क्लोजर (टोपोलॉजी)

For other uses, see Closure (disambiguation).

सांस्थिति में, एक सांस्थितिक समष्टि में बिंदुओं के एक उपवर्ग S को संवरण करने में S के सभी सीमा बिंदुओं के साथ S में सभी बिंदु शामिल होते हैं। S का संवरण होना समतुल्य रूप से संघ ( समुच्चय सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है S और इसकी सीमा ( सांस्थिति), और सभी संवरण समुच्चयों के प्रतिच्छेदन ( समुच्चय सिद्धांत) के रूप में भी S सहजता से, समापन को उन सभी बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है जो या तो अंदर हैं S या निकट S. एक बिंदु जो संवरण होने में है S का अनुगामी बिन्दु है S. संवरण होने की धारणा कई तरह से आंतरिक ( सांस्थिति) की धारणा के लिए द्वैत (गणित) है।

परिभाषाएँ

समापन बिंदु

Main article: Adherent point

$S$ के लिये यूक्लिडीय समष्टि के उपसमुच्चय के रूप में, $x$ के संवरण होने का बिंदु है $S$ अगर हर खुली गेंद $x$ पर केंद्रित है और उसका एक बिंदु $S$ होता है (यह बिंदु $x$ स्वयं हो सकता है )।

यह परिभाषा किसी भी उपसमुच्चय $S$ मीट्रिक स्थान $X$ के लिए सामान्यीकरण करती है । पूरी तरह से व्यक्त, $X$ मीट्रिक स्थान के रूप में मीट्रिक $d,$ $S$ के संवरण होने का बिंदु $x$ है यदि प्रत्येक $r>0$ के लिए कुछ $s\in S$ इस तरह उपलब्ध है कि दूरी $d(x,s)<r$ ($x=s$ की अनुमति है)। इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह कहना है कि $S$ के संवरण होने का बिंदु $x$ है अगर दूरी $d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0$ जहाँ पर $\inf$ निम्नतम और उच्चतम है।

यह परिभाषा खुली गेंद या गेंद को सांस्थिति शब्दावली के साथ बदलकर सांस्थितिक समष्टि का सामान्यीकरण करती है। मान लीजिए कि $S$ एक सांस्थितिक समष्टि $X$ का उपवर्ग है। फिर $S$ का संवरण होने का बिंदु या अनुयायी बिन्दु $x$ है अगर हर प्रतिवैस $x$ का एक बिंदु $S$ होता है (फिर से, $x=s$ के लिये $s\in S$ की अनुमति है)। ध्यान दें कि यह परिभाषा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि प्रतिवैस को खुला रखना आवश्यक है या नहीं।

सीमा बिंदु

Main article: Limit point of a set

समापन बिंदु की परिभाषा समुच्चय के सीमा बिंदु की परिभाषा से निकटता से संबंधित है। दो परिभाषाओं के बीच का अंतर सूक्ष्म लेकिन महत्वपूर्ण है - अर्थात्,एक सेट S के एक सीमा बिंदु $x$ की परिभाषा में $x$ के प्रत्येक प्रतिवैस में x के अलावा $S$ का एक बिंदु $x$ खुद होना चाहिए। (प्रत्येक $x$ का प्रतिवैस $x$ हो सकता है लेकिन इसका एक बिंदु $S$ का होना चाहिए $x$ इससे अलग है ।) एक समुच्चय के सभी सीमा बिंदुओं का समुच्चय $S$ कहा जाता है व्युत्पन्न समुच्चय of $S$ समुच्चय के सीमा बिंदु को समुच्चय का समूह बिंदु या संचय बिंदु भी कहा जाता है।

इस प्रकार, प्रत्येक सीमा बिंदु समापन बिंदु है, लेकिन समापन का प्रत्येक बिंदु सीमा बिंदु नहीं है। संवरण होने का बिंदु जो सीमा बिंदु नहीं है, एक पृथक बिंदु है। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु $x$ का पृथक बिंदु $S$ है अगर यह $S$ का एक तत्व है और $x$ का प्रतिवैस है जिसमें स्वयम् $x$ के अतिरिक्त $S$ का कोई अन्य बिंदु नहीं है। दिए गए समुच्चय के लिए $S$ और बिंदु $x,$ $x$ के संवरण होने का बिंदु है $S$ अगर और केवल अगर $x$ का एक तत्व है $S$ या $x$ का सीमा बिंदु है $S$ (अथवा दोनों)।

एक समुच्चय का संवरण होना

See also: Closure (mathematics)

closure }} उपसमुच्चय का $S$ एक सांस्थितिक समष्टि  का $(X,\tau ),$ द्वारा चिह्नित $\operatorname {cl} _{(X,\tau )}S$ या संभवतः द्वारा $\operatorname {cl} _{X}S$ (यदि $\tau$ समझा जाता है), जहां यदि दोनों $X$ तथा $\tau$ संदर्भ से स्पष्ट हैं तो इसे द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है $\operatorname {cl} S,$ ${\overline {S}},$ या $S{}^{-}$ (इसके अतिरिक्त, $\operatorname {cl}$ कभी-कभी पूंजीकृत किया जाता है $\operatorname {Cl}$.) निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाओं में से किसी का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है:

<ओल> <ली>$\operatorname {cl} S$ के सभी अनुगामी बिंदुओं का समुच्चय है $S.$</ली> <ली>$\operatorname {cl} S$ समुच्चय है $S$ व्युत्पन्न समुच्चय (गणित) के साथ।</ली> <ली>$\operatorname {cl} S$ युक्त सभी संवरण समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है $S.$</ली> <ली>$\operatorname {cl} S$ युक्त सबसे छोटा संवरण समुच्चय है $S.$</ली> <ली>$\operatorname {cl} S$ का संघ है $S$ और इसकी सीमा ( सांस्थिति) $\partial (S).$</ली> <ली>$\operatorname {cl} S$ सभी का समुच्चय है $x\in X$ जिसके लिए एक नेट (गणित) (मूल्यवान) मौजूद है $S$ जो अभिसरण करता है $x$ में $(X,\tau ).$</ली> </ओल>

एक समुच्चय के संवरण होने के निम्नलिखित गुण हैं।

• $\operatorname {cl} S$ का एक संवरण समुच्चय सुपर समुच्चय है $S$.
• समुच्चय $S$ संवरण है अगर और केवल अगर $S=\operatorname {cl} S$.
• यदि $S\subseteq T$ फिर $\operatorname {cl} S$ का उपसमुच्चय है $\operatorname {cl} T.$
• यदि $A$ एक संवरण समुच्चय है, फिर $A$ रोकना $S$ अगर और केवल अगर $A$ रोकना $\operatorname {cl} S.$

कभी-कभी ऊपर दी गई दूसरी या तीसरी संपत्ति को के रूप में लिया जाता है definition टोपोलॉजिकल क्लोजर, जो अभी भी अन्य प्रकार के क्लोजर पर लागू होने पर समझ में आता है (नीचे देखें)। पहले गणनीय स्थान में (जैसे मीट्रिक स्थान), $\operatorname {cl} S$ अंकों के सभी अभिसरण अनुक्रमों के अनुक्रम की सभी सीमा का समुच्चय है $S.$ एक सामान्य सांस्थितिक समष्टि के लिए, यह कथन सत्य रहता है यदि कोई अनुक्रम को नेट (गणित) या फ़िल्टर ( समुच्चय सिद्धांत) द्वारा प्रतिस्थापित करता है (जैसा कि सांस्थिति में फ़िल्टर पर आलेख में वर्णित है)।

ध्यान दें कि ये गुण तब भी संतुष्ट होते हैं जब क्लोजर, सुपर समुच्चय, इंटरसेक्शन, सम्‍मिलित/युक्त, सबसे छोटा और संवरण को इंटीरियर, उपवर्ग, यूनियन, में निहित, सबसे बड़ा और ओपन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस मामले पर अधिक जानकारी के लिए, नीचे क्लोजर ( सांस्थिति) # क्लोजर ऑपरेटर देखें।

उदाहरण

3 आयामी अंतरिक्ष में एक गोले पर विचार करें। स्पष्ट रूप से इस क्षेत्र द्वारा बनाई गई रुचि के दो क्षेत्र हैं; गोला स्वयं और इसका आंतरिक भाग (जिसे एक खुली 3-गेंद (गणित) कहा जाता है)। गोले के आंतरिक और सतह के बीच अंतर करना उपयोगी है, इसलिए हम खुली 3-गेंद (गोले का आंतरिक भाग) और संवरण 3-गेंद - खुली 3-गेंद के संवरण होने के बीच अंतर करते हैं ओपन 3-बॉल प्लस सतह (स्वयं गोले के रूप में सतह)।

टोपोलॉजिकल स्पेस में:

• किसी भी स्थान में, $\varnothing =\operatorname {cl} \varnothing .$
• किसी भी स्थान पर $X,$ $X=\operatorname {cl} X.$

दे रही है $\mathbb {R}$ तथा $\mathbb {C}$ मानक सांस्थिति | मानक (मीट्रिक) सांस्थिति:

• यदि $X$ यूक्लिडियन स्थान है $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्या का, तब $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1].$
• यदि $X$ यूक्लिडियन स्थान है $\mathbb {R}$, फिर समुच्चय का संवरण होना $\mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का संपूर्ण स्थान है $\mathbb {R} .$ हम कहते हैं $\mathbb {Q}$ सघन ( सांस्थिति) में है $\mathbb {R} .$
• यदि $X$ सम्मिश्र संख्या है $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},$ फिर $\operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.$
• यदि $S$ यूक्लिडीय समष्टि का एक परिमित समुच्चय उपसमुच्चय है $X,$ फिर $\operatorname {cl} _{X}S=S.$ (एक सामान्य सांस्थितिक समष्टि के लिए, यह गुण T1 स्पेस के बराबर है। T₁ स्वयंसिद्ध।)

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर मानक एक के बजाय अन्य सांस्थिति रख सकते हैं।

• यदि $X=\mathbb {R}$ निचली सीमा सांस्थिति के साथ संपन्न है, तब $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).$
• यदि कोई विचार करे $X=\mathbb {R}$ असतत सांस्थिति जिसमें हर समुच्चय संवरण (खुला) है, तब $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).$
• यदि कोई विचार करे $X=\mathbb {R}$ तुच्छ सांस्थिति जिसमें केवल संवरण (खुले) समुच्चय खाली समुच्चय होते हैं और $\mathbb {R}$ खुद, फिर $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .$

इन उदाहरणों से पता चलता है कि एक समुच्चय का संवरण होना अंतर्निहित स्थान की सांस्थिति पर निर्भर करता है। पिछले दो उदाहरण निम्नलिखित के विशेष मामले हैं।

• किसी भी असतत स्थान में, चूंकि हर समुच्चय संवरण है (और खुला भी), हर समुच्चय उसके संवरण होने के बराबर है।
• किसी भी अविच्छिन्न स्थान में $X,$ चूँकि केवल संवरण समुच्चय ही रिक्त समुच्चय होते हैं और $X$ स्वयं, हमारे पास यह है कि खाली समुच्चय का संवरण होना खाली समुच्चय है, और प्रत्येक गैर-खाली उपवर्ग के लिए $A$ का $X,$ $\operatorname {cl} _{X}A=X.$ दूसरे शब्दों में, अविच्छिन्न स्थान का प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय सघन समुच्चय होता है।

समुच्चय का संवरण होना इस बात पर भी निर्भर करता है कि हम किस जगह पर क्लोजर ले रहे हैं। उदाहरण के लिए, यदि $X$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, यूक्लिडीय समष्टि द्वारा प्रेरित सामान्य उप-स्थान सांस्थिति के साथ $\mathbb {R} ,$ और अगर $S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},$ फिर $S$ क्लोपेन समुच्चय है $\mathbb {Q}$ क्योंकि न तो $S$ न ही इसके पूरक समाहित हो सकते हैं ${\sqrt {2}}$, जिसकी निचली सीमा होगी $S$, लेकिन अंदर नहीं हो सकता $S$ इसलिये ${\sqrt {2}}$ तर्कहीन है। इसलिए, $S$ सीमा तत्वों के अंदर नहीं होने के कारण कोई अच्छी तरह से परिभाषित संवरण नहीं है $\mathbb {Q}$. हालांकि, अगर हम इसके बजाय परिभाषित करते हैं $X$ वास्तविक संख्याओं का समूह होने के लिए और उसी तरह अंतराल को परिभाषित करने के लिए तो उस अंतराल का संवरण होना अच्छी तरह से परिभाषित है और सभी का समुच्चय होगा real numbers से अधिक or equal to ${\sqrt {2}}$.

क्लोजर ऑपरेटर

See also: Closure operator and Kuratowski closure axioms

ए closure operator एक समुच्चय पर $X$ के शक्ति समुच्चय का मानचित्र (गणित) है $X,$ ${\mathcal {P}}(X)$, अपने आप में जो Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। एक सांस्थितिक समष्टि दिया गया $(X,\tau )$, टोपोलॉजिकल क्लोजर एक फंक्शन को प्रेरित करता है $\operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)$ जिसे एक उपवर्ग भेजकर परिभाषित किया गया है $S\subseteq X$ प्रति $\operatorname {cl} _{X}S,$ जहां अंकन ${\overline {S}}$ या $S^{-}$ की जगह इस्तेमाल किया जा सकता है। इसके विपरीत यदि $\mathbb {c}$ एक समुच्चय पर एक क्लोजर ऑपरेटर है $X,$ फिर संवरण समुच्चयों को ठीक उन उपवर्ग के रूप में परिभाषित करके एक सांस्थितिक समष्टि प्राप्त किया जाता है $S\subseteq X$ जो संतुष्ट करता है $\mathbb {c} (S)=S$ (इसलिए पूरक है $X$ इनमें से उपवर्ग सांस्थिति के खुले समुच्चय बनाते हैं)। संवरण करने वाला ऑपरेटर $\operatorname {cl} _{X}$ आंतरिक ( सांस्थिति) ऑपरेटर के लिए द्वैत (गणित) है, जिसे इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {int} _{X},$ इस अर्थ में कि

$\operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),$

और भी

$\operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).$

इसलिए, क्लोजर ऑपरेटरों के अमूर्त सिद्धांत और कुराटोस्की क्लोजर स्वयंसिद्धों को उनके पूरक ( समुच्चय सिद्धांत) के साथ समुच्चयों को बदलकर आंतरिक ऑपरेटरों की भाषा में आसानी से अनुवादित किया जा सकता है। $X.$ सामान्य तौर पर, क्लोजर ऑपरेटर चौराहों से आवागमन नहीं करता है। हालाँकि, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में निम्नलिखित परिणाम धारण करता है:

Theorem (C. Ursescu) — Let $S_{1},S_{2},\ldots$ be a sequence of subsets of a complete metric space $X.$

• If each $S_{i}$ is closed in $X$ then
  $$\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].$$
• If each $S_{i}$ is open in $X$ then
  $$\operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].$$

क्लोजर के बारे में तथ्य

उपसमुच्चय $S$ संवरण कर दिया गया है $X$ अगर और केवल अगर $\operatorname {cl} _{X}S=S.$ विशेष रूप से:

• खाली समुच्चय का संवरण होना खाली समुच्चय है;
• संवरण होना $X$ खुद है $X.$
• समुच्चय के प्रतिच्छेदन ( उपवर्ग सिद्धांत) का समापन हमेशा समुच्चय के संवरण के प्रतिच्छेदन का एक उपसमुच्चय (लेकिन इसके बराबर होने की आवश्यकता नहीं है) होता है।
• परिमित के एक संघ ( समुच्चय सिद्धांत) में कई समुच्चय, संघ के संवरण होने और संवरण होने के संघ बराबर हैं; शून्य समुच्चय का संघ खाली समुच्चय है, और इसलिए इस कथन में एक विशेष मामले के रूप में खाली समुच्चय को संवरण करने के बारे में पहले वाला बयान शामिल है।
• अपरिमित रूप से कई समुच्चयों के मिलन को संवरण करने के लिए संवरणों के मिलन के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह हमेशा संवरणों के मिलन का सुपर समुच्चय होता है।

यदि $S\subseteq T\subseteq X$ और अगर $T$ की एक सांस्थितिकीय उपसमष्टि है $X$ (जिसका अर्थ है कि $T$ सबस्पेस सांस्थिति से संपन्न है $X$ उस पर प्रेरित करता है), फिर $\operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ और संवरण करना $S$ में गणना की $T$ के प्रतिच्छेदन के बराबर है $T$ और संवरण करना $S$ में गणना की $X$:

$$\operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.$$

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

इसलिये $\operatorname {cl} _{X}S$ का बंद उपसमुच्चय है $X,$ चौराहा $T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ का बंद उपसमुच्चय है $T$ (सबस्पेस टोपोलॉजी की परिभाषा के अनुसार), जिसका तात्पर्य है $\operatorname {cl} _{T}S\subseteq T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ (इसलिये $\operatorname {cl} _{T}S$ है smallest का बंद उपसमुच्चय $T$ युक्त $S$). इसलिये $\operatorname {cl} _{T}S$ का बंद उपसमुच्चय है $T,$ सबस्पेस टोपोलॉजी की परिभाषा से, कुछ सेट मौजूद होना चाहिए $C\subseteq X$ ऐसा है कि $C$ में बंद है $X$ तथा $\operatorname {cl} _{T}S=T\cap C.$ इसलिये $S\subseteq \operatorname {cl} _{T}S\subseteq C$ तथा $C$ में बंद है $X,$ की न्यूनतमता $\operatorname {cl} _{X}S$ इसका आशय है $\operatorname {cl} _{X}S\subseteq C.$ दोनों पक्षों को साथ प्रतिच्छेद करता है $T$ दिखाता है $T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=\operatorname {cl} _{T}S.$ $\blacksquare$

यह इस प्रकार है कि $S\subseteq T$ का सघन उपसमुच्चय है $T$ अगर और केवल अगर $T$ का उपसमुच्चय है $\operatorname {cl} _{X}S.$ के लिए संभव है $\operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ का उचित उपसमुच्चय होना $\operatorname {cl} _{X}S;$ उदाहरण के लिए, ले लो $X=\mathbb {R} ,$ $S=(0,1),$ तथा $T=(0,\infty ).$ यदि $S,T\subseteq X$ लेकिन $S$ अनिवार्य रूप से का उपसमुच्चय नहीं है $T$ सिर्फ तभी

$$\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S$$

हमेशा गारंटी दी जाती है, जहां यह रोकथाम सख्त हो सकती है (उदाहरण के लिए विचार करें $X=\mathbb {R}$ सामान्य सांस्थिति के साथ, $T=(-\infty ,0],$ तथा $S=(0,\infty )$), हालांकि अगर $T$ के एक खुले उपसमुच्चय के साथ होता है $X$ फिर समानता $\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ धारण करेगा (कोई फर्क नहीं पड़ता के बीच संबंध $S$ तथा $T$).

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

होने देना $S,T\subseteq X$ और मान लो $T$ में खुला है $X.$ होने देना $C:=\operatorname {cl} _{T}(T\cap S),$ जो बराबर है $T\cap \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)$ (इसलिये $T\cap S\subseteq T\subseteq X$). पूरक $T\setminus C$ में खुला है $T,$ कहाँ पे $T$ में खुला होना $X$ अब इसका तात्पर्य है $T\setminus C$ में भी खुला है $X.$ फलस्वरूप $X\setminus (T\setminus C)=(X\setminus T)\cup C$ का बंद उपसमुच्चय है $X$ कहाँ पे $(X\setminus T)\cup C$ रोकना $S$ एक सबसेट के रूप में (क्योंकि अगर $s\in S$ में है $T$ फिर $s\in T\cap S\subseteq \operatorname {cl} _{T}(T\cap S)=C$), जिसका तात्पर्य है $\operatorname {cl} _{X}S\subseteq (X\setminus T)\cup C.$ दोनों पक्षों को साथ प्रतिच्छेद करता है $T$ यह साबित करता है $T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=C.$ रिवर्स समावेशन इस प्रकार है $C\subseteq \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.$ $\blacksquare$

नतीजतन, अगर ${\mathcal {U}}$ का कोई खुला आवरण है $X$ और अगर $S\subseteq X$ कोई उपसमुच्चय है तो:

$$\operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)$$

इसलिये $\operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S$ हरएक के लिए $U\in {\mathcal {U}}$ (जहां हर $U\in {\mathcal {U}}$ इसके द्वारा प्रेरित सबस्पेस सांस्थिति से संपन्न है $X$). यह समानता विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब $X$ एक मैनिफोल्ड (गणित) है और खुले आवरण में समुच्चय है ${\mathcal {U}}$ समन्वय चार्ट के डोमेन हैं। शब्दों में, यह परिणाम दर्शाता है कि संवरण होने में $X$ किसी भी उपसमुच्चय का $S\subseteq X$ के किसी भी खुले कवर के समुच्चय में स्थानीय रूप से गणना की जा सकती है $X$ और फिर एक साथ संघटित। इस तरह, इस परिणाम को सर्वविदित तथ्य के एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है कि एक उपवर्ग $S\subseteq X$ में संवरण है $X$ अगर और केवल अगर यह स्थानीय रूप से संवरण समुच्चय है $X$, मतलब अगर ${\mathcal {U}}$ का कोई खुला आवरण है $X$ फिर $S$ में संवरण है $X$ अगर और केवल अगर $S\cap U$ में संवरण है $U$ हरएक के लिए $U\in {\mathcal {U}}.$

कार्य और समापन

निरंतरता

Main article: Continuous function

एक समारोह $f:X\to Y$ सांस्थितिक समष्टि के बीच निरंतर कार्य है अगर और केवल अगर डोमेन में कोडोमेन के हर संवरण उपवर्ग की preimage संवरण है; स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है: $f^{-1}(C)$ में संवरण है $X$ जब भी $C$ का संवरण उपसमुच्चय है $Y.$ क्लोजर ऑपरेटर के संदर्भ में, $f:X\to Y$ यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए निरंतर है $A\subseteq X,$

$$f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).$$

यानी किसी भी तत्व को देखते हुए $x\in X$ जो एक उपसमुच्चय के संवरण होने से संबंधित है $A\subseteq X,$ $f(x)$ अनिवार्य रूप से संवरण करने के अंतर्गत आता है $f(A)$ में $Y.$ अगर हम इसे एक बिंदु घोषित करते हैं $x$ है close to उपसमुच्चय $A\subseteq X$ यदि $x\in \operatorname {cl} _{X}A,$ तो यह शब्दावली निरंतरता के एक सादे अंग्रेजी विवरण की अनुमति देती है: $f$ यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए निरंतर है $A\subseteq X,$ $f$ मानचित्र बिंदु जो निकट हैं $A$ के करीब बिंदुओं के लिए $f(A).$ इस प्रकार निरंतर कार्य वास्तव में वे कार्य हैं जो बिंदुओं और समुच्चयों के बीच निकटता संबंध (आगे की दिशा में) को संरक्षित करते हैं: एक फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि केवल और जब भी कोई बिंदु किसी समुच्चय के करीब होता है तो उस बिंदु की छवि छवि के करीब होती है उस समुच्चय का। इसी प्रकार, $f$ एक निश्चित बिंदु पर निरंतर है $x\in X$ अगर और केवल अगर जब भी $x$ एक उपसमुच्चय के करीब है $A\subseteq X,$ फिर $f(x)$ इसके करीब है $f(A).$

संवरण नक्शे

Main article: Open and closed maps

एक समारोह $f:X\to Y$ एक (दृढ़ता से) संवरण नक्शा है अगर और केवल जब भी $C$ का संवरण उपसमुच्चय है $X$ फिर $f(C)$ का संवरण उपसमुच्चय है $Y.$ क्लोजर ऑपरेटर के संदर्भ में, $f:X\to Y$ एक (दृढ़ता से) संवरण नक्शा है अगर और केवल अगर $\operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq X.$ समान रूप से, $f:X\to Y$ एक (दृढ़ता से) संवरण नक्शा है अगर और केवल अगर $\operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)$ प्रत्येक संवरण उपसमुच्चय के लिए $C\subseteq X.$

स्पष्ट व्याख्या

यूनिवर्सल एरो के संदर्भ में क्लोजर ऑपरेटर को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

एक समुच्चय का सत्ता स्थापित $X$ आंशिक क्रम श्रेणी (गणित) के रूप में महसूस किया जा सकता है $P$ जिसमें वस्तुएँ उपसमुच्चय हैं और आकारिकी समावेशन मानचित्र हैं $A\to B$ जब भी $A$ का उपसमुच्चय है $B.$ इसके अलावा, एक सांस्थिति $T$ पर $X$ की एक उपश्रेणी है $P$ समावेशन कारक के साथ $I:T\to P.$ एक निश्चित उपसमुच्चय वाले संवरण उपसमुच्चय का समुच्चय $A\subseteq X$ अल्पविराम श्रेणी से पहचाना जा सकता है $(A\downarrow I).$ यह श्रेणी - आंशिक क्रम भी - फिर प्रारंभिक वस्तु है $\operatorname {cl} A.$ इस प्रकार से एक सार्वभौमिक तीर है $A$ प्रति $I,$ समावेशन द्वारा दिया गया $A\to \operatorname {cl} A.$ इसी प्रकार, चूँकि प्रत्येक संवरण समुच्चय में $X\setminus A$ में निहित एक खुले समुच्चय के अनुरूप है $A$ हम श्रेणी की व्याख्या कर सकते हैं $(I\downarrow X\setminus A)$ में निहित खुले उपसमुच्चय के समुच्चय के रूप में $A,$ टर्मिनल वस्तु के साथ $\operatorname {int} (A),$ का आंतरिक ( सांस्थिति)। $A.$ क्लोजर के सभी गुणों को इस परिभाषा और उपरोक्त श्रेणियों के कुछ गुणों से प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, यह परिभाषा टोपोलॉजिकल क्लोजर और अन्य प्रकार के क्लोजर (उदाहरण के लिए बीजगणितीय क्लोजर) के बीच सादृश्य को सटीक बनाती है, क्योंकि सभी सार्वभौमिक तीरों के उदाहरण हैं।

यह भी देखें

• Adherent point
• Closure algebra
• संवरण नियमित समुच्चय, उनके इंटीरियर के संवरण होने के बराबर समुच्चय
• Derived set (mathematics)
• Interior (topology)
• Limit point of a set

ग्रन्थसूची

• Baker, Crump W. (1991), Introduction to Topology, Wm. C. Brown Publisher, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topology, Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topology, vol. I, Academic Press
• Pervin, William J. (1965), Foundations of General Topology, Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topology, Allyn and Bacon
• Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• सीमा अंक
• चौराहा ( समुच्चय सिद्धांत)
• अनुगामी बिंदु
• द्वंद्व (गणित)
• इंटीरियर ( सांस्थिति)
• एक समुच्चय का सीमा बिंदु
• प्रथम-गणनीय स्थान
• अनुक्रम की सीमा
• सांस्थिति में फिल्टर
• वृत्त
• जटिल संख्या
• अंधाधुंध रिक्त स्थान
• घना समुच्चय
• सबस्पेस सांस्थिति
• नक्शा (गणित)
• सत्ता स्थापित
• कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स
• खुला समुच्चय
• टोपोलॉजिकल सबस्पेस
• खुला ढक्कन
• कई गुना (गणित)
• सामान्य अंग्रेजी
• आंशिक आदेश
• समावेशन नक्शा
• बीजगणितीय समापन

बाहरी संबंध

• "Closure of a set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]