एपिग्राफ (गणित)

Not to be confused with एपिग्राफ (साहित्य).

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एक फंक्शन का एपिग्राफ

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एक फ़ंक्शन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि उसके ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल समूह है। यह क्षेत्र समारोह का एपिग्राफ है।

गणित में, किसी फंक्शन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$का विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ समुच्चय है, जिसे $\operatorname {epi} f,$निरूपित किया जाता है I कार्टेशियन उत्पाद में सभी बिंदु का $X\times \mathbb {R}$ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर स्थित है। सख्त एपिग्राफ $\operatorname {epi} _{S}f$ में बिंदुओं का समूह है $X\times \mathbb {R}$ ठीक इसके ग्राफ़ के ऊपर है।

महत्वपूर्ण रूप से, चूँकि $f$ ग्राफ और एपिग्राफ दोनों में $X\times [-\infty ,\infty ],$ बिंदु सम्मलित हैं एपिग्राफ में उपसमुच्चय $X\times \mathbb {R} ,$ में पूरी तरह से बिंदु होते हैं, जो $f.$ यदि फ़ंक्शन $\pm \infty$ को एक मान के रूप में लेता है तो पूरी तरह से मूल्य के रूप में $\operatorname {graph} f$ नहीं इसके एपिग्राफ का एक उपसमुच्चय हो $\operatorname {epi} f.$ उदाहरण के लिए, यदि $f\left(x_{0}\right)=\infty$ फिर बिंदु $\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)$ का होगा $\operatorname {graph} f$ लेकिन नहीं $\operatorname {epi} f.$ ये दो समूह फिर भी निकटता से संबंधित हैं क्योंकि ग्राफ को सदैव एपिग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

वास्तविक विश्लेषण में निरंतर कार्य वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन परंपरागत रूप से एक फ़ंक्शन के उनके ग्राफ़ के अध्ययन से जुड़ा हुआ है, जो समूह हैं जो इन कार्यों के बारे में ज्यामितीय जानकारी प्रदान करते हैं। एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्रों में इसी उद्देश्य की पूर्ति करते हैं, जिसमें प्राथमिक फोकस $[-\infty ,\infty ]$ उत्तल कार्यों पर होता है , सदिश स्थान (जैसे $\mathbb {R}$ या $\mathbb {R} ^{2}$) में मान वाले निरंतर कार्यों के अतिरिक्त है. ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य तौर पर, ऐसे कार्यों के लिए, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान किसी फ़ंक्शन के एपिग्राफ से उसके ग्राफ की तुलना में अधिक आसानी से प्राप्त होता है। इसी तरह वास्तविक विश्लेषण में ग्राफ़ का उपयोग कैसे किया जाता है, एपिग्राफ का उपयोग अधिकांशतः एक उत्तल फ़ंक्शन के गुणों की ज्यामितीय व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, परिकल्पना तैयार करने या सिद्ध करने में सहायता करने के लिए, या प्रति उदाहरण के निर्माण में सहायता के लिए है।

परिभाषा

एपिग्राफ की परिभाषा एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्रेरित थी, जहां ग्राफ़ के $f:X\to Y$ समूह के रूप में परिभाषित किया गया है

$\operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.$

सूक्ति }} या सुपरग्राफ  एक फ़ंक्शन का  $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ समूह है

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}\{x\}\times [f(x),\infty )~~~{\text{ (संयुक्त किए जा रहे सभी सेट जोड़ीदार असंयुक्त हैं). }}\end{alignedat}}$

संघ में खत्म $x\in f^{-1}(\mathbb {R} )$