अगनेसी की विच

एग्नेसी कर्व्स (हरा) के चयनित विच, और त्रिज्या मापदंडों के साथ वे (नीले) से निर्मित मंडलियां हैं $a=1$, $a=2$, $a=4$, तथा $a=8$.

गणित में, अगनेसी की डायन (Italian pronunciation: [aɲˈɲeːzi, -eːsi; -ɛːzi]) एक वृत्त के दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं से परिभाषित एक घन समतल वक्र है। इसका नाम इतालवी गणितज्ञ मारिया गेटाना अगनेसी और एक शीट (नौकायन) के लिए एक इतालवी शब्द के गलत अनुवाद से मिलता है।. एग्नेसी से पहले, इसी वक्र का अध्ययन पियरे डी फर्मेट, लुइगी गुइडो ग्रैंडी और आइजैक न्यूटन ने किया था।

चापस्पर्शी फलन के व्युत्पन्न के एक फलन का ग्राफ़ अग्नेसी की चुड़ैल का एक उदाहरण बनाता है। कॉची वितरण के संभाव्यता घनत्व समारोह के रूप में, एग्नेसी की चुड़ैल में संभाव्यता सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं। यह बहुपदों द्वारा कार्यों के सन्निकटन में रूंज की परिघटना को भी जन्म देता है, वर्णक्रमीय रेखाओं के ऊर्जा वितरण और पहाड़ियों के आकार के मॉडल का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया गया है।

डायन दो परिभाषित बिंदुओं में से एक पर अपने परिभाषित वृत्त के लिए स्पर्शरेखा है, और दूसरे बिंदु पर मंडलियों के लिए स्पर्शरेखा रेखाओं के लिए स्पर्शोन्मुख है। इसके परिभाषित चक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर इसका एक अनूठा शीर्ष (वक्र) (चरम वक्रता का एक बिंदु) है, जो उस बिंदु पर इसका दोलन चक्र भी है। इसके दो परिमित विभक्ति बिंदु और एक अनंत विभक्ति बिंदु भी हैं। डायन और उसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच का क्षेत्र परिभाषित वृत्त के क्षेत्रफल का चार गुना है, और इसकी परिभाषित रेखा के चारों ओर वक्र की क्रांति का आयतन इसके परिभाषित वृत्त के क्रांति के टोरस्र्स के आयतन का दोगुना है।

निर्माण

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अगनेसी की चुड़ैल (वक्र एमपी) लेबल वाले बिंदुओं के साथ

File:Agnesi.gif

अगनेसी की चुड़ैल के निर्माण को दर्शाने वाला एक एनीमेशन

इस वक्र का निर्माण करने के लिए, किन्हीं दो बिंदुओं O और M से शुरू करें, और OM को व्यास मानकर एक वृत्त बनाएं। वृत्त पर किसी अन्य बिंदु A के लिए, मान लीजिए कि N छेदक रेखा OA और M पर स्पर्श रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

मान लीजिए कि P, A से होकर OM पर लम्बवत रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है, और N से होकर OM के समानांतर रेखा है। तब P अग्नेसी की चुड़ैल पर स्थित है। डायन में वे सभी बिंदु P होते हैं जिनका निर्माण O और M के एक ही विकल्प से किया जा सकता है। इसमें एक सीमित मामले के रूप में, बिंदु एम ही शामिल है।

समीकरण

मान लीजिए कि बिंदु O उत्पत्ति (गणित) पर है और बिंदु M धनात्मक पर स्थित है $y$-अक्ष है, और व्यास OM वाले वृत्त का है radius $a$. फिर ओ से निर्मित चुड़ैल and M कार्तीय समीकरण है

$$y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}.$$

चुनकर इस समीकरण को सरल बनाया जा सकता है $a={\tfrac {1}{2}}$, रूप को

$$y={\frac {1}{x^{2}+1}}.$$

या समतुल्य रूप से, समाशोधन हर द्वारा, घन बीजगणितीय समीकरण के रूप में

$$(x^{2}+1)y=1.$$

अपने सरलीकृत रूप में, यह वक्र आर्कटैंजेंट फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के फ़ंक्शन का ग्राफ़ है। अगनेसी की चुड़ैल को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है जिसका पैरामीटर θ OM और OA के बीच का कोण है, जिसे दक्षिणावर्त मापा जाता है:

$${\begin{aligned}x&=2a\tan \theta ,\\y&=2a\cos ^{2}\theta .\end{aligned}}$$

गुण

इस वक्र के मुख्य गुणों को समाकलन कलन से प्राप्त किया जा सकता है। डायन और उसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच का क्षेत्र निश्चित वृत्त के क्षेत्रफल का चार गुना है, $4\pi a^{2}$. अपने स्पर्शोन्मुख के बारे में अगनेसी की चुड़ैल की क्रांति का आयतन is $4\pi ^{2}a^{3}$. यह एक ही रेखा के चारों ओर चुड़ैल के परिभाषित चक्र को घुमाने से बनने वाले टोरस के आयतन का दो गुना है। वक्र में अपने परिभाषित चक्र के साथ स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक अद्वितीय वर्टेक्स (वक्र) होता है। यही है, यह बिंदु एकमात्र ऐसा बिंदु है जहां वक्रता स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम तक पहुंचती है। चुड़ैल का परिभाषित चक्र भी शीर्ष पर उसका दोलन चक्र है, अद्वितीय वृत्त जो समान अभिविन्यास और वक्रता साझा करके उस बिंदु पर वक्र को चूमता है। चूँकि यह वक्र के शीर्ष पर एक दोलनशील वृत्त है, इसमें वक्र के साथ संपर्क (गणित)|तीसरा-क्रम संपर्क है। बिंदुओं पर वक्र के दो विभक्ति बिंदु होते हैं

$$\left(\pm {\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)$$

के अनुरूप angles $\theta =\pm \pi /6$. जब प्रक्षेपी तल में एक वक्र के रूप में माना जाता है, तो उस बिंदु पर एक तीसरा अनंत विभक्ति बिंदु भी होता है, जहां अनन्तता पर रेखा स्पर्शोन्मुख रेखा से पार हो जाती है। क्योंकि इसका एक विभक्ति बिंदु अनंत है, चुड़ैल के पास किसी भी गैर-एकवचन घन के परिमित वास्तविक विभक्ति बिंदुओं की न्यूनतम संभव संख्या है। curve.

एक आयत का सबसे बड़ा क्षेत्र जिसे डायन और उसके स्पर्शोन्मुख के बीच अंकित किया जा सकता है is $4a^{2}$, एक आयत के लिए जिसकी ऊँचाई परिभाषित वृत्त की त्रिज्या है और जिसकी चौड़ाई आयत के व्यास से दोगुनी है circle.

इतिहास

प्रारंभिक अध्ययन

File:Witch of Agnesi (Agnesi, 1748).jpg

अगनेसी का 1748 वक्र और उसके निर्माण का चित्रण

वक्र का अध्ययन पियरे डी फ़र्मेट ने अपने 1659 के ग्रंथ चतुर्भुज (गणित) में किया था। इसमें, फर्मेट वक्र के नीचे क्षेत्र की गणना करता है और (विवरण के बिना) दावा करता है कि एक ही विधि डायोक्लेस के सिसॉइड तक भी फैली हुई है। फ़र्मेट लिखते हैं कि वक्र का सुझाव उन्हें एरुडिटो जियोमेट्रा [एक विद्वान जियोमीटर द्वारा] दिया गया था। Paradís, Pla & Viader (2008) कल्पना करें कि जिस जियोमीटर ने फ़र्मेट को इस वक्र का सुझाव दिया था, वह एंटोनी डी लालौबेयर हो सकता है।

इस वक्र के लिए ऊपर दिए गए निर्माण द्वारा पाया गया था Grandi (1718); इसी निर्माण को आइजैक न्यूटन ने पहले भी पाया था, लेकिन बाद में 1779 में केवल मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था। Grandi (1718) वक्र के लिए वर्सिएरा (इतालवी में) या वर्सोरिया (लैटिन में) नाम का भी सुझाव दिया। लैटिन शब्द का प्रयोग शीट (नौकायन) के लिए भी किया जाता है, रस्सी जो पाल को बदल देती है, लेकिन ग्रैंडी ने इसके निर्माण में प्रकट होने वाले उसका संस्करण फ़ंक्शन को संदर्भित करने के बजाय केवल इसका इरादा किया हो सकता है। 1748 में, मारिया गेटाना एग्नेसी ने कलन पर एक प्रारंभिक पाठ्यपुस्तक Instituzioni analitiche ad uso della joventù italiana प्रकाशित की। इसमें, पहले दो अन्य वक्रों पर विचार करने के बाद, वह इस वक्र का अध्ययन शामिल करती है। वह वक्र को ज्यामितीय रूप से एक निश्चित अनुपात को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित करती है, इसके बीजगणितीय समीकरण को निर्धारित करती है, और इसके शीर्ष, स्पर्शोन्मुख रेखा और विभक्ति बिंदुओं को खोजती है।

व्युत्पत्ति

मारिया गेटाना एग्नेसी ने ग्रैंडी, वर्सिएरा के अनुसार वक्र का नाम दिया। संयोग से, उस समय इटली में शैतान, ईश्वर के विरोधी के बारे में बात करना आम बात थी, लैटिन एडवर्सेरियस से व्युत्पन्न एवर्सिएरो या वर्सिएरो जैसे अन्य शब्दों के माध्यम से। वर्सिएरा, विशेष रूप से, शैतान, या चुड़ैल की पत्नी को इंगित करने के लिए इस्तेमाल किया गया था। इस वजह से, कैम्ब्रिज के प्रोफेसर जॉन कोलसन ने वक्र के नाम को चुड़ैल के रूप में गलत अनुवाद किया। अगनेसी और वक्र के बारे में अलग-अलग आधुनिक कार्य थोड़े अलग अनुमानों का सुझाव देते हैं कि वास्तव में यह गलत अनुवाद कैसे हुआ। डर्क-जन स्ट्रुइक ने उल्लेख किया है कि:

The word [versiera] is derived from Latin vertere, to turn, but is also an abbreviation of Italian avversiera, female devil. Some wit in England once translated it 'witch', and the silly pun is still lovingly preserved in most of our textbooks in English language. ... The curve had already appeared in the writings of Fermat (Oeuvres, I, 279–280; III, 233–234) and of others; the name versiera is from Guido Grandi (Quadratura circuli et hyperbolae, Pisa, 1703). The curve is type 63 in Newton's classification. ... The first to use the term 'witch' in this sense may have been B. Williamson, Integral calculus, 7 (1875), 173; see Oxford English Dictionary.

दूसरी ओर, स्टीफन स्टिगलर का सुझाव है कि ग्रैंडी खुद शब्दों पर एक नाटक में लिप्त हो सकते हैं, शैतान को छंद से जोड़ने वाला एक दोहरा वाक्य और महिला के स्तन के आकार के लिए साइन फ़ंक्शन (दोनों को सेनो के रूप में लिखा जा सकता है) इटली भाषा में)।

अनुप्रयोग

वक्र का एक छोटा संस्करण कॉची बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन है। यह यादृच्छिक चर पर संभाव्यता वितरण है $x$ निम्नलिखित प्रयोग (संभाव्यता सिद्धांत) द्वारा निर्धारित: एक निश्चित बिंदु के लिए $p$ इसके ऊपर $x$-axis, यादृच्छिक रूप से एक पंक्ति में समान रूप से चुनें through $p$, और जाने $x$ उस बिंदु का निर्देशांक हो जहां यह यादृच्छिक रेखा अक्ष को काटती है। कॉची वितरण में एक चरम वितरण होता है जो सामान्य वितरण जैसा दिखता है, लेकिन इसकी भारी-पूंछ वितरण इसकी समरूपता के बावजूद सामान्य परिभाषाओं द्वारा अपेक्षित मूल्य होने से रोकता है। डायन के संदर्भ में, इसका मतलब है कि $x$-coordinate इस क्षेत्र की समरूपता और परिमित क्षेत्र के बावजूद, वक्र और इसकी स्पर्शोन्मुख रेखा के बीच के क्षेत्र का केन्द्रक अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। संख्यात्मक विश्लेषण में, जब समान दूरी वाले प्रक्षेप बिंदुओं के साथ बहुपद प्रक्षेप का उपयोग करते हुए कार्यों का अनुमान लगाया जाता है, तो यह कुछ कार्यों के लिए मामला हो सकता है कि अधिक बिंदुओं का उपयोग करने से बदतर सन्निकटन बन जाता है, जिससे कि प्रक्षेप उस कार्य से अलग हो जाता है जो इसे अभिसरण करने के बजाय अनुमानित करने की कोशिश कर रहा है। . इस विरोधाभासी व्यवहार को रूंज की घटना कहा जाता है। यह पहली बार कार्ल डेविड टोल्मे रनगे द्वारा रनगे के कार्य के लिए खोजा गया था $y=1/(1+25x^{2})$, एग्नेसी की चुड़ैल का एक और छोटा संस्करण, जब इस फ़ंक्शन को प्रक्षेपित किया जाता है interval $[-1,1]$. चुड़ैल के लिए भी यही घटना होती है $y=1/(1+x^{2})$ खुद व्यापक पर interval $[-5,5]$.

एग्नेसी की चुड़ैल वर्णक्रमीय रेखाओं, विशेष रूप से एक्स-रे रेखाओं के वर्णक्रमीय ऊर्जा वितरण का अनुमान लगाती है। एक चिकनी पहाड़ी के क्रॉस-सेक्शन में चुड़ैल के समान आकार होता है। गणितीय मॉडलिंग में प्रवाह में इस आकार के वक्रों को सामान्य स्थलाकृतिक बाधा के रूप में उपयोग किया गया है। गहरे पानी में सॉलिटॉन्स भी यह आकार ले सकते हैं। इस वक्र के एक संस्करण का उपयोग गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा π के लिए लीबनिज सूत्र को व्युत्पन्न करने के लिए किया गया था। π. यह सूत्र, अनंत श्रृंखला

$${\frac {\pi }{4}}=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,$$

के अभिन्न के साथ वक्र के नीचे के क्षेत्र की बराबरी करके प्राप्त किया जा सकता है function $1/(1+x^{2})$, अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में इस फ़ंक्शन के टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करना $1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots$, और टर्म-बाय-टर्म को एकीकृत करना।

लोकप्रिय संस्कृति में

रॉबर्ट स्पिलर के एक उपन्यास का शीर्षक द विच ऑफ एग्नेसी है। इसमें एक दृश्य शामिल है जिसमें एक शिक्षक शब्द के इतिहास का एक संस्करण देता है। एग्नेसी की चुड़ैल जैज क्वार्टेट रेडियस द्वारा एक संगीत एल्बम का शीर्षक भी है। एल्बम के कवर में चुड़ैल के निर्माण की एक छवि है।

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बाहरी संबंध

• "Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index
• Weisstein, Eric W., "Witch of Agnesi", MathWorld
• Witch of Agnesi by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
• "Witch of Agnesi" at "mathcurve"
• Lamb, Evelyn (28 May 2018), "A Few of My Favorite Spaces: The Witch of Agnesi", Roots of Unity, Scientific American