एकदिष्ट फलन

"Monotonicity" redirects here. For information on monotonicity as it pertains to voting systems, see monotonicity criterion. For information on monotonicity as it pertains to logical systems, see Monotonicity of entailment.

"Monotonic" redirects here. For other uses, see Monotone (disambiguation).

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चित्रा 1. एक नीरस रूप से गैर-घटता कार्य।

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चित्रा 2. एक नीरस रूप से गैर-बढ़ता हुआ कार्य

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चित्रा 3. एक समारोह जो मोनोटोनिक नहीं है

गणित में, एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन (या मोनोटोन फ़ंक्शन) गणित में ऑर्डर संरचनाओं की सूची के बीच एक फ़ंक्शन (गणित) है जो दिए गए ऑर्डर संबंध को संरक्षित या उलट देता है। यह अवधारणा पहले गणना में उत्पन्न हुई, और बाद में आदेश सिद्धांत की अधिक अमूर्त सेटिंग के लिए सामान्यीकृत की गई।

कलन और विश्लेषण में

कैलकुलस में, एक फंक्शन $f$ वास्तविक मानों के साथ वास्तविक संख्याओं के सबसेट पर परिभाषित को मोनोटोनिक कहा जाता है यदि और केवल अगर यह पूरी तरह से गैर-बढ़ती है, या पूरी तरह से गैर-घटती है।यही है, चित्र 1 के अनुसार, एक कार्य जो नीरस रूप से बढ़ता है उसे विशेष रूप से बढ़ाना नहीं है, इसे बस कम नहीं करना चाहिए।

एक समारोह को मोनोटोनिक रूप से बढ़ाना (बढ़ते या गैर-घटते भी) कहा जाता हैअगर सभी के लिए $x$ तथा $y$ ऐसा है कि $x\leq y$ किसी के पास $f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)$, इसलिए $f$ क्रम को बनाए रखता है (चित्र 1 देखें)। इसी तरह, एक फ़ंक्शन को नीरस रूप से घटते हुए (घटते या गैर-बढ़ते भी) कहा जाता हैअगर, जब भी $x\leq y$, फिर $f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)$, तो यह क्रम को उलट देता है (चित्र 2 देखें)।

यदि आदेश $\leq$ एकरसता की परिभाषा में सख्त आदेश द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $<$, एक मजबूत आवश्यकता प्राप्त करता है। इस संपत्ति के साथ एक फ़ंक्शन को सख्ती से बढ़ाना (भी बढ़ाना) कहा जाता है। फिर से, ऑर्डर सिंबल को उल्टा करके, एक संबंधित अवधारणा को सख्ती से घटता हुआ (भी घटता हुआ) कहा जाता है।किसी भी संपत्ति वाले फ़ंक्शन को सख्ती से मोनोटोन कहा जाता है। कार्य जो सख्ती से मोनोटोन हैं वे एक-से-एक कार्य हैं | एक-से-एक (क्योंकि के लिए $x$ असमान $y$, या $x<y$ या $x>y$ और इसलिए, एकरसता से, या तो $f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)$ या $f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)$, इस प्रकार $f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)$.)

अस्पष्टता से बचने के लिए, कमजोर मोनोटोन, कमजोर रूप से बढ़ने और कमजोर रूप से घटने वाले शब्द अक्सर गैर-सख्त मोनोटोनिकिटी को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

गैर-घटती और गैर-बढ़ती शर्तों को (बहुत कमजोर) नकारात्मक योग्यताओं के घटने और न बढ़ने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र 3 में दिखाया गया गैर-मोनोटोनिक फ़ंक्शन पहले गिरता है, फिर ऊपर उठता है, फिर फिर से गिरता है। इसलिए यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है, लेकिन यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है।

एक समारोह $f\!\left(x\right)$ एक अंतराल पर बिल्कुल मोनोटोनिक कहा जाता है $\left(a,b\right)$ यदि के सभी आदेशों के डेरिवेटिव $f$ अंतराल पर सभी बिंदुओं पर गैर-नकारात्मक या सभी गैर-सकारात्मक हैं।

फ़ंक्शन का उलटा

सभी सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शंस उलटा फ़ंक्शन हैं क्योंकि उन्हें अपनी सीमा से अपने डोमेन में एक-से-एक मैपिंग की गारंटी है।

हालांकि, ऐसे कार्य जो केवल कमजोर मोनोटोन वाले होते हैं, व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं क्योंकि वे कुछ अंतराल पर स्थिर होते हैं (और इसलिए एक-से-एक नहीं होते हैं)।

एक फ़ंक्शन सीमित मूल्यों की एक सीमा पर सख्ती से मोनोटोनिक हो सकता है और इस प्रकार उस सीमा पर उलटा हो सकता है, भले ही यह हर जगह सख्ती से मोनोटोनिक न हो। उदाहरण के लिए, यदि $y=g(x)$ सीमा पर सख्ती से बढ़ रहा है $[a,b]$, तो इसका व्युत्क्रम होता है $x=h(y)$ सीमा पर $[g(a),g(b)]$.

ध्यान दें कि मोनोटोनिक शब्द का प्रयोग कभी-कभी सख्ती से मोनोटोनिक के स्थान पर किया जाता है, इसलिए एक स्रोत यह बता सकता है कि सभी मोनोटोनिक फ़ंक्शन उलटा हो सकते हैं जब उनका वास्तव में मतलब होता है कि सभी सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन उलटा हो जाते हैं।

मोनोटोनिक परिवर्तन

मोनोटोनिक ट्रांसफ़ॉर्मेशन (या मोनोटोन ट्रांसफ़ॉर्मेशन) शब्द भी भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि यह एक सख्ती से बढ़ते फ़ंक्शन द्वारा परिवर्तन को संदर्भित करता है। यह अर्थशास्त्र में एक उपयोगिता समारोह के क्रमिक गुणों के संबंध में एक मोनोटोनिक परिवर्तन (मोनोटोन वरीयताएँ भी देखें) में संरक्षित होने का मामला है। इस संदर्भ में, मोनोटोनिक परिवर्तन शब्द एक सकारात्मक मोनोटोनिक परिवर्तन को संदर्भित करता है और इसका उद्देश्य इसे "नकारात्मक मोनोटोनिक परिवर्तन" से अलग करना है, जो संख्याओं के क्रम को उलट देता है।

कुछ बुनियादी अनुप्रयोग और परिणाम

File:Monotonic dense jumps svg.svg

जम्प डिसकंटीन्युटीज के सघन सेट के साथ मोनोटोनिक फंक्शन (कई सेक्शन दिखाए गए हैं)

एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$:

• $f$ फ़ंक्शन के अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर दाएं और बाएं से फ़ंक्शन की सीमा होती है;
• $f$ सकारात्मक या नकारात्मक अनंत पर एक सीमा है ($\pm \infty$) या तो एक वास्तविक संख्या का, $\infty$, या $-\infty$.
• $f$ केवल जंप असततता हो सकती है;
• $f$ इसके डोमेन में मोनोटोन फ़ंक्शंस की केवल गणनीय कई विसंगतियां हो सकती हैं। हालाँकि, विच्छिन्नताएँ, आवश्यक रूप से अलग-अलग बिंदुओं से मिलकर नहीं बनती हैं और एक अंतराल (ए, बी) में सघन भी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, किसी योग्‍य अनुक्रम के लिए $(a_{i})$ सकारात्मक संख्या और किसी भी गणना की $(q_{i})$ परिमेय संख्याओं का, नीरस रूप से बढ़ता हुआ फलन
  $$f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}$$
  हर अपरिमेय संख्या (cf. चित्र) पर निरंतर है। यह परिमेय संख्याओं पर असतत माप का संचयी वितरण फलन है, जहाँ $a_{i}$ का वजन है $q_{i}$.

ये गुण ही कारण हैं कि गणितीय विश्लेषण में तकनीकी कार्य में मोनोटोनिक फ़ंक्शन उपयोगी होते हैं। इन कार्यों के अन्य महत्वपूर्ण गुणों में शामिल हैं:

• यदि $f$ एक अंतराल (गणित) पर परिभाषित एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है $I$, फिर $f$ लगभग हर जगह व्युत्पन्न है $I$; यानी संख्याओं का समूह $x$ में $I$ ऐसा है कि $f$ में अवकलनीय नहीं है $x$ Lebesgue माप माप शून्य है। इसके अलावा, इस परिणाम को गणनीय में सुधार नहीं किया जा सकता है: कैंटर समारोह देखें।
• यदि यह सेट गणनीय है, तो $f$ नितांत सतत है
• यदि $f$ अंतराल पर परिभाषित एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है $\left[a,b\right]$, फिर $f$ रीमैन इंटीग्रल है।

संभाव्यता सिद्धांत में मोनोटोनिक कार्यों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। यदि $X$ एक यादृच्छिक चर है, इसका संचयी वितरण कार्य $F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)$ एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है।

एक फलन एकरूपी फलन है यदि यह नीरस रूप से किसी बिंदु तक बढ़ रहा है (बहुलक (सांख्यिकी)) और फिर नीरस रूप से घट रहा है।

कब $f$ एक सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, फिर $f$ अपने डोमेन पर इंजेक्शन समारोह है, और यदि $T$ के एक समारोह की सीमा है $f$, तो वहाँ एक उलटा कार्य होता है $T$ के लिये $f$. इसके विपरीत, प्रत्येक निरंतर कार्य मोनोटोनिक है, लेकिन इंजेक्शन नहीं है, और इसलिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता।

टोपोलॉजी में

नक्षा $f:X\to Y$ मोनोटोन कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक फाइबर (गणित)#फाइबर इन नेव सेट थ्योरी कनेक्टेड (टोपोलॉजी) है; अर्थात्, प्रत्येक तत्व के लिए $y\in Y,$ (संभवतः खाली) सेट $f^{-1}(y)$ का कनेक्टेड सबस्पेस टोपोलॉजी है $X.$

कार्यात्मक विश्लेषण में

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर कार्यात्मक विश्लेषण में $X$, एक (संभवतः गैर-रैखिक) ऑपरेटर $T:X\rightarrow X^{*}$ एक मोनोटोन ऑपरेटर कहा जाता है अगर

$(Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.$

कचुरोवस्की के प्रमेय से पता चलता है कि बनच रिक्त स्थान पर उत्तल कार्य उनके डेरिवेटिव के रूप में मोनोटोनिक ऑपरेटर हैं।

उपसमुच्चय $G$ का $X\times X^{*}$ अगर हर जोड़ी के लिए एक मोनोटोन सेट कहा जाता है $[u_{1},w_{1}]$ तथा $[u_{2},w_{2}]$ में $G$,

$(w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.$

$G$ अधिकतम मोनोटोन कहा जाता है यदि यह सेट समावेशन के अर्थ में सभी मोनोटोन सेटों में अधिकतम है। एक मोनोटोन ऑपरेटर का ग्राफ $G(T)$ एक मोनोटोन सेट है। एक मोनोटोन ऑपरेटर को अधिकतम मोनोटोन कहा जाता है यदि इसका ग्राफ़ अधिकतम मोनोटोन सेट है।

क्रम सिद्धांत में

ऑर्डर थ्योरी मनमाना आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट और वास्तविक संख्याओं के सामान्यीकरण के रूप में पूर्व आदेश से संबंधित है। एकरसता की उपरोक्त परिभाषा इन मामलों में भी प्रासंगिक है। हालांकि, बढ़ती और घटती शर्तों से बचा जाता है, क्योंकि उनका पारंपरिक सचित्र प्रतिनिधित्व उन ऑर्डर पर लागू नहीं होता है जो कुल ऑर्डर नहीं हैं। इसके अलावा, सख्त आदेश संबंध < और > कई गैर-कुल आदेशों में बहुत कम उपयोग होते हैं और इसलिए उनके लिए कोई अतिरिक्त शब्दावली पेश नहीं की जाती है।

≤ को किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के आंशिक क्रम संबंध को दर्शाता है, एक मोनोटोन फ़ंक्शन, जिसे आइसोटोन भी कहा जाता है, याorder-preserving, संपत्ति को संतुष्ट करता है

x ≤ y का अर्थ है f(x) ≤ f(y),

इसके डोमेन में सभी x और y के लिए। दो मोनोटोन मैपिंग का सम्मिश्रण भी मोनोटोन है।

द्वैत (आदेश सिद्धांत) धारणा को अक्सर एंटीटोन, एंटी-मोनोटोन या ऑर्डर-रिवर्सिंग कहा जाता है। इसलिए, एक एंटीटोन फ़ंक्शन f संपत्ति को संतुष्ट करता है

x ≤ y का अर्थ है f(y) ≤ f(x),

इसके डोमेन में सभी x और y के लिए।

एक स्थिर कार्य मोनोटोन और एंटीटोन दोनों है; इसके विपरीत, यदि f मोनोटोन और एंटीटोन दोनों है, और यदि f का डोमेन एक जाली (क्रम) है, तो f स्थिर होना चाहिए।

क्रम सिद्धांत में मोनोटोन फ़ंक्शंस केंद्रीय हैं। वे इस विषय पर अधिकांश लेखों में दिखाई देते हैं और विशेष अनुप्रयोगों के उदाहरण इन स्थानों पर पाए जाते हैं। कुछ उल्लेखनीय विशेष मोनोटोन फ़ंक्शंस आदेश एम्बेडिंग हैं (फ़ंक्शन जिसके लिए x ≤ y अगर और केवल अगर f(x) ≤ f(y)) और आदेश समरूपता (विशेषण ऑर्डर एम्बेडिंग)।

खोज एल्गोरिदम के संदर्भ में

खोज एल्गोरिदम के संदर्भ में एकरसता (जिसे संगति भी कहा जाता है) अनुमानी कार्यों पर लागू एक शर्त है। एक अनुमानी समारोह (एन) मोनोटोनिक है, यदि प्रत्येक नोड एन और एन के प्रत्येक उत्तराधिकारी एन 'के लिए किसी भी कार्रवाई से उत्पन्न होता है, एन से लक्ष्य तक पहुंचने की अनुमानित लागत एन' प्लस प्राप्त करने की चरण लागत से अधिक नहीं है n' से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत,

$h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).$

यह n, n' और लक्ष्य G के साथ त्रिभुज असमानता का एक रूप है_nएन के सबसे करीब। क्योंकि प्रत्येक मोनोटोनिक ह्यूरिस्टिक भी स्वीकार्य ह्यूरिस्टिक है, स्वीकार्यता की तुलना में मोनोटोनिकिटी एक सख्त आवश्यकता है। कुछ अनुमानी एल्गोरिथम जैसे A* खोज एल्गोरिद्म|A* को असम्बद्ध रूप से इष्टतम एल्गोरिथम सिद्ध किया जा सकता है, बशर्ते कि वे जिस अनुमानी का उपयोग करते हैं वह मोनोटोनिक हो।

बूलियन कार्यों में

File:Hasse3 x impl y and z.svg With the nonmonotonic function "if a then both b and c", false nodes appear above true nodes.

File:Hasse3 ge2.svg Hasse diagram of the monotonic function "at least two of a, b, c hold". Colors indicate function output values.

बूलियन बीजगणित (तर्क) में, एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन ऐसा है जो सभी के लिए है_i और बी_i {0,1} में, अगर a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ..., a_n ≤ b_n (यानी कार्टेशियन उत्पाद {0, 1}ⁿ को निर्देशांकानुसार क्रमित किया गया है), तब f(a₁, ..., a_n) ≤ f(b₁, ..., b_n). दूसरे शब्दों में, एक बूलियन फ़ंक्शन मोनोटोनिक होता है, अगर इनपुट के प्रत्येक संयोजन के लिए, इनपुट में से किसी एक को गलत से सही पर स्विच करने से केवल आउटपुट को गलत से सही पर स्विच किया जा सकता है, न कि सही से गलत पर। रेखांकन से, इसका मतलब यह है कि एक एन-आरी बूलियन फ़ंक्शन मोनोटोनिक है जब एक हाइपरक्यूब के रूप में इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है | सत्य मूल्यों के साथ लेबल किए गए एन-क्यूब में सत्य से असत्य तक कोई ऊपर की ओर नहीं है। (यह लेबल किया गया हस्से आरेख द्वैत (गणित) है # फ़ंक्शन के लेबल किए गए वेन आरेख का आयाम-उलटा द्वैत है, जो इसके लिए अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व है n ≤ 3.)

मोनोटोनिक बूलियन फ़ंक्शंस ठीक वे हैं जिन्हें केवल ऑपरेटर्स तार्किक संयोजन और तार्किक विच्छेदन (विशेष रूप से निषेध वर्जित है) का उपयोग करके इनपुट्स (जो एक से अधिक बार प्रकट हो सकते हैं) के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए कम से कम दो ए, बी, सी होल्ड ए, बी, सी का एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, क्योंकि इसे उदाहरण के लिए ((ए और बी) या (ए और सी) या (बी और सी)) के रूप में लिखा जा सकता है। .

n चरों पर ऐसे कार्यों की संख्या को n की डेडेकिंड संख्या के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

• मोनोटोन क्यूबिक इंटरपोलेशन
• छद्म-मोनोटोन ऑपरेटर
• स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक - डेटा के एक सेट में एकरसता का माप
• कुल एकरसता
• चक्रीय एकरसता
• ऑपरेटर मोनोटोन फ़ंक्शन

ग्रन्थसूची

• Bartle, Robert G. (1976). The elements of real analysis (second ed.).
• Grätzer, George (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. ISBN 0-7167-0442-0.
• Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2001). Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. ISBN 0-7190-3341-1.
• Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. p. 356. ISBN 0-387-00444-0.
• Riesz, Frigyes & Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Functional Analysis. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3.
• Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2010). Artificial Intelligence: A Modern Approach (3rd ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4.
• Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (April 1994). Mathematics for Economists (first ed.). ISBN 978-0-393-95733-4. (Definition 9.31)

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• असम्बद्ध रूप से इष्टतम एल्गोरिदम
• समन्वय क्रम
• हस्स आरेख
• नकार
• डेडेकाइंड संख्या

बाहरी संबंध

• "Monotone function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. "Monotonic Function". MathWorld.