अगनेसी की विच

एग्नेसी वक्र(हरा) के चयनित विच, और त्रिज्या मापदंडों के साथ वे(नीले) से निर्मित मंडलियां हैं $a=1$, $a=2$, $a=4$, तथा $a=8$.

गणित में अगनेसी की डायन (Italian pronunciation: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi]: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi])

एक वृत्त के दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं से परिभाषित एक घन समतल वक्र है। इसका नाम इतालवी गणितज्ञ मारिया गेटाना अगनेसी और एक शीट(नौकायन) के लिए एक इतालवी शब्द के गलत अनुवाद से हुआ है। एग्नेसी से पहले, इस वक्र का अध्ययन पियरे डी प्रारूप, लुइगी गुइडो ग्रैंडी और आइजैक न्यूटन ने किया था।

चापस्पर्शी फलन के व्युत्पन्न के फलन का ग्राफ़ अग्नेसी की डायन के लिए एक उदाहरण है। कॉची वितरण के संभाव्यता घनत्व फलन के रूप में, एग्नेसी की डायन में संभाव्यता सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं। यह बहुपदों द्वारा फलन के सन्निकटन में रूंज की परिघटना को भी जन्म देता है,

वर्णक्रमीय रेखाओं के ऊर्जा वितरण और पहाड़ियों के आकार के मॉडल का अनुमान लगाने के लिए इसका उपयोग किया गया है।

डायन दो परिभाषित बिंदुओं में से एक पर अपने परिभाषित वृत्त के लिए स्पर्शरेखा है, और दूसरे बिंदु पर इसके समूहों के लिए प्राप्त मान के लिए स्पर्शरेखा रेखाओं के लिए स्पर्शोन्मुख होते है। इसके परिभाषित वक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर इसका एक अनूठा शीर्ष(वक्र) (इसकी अधिकतम वक्रता का एक बिंदु) है, जो उस बिंदु पर इसका दोलन वक्र भी देता है। इसके दो परिमित विभक्ति बिंदु और एक अनंत विभक्ति बिंदु भी हैं। डायन और उसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच का क्षेत्र परिभाषित वृत्त के क्षेत्रफल का चार गुना होता है, और इसकी परिभाषित रेखाओं के चारों ओर वक्र की क्रांति का आयतन इसके परिभाषित वृत्त के क्रांति के टोरस्र्स के आयतन का दोगुना होता है।

निर्माण

अगनेसी की डायन (वक्र एमपी) लेबल वाले बिंदुओं के साथ

अगनेसी की डायन के निर्माण को दर्शाने वाला एक एनीमेशन

इस वक्र का निर्माण करने के लिए, इसके किन्हीं दो बिंदुओं O और M से प्रारम्भ करते हैं और OM को व्यास मानकर एक वृत्त बनाते हैं। इस प्रकार वृत्त पर किसी बिंदु A के लिए, मान लीजिए कि N छेदक रेखा OA और M पर स्पर्श रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

मान लीजिए कि P, A से होकर OM पर लम्बवत रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है, और N से होकर OM के समानांतर रेखा है। तब P अग्नेसी की डायन पर स्थित है। डायन में वे सभी बिंदु P होते हैं जिनका निर्माण O और M के एक ही विकल्प से किया जा सकता है। इसमें एक सीमित की स्थिति के रूप में, बिंदु एम भी सम्मलित हैं।

समीकरण

मान लीजिए कि बिंदु O उत्पत्ति पर है और बिंदु M धनात्मक पर स्थित है $y$-अक्ष है, और व्यास OM वाले वृत्त का है

फिर O से निर्मित डायन और M कार्तीय समीकरण है

$$y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}.$$

इस समीकरण $a={\tfrac {1}{2}}$, के रूप को को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है

$$y={\frac {1}{x^{2}+1}}.$$

या समतुल्य रूप से, समाशोधन हर द्वारा, घन बीजगणितीय समीकरण के रूप में

$$(x^{2}+1)y=1.$$

अपने सरलीकृत रूप में, यह वक्र आर्कटैंजेंट फलन के व्युत्पन्न के फलन का ग्राफ़ है। अगनेसी के डायन को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है जिसका पैरामीटर θ OM और OA के बीच का कोण है, जिसे दक्षिणावर्त मापा जाता है:

$${\begin{aligned}x&=2a\tan \theta ,\\y&=2a\cos ^{2}\theta .\end{aligned}}$$

गुण

इस वक्र के मुख्य गुणों को समाकलन कलन से प्राप्त किया जा सकता है।

डायन और उसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच का क्षेत्र निश्चित वृत्त के क्षेत्रफल $4\pi a^{2}$. का चार गुना है,

अपने स्पर्शोन्मुख के बारे में अगनेसी की डायन की क्रांति का आयतन $4\pi ^{2}a^{3}$. हैं यह एक ही रेखा के चारों ओर डायन के परिभाषित चक्र को घुमाने से बनने वाले टोरस के आयतन का दो गुना है।

वक्र में अपने परिभाषित चक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक अद्वितीय अक्ष होते हैं। यही है, यह बिंदु एकमात्र ऐसा बिंदु है जहां वक्रता स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम तक पहुंचती है। डायन का परिभाषित चक्र भी शीर्ष पर उसका दोलन चक्र है, अद्वितीय वृत्त जो समान अभिविन्यास और वक्रता साझा करके उस बिंदु पर वक्र को स्पर्श करता है। चूँकि यह वक्र के शीर्ष पर एक दोलनशील वृत्त है, इसमें वक्र के साथ संपर्क (गणित) यहाँ पर तीसरा-क्रम संपर्क है। बिंदुओं पर वक्र के दो विभक्ति बिंदु होते हैं

$$\left(\pm {\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)$$

इसके अनुरूप angles $\theta =\pm \pi /6$. जब प्रक्षेपी तल में एक वक्र के रूप में माना जाता है, तो उस बिंदु पर एक तीसरा अनंत विभक्ति बिंदु भी होता है, जहां अनन्तता पर रेखा स्पर्शोन्मुख रेखा से पार हो जाती है। क्योंकि इसका एक विभक्ति बिंदु अनंत है, डायन के पास किसी भी गैर-एकैकी घन के परिमित वास्तविक विभक्ति बिंदुओं की न्यूनतम संभव संख्या है।

एक आयत का सबसे बड़ा क्षेत्र $4a^{2}$, हैं जिसे डायन और उसके स्पर्शोन्मुख के बीच अंकित किया जा सकता है एक आयत के लिए जिसकी ऊँचाई परिभाषित वृत्त की त्रिज्या है और जिसकी चौड़ाई वृत्त के व्यास से दोगुनी है।

इतिहास

प्रारंभिक अध्ययन

अगनेसी का 1748 वक्र और उसके निर्माण का चित्रण

वक्र का अध्ययन पियरे डी फ़र्मेट ने अपने 1659 के ग्रंथ चतुर्भुज(गणित) में किया था। इसमें, प्रारूप वक्र के नीचे क्षेत्र की गणना करता है और(विवरण के बिना) दावा करता है कि विधि डायोक्लेस के सिसॉइड तक भी फैली हुई है। फ़र्मेट लिखते हैं कि वक्र का सुझाव उन्हें एरुडिटो जियोमेट्रा [एक विद्वान जियोमीटर] द्वारा दिया गया था। पैराडिस, प्ला & वियाडिर (2008) की कल्पना करें कि जिस जियोमीटर ने फ़र्मेट को इस वक्र का सुझाव दिया था, वह एंटोनी डी लालौबेयर हो सकता है।

इस वक्र के लिए ऊपर दिए गए निर्माण द्वारा पाया गया था Grandi (1718); इसी निर्माण को आइजैक न्यूटन ने पहले भी पाया था, लेकिन बाद में 1779 में केवल मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था।

Grandi (1718) वक्र के लिए वर्सिएरा (इतालवी में) या वर्सोरिया (लैटिन में) नाम का भी सुझाव दिया। लैटिन शब्द का प्रयोग शीट (नौकायन) के लिए भी किया जाता है, रस्सी जो पाल को परिवर्तित कर देती है, लेकिन ग्रैंडी ने इसके निर्माण में प्रकट होने वाले उसका संस्करण फलन को संदर्भित करने के अतिरिक्त केवल इसका आशय किया हो सकता है।

1748 में, मारिया गेटाना एग्नेसी ने इस फलन पर एक प्रारंभिक पाठ्यपुस्तक इंस्टीट्यूट एनालिटिश एड यूसो डेला जोवेंटु इटालियाना प्रकाशित की।

इसमें, पहले दो अन्य वक्रों पर विचार करने के बाद, वह इस वक्र का अध्ययन सम्मिलित करती है। वह वक्र को ज्यामितीय रूप से एक निश्चित अनुपात को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित करती है, इसके बीजगणितीय समीकरण को निर्धारित करती है, और इसके शीर्ष, स्पर्शोन्मुख रेखा और विभक्ति बिंदुओं को खोजती है।

व्युत्पत्ति

मारिया गेटाना एग्नेसी ने ग्रैंडी, वर्सिएरा के अनुसार वक्र का नाम दिया। संयोग से, उस समय इटली में शैतान, ईश्वर के विरोधी के बारे में बात करना एक सरल बात थी, लैटिन एडवर्सेरियस से व्युत्पन्न एवर्सिएरो या वर्सिएरो जैसे अन्य शब्दों के माध्यम से। वर्सिएरा, विशेष रूप से, शैतान, या डायन की पत्नी को इंगित करने के लिए उपयोग किया गया था। इस कारण कैम्ब्रिज के प्रोफेसर जॉन कोलसन ने वक्र के नाम को डायन के रूप में गलत अनुवाद कर दिया। अगनेसी और वक्र के बारे में अलग-अलग आधुनिक कार्य थोड़े अलग अनुमानों का सुझाव देते हैं कि वास्तव में यह गलत अनुवाद कैसे हुआ। डर्क-जन स्ट्रुइक ने उल्लेख किया है कि:

वर्सिएरा शब्द लैटिन वर्टेरे से लिया गया है, जिसका अर्थ टर्न है, लेकिन यह इटालियन एवर्सिएरा, फीमेल डेविल का संक्षिप्त नाम भी है। इंग्लैंड में कुछ बुद्धिजीवियों ने एक बार इसका अनुवाद 'विच' कर दिया था, और मूर्खतापूर्ण वाक्य अभी भी अंग्रेजी भाषा की हमारी अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में प्रेमपूर्वक संरक्षित है। ... वक्र पहले से ही फर्मेट ('ओउवेरेस, I, 279-280; III, 233-234) और अन्य के लेखन में प्रकट हो चुका था; वर्सिएरा नाम गुइडो ग्रांडी ('क्वाड्रैटुरा सर्कुली एट हाइपरबोले', पीसा, 1703) से है। वक्र न्यूटन के वर्गीकरण में टाइप 63 है। ... इस अर्थ में 'विच' शब्द का प्रयोग करने वाले पहले व्यक्ति बी विलियमसन, इंटीग्रल कैलकुलस, 7 (1875), 173; देखें ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी '।

दूसरी ओर, स्टीफन स्टिगलर का सुझाव है कि ग्रैंडी खुद शब्दों पर एक नाटक में लिप्त हो सकते हैं, शैतान को छंद से जोड़ने वाला एक दोहरा वाक्य और महिला के वक्ष के आकार के लिए साइन फलन(दोनों को सेनो के रूप में लिखा जा सकता है)।

अनुप्रयोग

वक्र का एक छोटा संस्करण कॉची बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन है। यह यादृच्छिक चर पर संभाव्यता वितरण है $x$ निम्नलिखित प्रयोग (संभाव्यता सिद्धांत) द्वारा निर्धारित: एक निश्चित बिंदु के लिए $p$ इसके ऊपर $x$-अक्ष यादृच्छिक रूप से एक पंक्ति में समान रूप से $p$,के माध्यम से चुनें और $x$ उस बिंदु का निर्देशांक हो जहां यह यादृच्छिक रेखा अक्ष को काटती है। कॉची वितरण में एक सीमा का वितरण होता है जो सामान्य वितरण जैसा दिखता है, लेकिन इसकी भारी-पूंछ वितरण इसकी समरूपता के अतिरिक्त सामान्य परिभाषाओं द्वारा अपेक्षित मूल्य होने से रोकता है। डायन के संदर्भ में, इसका मतलब है कि $x$-अक्ष इस क्षेत्र की समरूपता और परिमित क्षेत्र के अतिरिक्त, वक्र और इसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच के क्षेत्र का केन्द्रक अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, जब समान दूरी वाले प्रक्षेप बिंदुओं के साथ बहुपद प्रक्षेप का उपयोग करते हुए इनके फलन का अनुमान लगाया जाता है, तो यह कुछ फलनों के लिए इस स्थिति में हो सकता है कि अधिक बिंदुओं का उपयोग करने से सन्निकटन बन जाता है, जिससे कि प्रक्षेप उस कार्य से अलग हो जाता है जो इसे अभिसरण करने के अतिरिक्त अनुमानित करने का प्रयास करता है। इस विरोधाभासी व्यवहार को रूंज की घटना कहा जाता है। यह पहली बार कार्ल डेविड टोल्मे रनगे द्वारा रनगे के फलन $y=1/(1+25x^{2})$, के लिए खोजा गया था एग्नेसी की डायन का एक और छोटा संस्करण, जब इस फलन को $[-1,1]$ सीमा के लिए प्रक्षेपित करता है तथा डायन के लिए $y=1/(1+x^{2})$ पर खुद को व्यापक पर interval $[-5,5]$. भी यही घटना होती है।

एग्नेसी की डायन वर्णक्रमीय रेखाओं, विशेष रूप से एक्स-रे रेखाओं के वर्णक्रमीय ऊर्जा वितरण का अनुमान लगाती है।

एक चिकनी पहाड़ी के क्रॉस-सेक्शन में डायन के समान आकार होता है। गणितीय मॉडलिंग में प्रवाह में इस आकार के वक्रों को सामान्य स्थलाकृतिक बाधा के रूप में उपयोग किया गया है।

गहरे पानी में सॉलिटॉन्स भी यह आकार ले सकते हैं।

इस वक्र के एक संस्करण का उपयोग गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा π के लिए लीबनिज सूत्र को व्युत्पन्न करने के लिए किया गया था। यह सूत्र, अनंत श्रृंखला

$${\frac {\pi }{4}}=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,$$

के अभिन्न के साथ वक्र के नीचे के क्षेत्र की बराबरी करके फंक्शन $1/(1+x^{2})$, प्राप्त किया जा सकता है।

अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में इस फलन के टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करना $1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots$, और टर्म-बाय-टर्म को एकीकृत करना।

लोकप्रिय संस्कृति में

रॉबर्ट स्पिलर के एक उपन्यास का शीर्षक द विच ऑफ एग्नेसी है। इसमें एक दृश्य सम्मलित है जिसमें शिक्षक शब्द के इतिहास का एक संस्करण देता है।

एग्नेसी की डायन जैज क्वार्टेट रेडियस द्वारा बनाया गया एक संगीत एल्बम का शीर्षक भी है। एल्बम के कवर में डायन के निर्माण का प्रतिबिम्ब है।

बाहरी संबंध

• "Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index
• Weisstein, Eric W., "Witch of Agnesi", MathWorld
• Witch of Agnesi by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
• "Witch of Agnesi" at "mathcurve"
• Lamb, Evelyn (28 May 2018), "A Few of My Favorite Spaces: The Witch of Agnesi", Roots of Unity, Scientific American