \Omega }$ फलन से सहमत हैं ${\textstyle g}$ (अधिक सटीक रूप से : का एक प्रतिनिधि उपस्थित है ${\textstyle u}$ में ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ इस संपत्ति के साथ)। ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ साथ ${\textstyle n>1}$ के लिये ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ का प्रयोग $u{}_{}$