एपिग्राफ (गणित)

Not to be confused with epigraph (literature).

एक समारोह का एपिग्राफ

एक फ़ंक्शन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि उसके ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल सेट है। यह क्षेत्र समारोह का एपिग्राफ है।

गणित में, एपिग्राफ या सुपरग्राफएक समारोह की (गणित) $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ समुच्चय (गणित) है, जिसे निरूपित किया जाता है $\operatorname {epi} f,$ कार्टेशियन उत्पाद में सभी बिंदुओं की $X\times \mathbb {R}$ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर झूठ बोल रहा है। सख्त एपिग्राफ $\operatorname {epi} _{S}f$ में बिंदुओं का समूह है $X\times \mathbb {R}$ इसके ग्राफ से सख्ती से ऊपर है।

महत्वपूर्ण रूप से, हालांकि ग्राफ और एपिग्राफ दोनों $f$ में अंक होते हैं $X\times [-\infty ,\infty ],$ एपिग्राफ शामिल है entirely उपसमुच्चय में अंकों की $X\times \mathbb {R} ,$ जो जरूरी नहीं कि ग्राफ के लिए सही हो $f.$ अगर समारोह लेता है $\pm \infty$ तब मूल्य के रूप में $\operatorname {graph} f$ मर्जी not इसके एपिग्राफ का एक उपसमुच्चय हो $\operatorname {epi} f.$ उदाहरण के लिए, यदि $f\left(x_{0}\right)=\infty$ फिर बिंदु $\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)$ का होगा $\operatorname {graph} f$ लेकिन नहीं $\operatorname {epi} f.$ ये दो सेट फिर भी निकटता से संबंधित हैं क्योंकि ग्राफ को हमेशा एपिग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

वास्तविक विश्लेषण में निरंतर कार्य वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन परंपरागत रूप से एक फ़ंक्शन के उनके ग्राफ़ के अध्ययन से जुड़ा हुआ है, जो सेट हैं जो इन कार्यों के बारे में ज्यामितीय जानकारी (और अंतर्ज्ञान) प्रदान करते हैं। एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्रों में इसी उद्देश्य की पूर्ति करते हैं, जिसमें प्राथमिक फोकस उत्तल कार्यों पर होता है $[-\infty ,\infty ]$ सदिश स्थान में मान वाले निरंतर कार्यों के बजाय (जैसे $\mathbb {R}$ या $\mathbb {R} ^{2}$). ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य तौर पर, ऐसे कार्यों के लिए, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान किसी फ़ंक्शन के एपिग्राफ से उसके ग्राफ की तुलना में अधिक आसानी से प्राप्त होता है। इसी तरह वास्तविक विश्लेषण में ग्राफ़ का उपयोग कैसे किया जाता है, एपिग्राफ का उपयोग अक्सर एक उत्तल फ़ंक्शन के गुणों की ज्यामितीय व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, परिकल्पना तैयार करने या साबित करने में मदद करने के लिए, या प्रति उदाहरण के निर्माण में सहायता के लिए।

परिभाषा

एपिग्राफ की परिभाषा एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्रेरित थी, जहां graph का $f:X\to Y$ सेट के रूप में परिभाषित किया गया है

$\operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.$

epigraph }} या supergraph एक समारोह का  $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ सेट है

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}\{x\}\times [f(x),\infty )~~~{\text{ (all sets being unioned are pairwise disjoint). }}\end{alignedat}}$

संघ में खत्म $x\in <!--\; \in \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}($