ट्रेस ऑपरेटर

एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका निशान (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।

गणित में, ट्रेस ऑपरेटर प्रोग्राम की धारणा को उसके डोमेन की सीमा तक सोबोलेव स्पेस में सामान्यीकृत प्रोग्राम तक बढ़ाता है। यह विशेष रूप से निर्धारित सीमा स्थितियों (सीमा मूल्य समस्याओं) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण है, जहां कमजोर समाधान नियमित रूप से कार्यों के शास्त्रीय अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

प्रेरणा

एक सीमित, चिकने डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, विषम डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ पोइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें:

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

दिए गए कार्यों के साथ ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$ ट्रेस ऑपरेटर नीचे दिए गए आवेदन में चर्चा की गई नियमितता के साथ। कमजोर उपाय ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$. ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$वें>- की नियमितता ${\textstyle u}$ इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि किस अर्थ में ${\textstyle u}$ सीमा शर्त को पूरा कर सकते हैं ${\textstyle u=g}$ पर ${\textstyle \partial \Omega }$: परिभाषा से, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिस पर मनमाना मान हो सकता है ${\textstyle \partial \Omega }$ चूंकि यह एन-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।

यदि ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ वहाँ रखती है ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ सोबोलेव असमानता द्वारा, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि ${\textstyle u}$ शास्त्रीय अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात ${\textstyle u}$ प्रति ${\textstyle \partial \Omega }$ समारोह से सहमत हैं ${\textstyle g}$ (अधिक सटीक रूप से : का एक प्रतिनिधि मौजूद है ${\textstyle u}$ में ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ इस संपत्ति के साथ)। ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ साथ ${\textstyle n>1}$ के लिये ऐसा एम्बेडिंग मौजूद नहीं है और ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ का उपयोग ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ के साथ ${\textstyle Tu=g}$ को सीमा मान समस्या का एक कमजोर समाधान कहा जाता है यदि ऊपर दिए गए अभिन्न समीकरण को संतुष्ट किया जाता है। ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा उचित होने के लिए, पर्याप्त रूप से नियमित ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ के लिए ${\textstyle u}$ होना चाहिए |

ट्रेस प्रमेय

ट्रेस ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस में कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ साथ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$, अन्य स्थानों पर ट्रेस के संभावित विस्तार के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें। होने देना ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के लिये ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ Lipschitz सीमा के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो। फिरवहाँ एक परिबद्ध रेखीय ट्रेस ऑपरेटर मौजूद है

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$