डेल्टा विभव

क्वांटम यांत्रिकी में डेल्टा क्षमता संभावित अच्छी तरह से गणितीय रूप से डिराक डेल्टा फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है - सामान्यीकृत फ़ंक्शन। गुणात्मक रूप से, यह ऐसी क्षमता से मेल खाता है जो हर जगह शून्य है, बिंदु को छोड़कर, जहां यह अनंत मान लेता है। इसका उपयोग उन स्थितियों का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है जहां कण अंतरिक्ष के दो क्षेत्रों में दो क्षेत्रों के बीच बाधा के साथ घूमने के लिए स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन संवाहक सामग्री में लगभग स्वतंत्र रूप से घूम सकता है, लेकिन यदि दो संवाहक सतहों को साथ पास रखा जाता है, तो उनके बीच का इंटरफ़ेस इलेक्ट्रॉन के लिए बाधा के रूप में कार्य करता है जिसे डेल्टा क्षमता द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

डेल्टा संभावित कुआं परिमित क्षमता वाले कुएं का सीमित मामला (गणित) है, जो कुएं की चौड़ाई कम करने और क्षमता बढ़ाने के दौरान कुएं की चौड़ाई और संभावित स्थिरांक के उत्पाद को बनाए रखने पर प्राप्त होता है।

यह आलेख, सरलता के लिए, केवल एक-आयामी क्षमता पर ही विचार करता है, लेकिन विश्लेषण को और अधिक आयामों तक विस्तारित किया जा सकता है।

एकल डेल्टा क्षमता

तरंग फलन के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण ψ(x) अदिश विभव में आयाम में कण का V(x) है

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$$

कहाँ ħ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, और E कण की ऊर्जा है.

डेल्टा क्षमता क्षमता है

$$V(x)=\lambda \delta (x),$$

कहाँ δ(x) डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है।

इसे डेल्टा पोटेंशिअल वेल कहा जाता है λ नकारात्मक है, और यदि डेल्टा संभावित बाधा है λ सकारात्मक है। सरलता के लिए डेल्टा को मूल स्थान पर घटित होने के रूप में परिभाषित किया गया है; डेल्टा फ़ंक्शन के तर्क में बदलाव से निम्नलिखित में से कोई भी परिणाम नहीं बदलता है।

श्रोडिंगर समीकरण को हल करना

विभव अंतरिक्ष को दो भागों में विभाजित करता है (x < 0 और x > 0). इनमें से प्रत्येक भाग में विभव शून्य है, और श्रोडिंगर समीकरण कम हो जाता है

$${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi ;$$
 यह स्थिर गुणांकों वाला रैखिक अवकल समीकरण है, जिसके समाधान रैखिक संयोजन हैं eikx और e−ikx, जहां तरंग संख्या k ऊर्जा से संबंधित है

$$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.$$

सामान्य तौर पर, मूल में डेल्टा क्षमता की उपस्थिति के कारण, समाधान के गुणांक दोनों आधे-स्थानों में समान होने की आवश्यकता नहीं है:

$$\psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x>0,\end{cases}}$$

जहां, सकारात्मक ऊर्जाओं के मामले में (वास्तविक)। k), e^ikx दाईं ओर यात्रा करने वाली लहर का प्रतिनिधित्व करता है, और e^−ikx बाईं ओर यात्रा करने वाला।

गुणांकों के बीच संबंध यह स्थापित करके प्राप्त किया जाता है कि मूल बिंदु पर तरंग फ़ंक्शन निरंतर हो:

$$\psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},$$

तरंग फलन के व्युत्पन्न का अध्ययन करके दूसरा संबंध पाया जा सकता है। आम तौर पर, हम मूल पर भिन्नता भी लागू कर सकते हैं, लेकिन डेल्टा क्षमता के कारण यह संभव नहीं है। हालाँकि, अगर हम श्रोडिंगर समीकरण को एकीकृत करते हैं x = 0, अंतराल पर [−ε, +ε]:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.$$

जैसी सीमा में ε → 0, इस समीकरण का दाहिना भाग गायब हो जाता है; बायां हाथ बन जाता है

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),$$
 क्योंकि
 
$$\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].$$
 की परिभाषा प्रतिस्थापित करना ψ इस अभिव्यक्ति में उपज होती है

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.$$

इस प्रकार सीमा स्थितियाँ गुणांकों पर निम्नलिखित प्रतिबंध देती हैं

$${\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}$$

बंधी हुई अवस्था (ई <0)

डेल्टा फ़ंक्शन क्षमता के लिए बाध्य राज्य तरंग फ़ंक्शन समाधान का ग्राफ़ हर जगह निरंतर है, लेकिन इसके व्युत्पन्न को परिभाषित नहीं किया गया है x = 0.

किसी भी आयामी आकर्षक क्षमता में बंधी हुई अवस्था होगी। इसकी ऊर्जा ज्ञात करने के लिए उस पर ध्यान दें E < 0, k = i√2m|E|/ħ = iκ काल्पनिक है, और तरंग फलन जो उपरोक्त गणना में सकारात्मक ऊर्जाओं के लिए दोलन कर रहे थे, अब x के फलन में तेजी से वृद्धि या कमी कर रहे हैं (ऊपर देखें)। यह आवश्यक है कि तरंग फ़ंक्शन अनंत पर विचलन न करें, आधे पद समाप्त हो जाते हैं: A_r = B_l = 0. तरंग फ़ंक्शन तो है

$$\psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}$$

सीमा शर्तों और सामान्यीकरण स्थितियों से, यह इस प्रकार है

$${\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}$$

जिससे यह अनुसरण होता है λनकारात्मक होना चाहिए, यानी, बाध्य स्थिति केवल कुएं के लिए मौजूद है, बाधा के लिए नहीं। इस तरंग फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण कॉची वितरण#विशेषता फ़ंक्शन है।

बंधी हुई अवस्था की ऊर्जा तब होती है

$$E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.$$

प्रकीर्णन (ई > 0)

डेल्टा क्षमता के संचरण (टी) और प्रतिबिंब (आर) की संभावना। शक्ति E > 0 की इकाइयों में है ${\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}$. धराशायी: शास्त्रीय परिणाम. ठोस रेखा: क्वांटम यांत्रिकी।

सकारात्मक ऊर्जाओं के लिए, कण किसी भी आधे स्थान में घूमने के लिए स्वतंत्र है: x < 0 या x > 0. यह डेल्टा-फ़ंक्शन क्षमता पर बिखरा हुआ हो सकता है।

क्वांटम मामले का अध्ययन निम्नलिखित स्थिति में किया जा सकता है: बाईं ओर से बाधा पर कण घटना (A_r). यह प्रतिबिंबित हो सकता है (A_l) या प्रसारित (B_r). बाईं ओर से आपतन के लिए परावर्तन और संचरण के आयाम खोजने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण डालते हैं A_r = 1 (आने वाले कण), A_l = r (प्रतिबिंब), B_l = 0 (दाईं ओर से कोई आने वाला कण नहीं) और B_r = t (ट्रांसमिशन), और हल करें r और t भले ही हमारे पास कोई समीकरण नहीं है t. परिणाम है

$$t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.$$

मॉडल की दर्पण समरूपता के कारण, दाईं ओर से आपतन के आयाम बाईं ओर से समान हैं। नतीजा यह है कि गैर-शून्य संभावना है

$$R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}$$

कण को ​​प्रतिबिंबित करने के लिए. यह के संकेत पर निर्भर नहीं करता λ, यानी, अवरोध में कण को ​​कुएं के रूप में प्रतिबिंबित करने की समान संभावना होती है। यह शास्त्रीय यांत्रिकी से महत्वपूर्ण अंतर है, जहां बाधा के लिए प्रतिबिंब संभावना 1 होगी (कण बस वापस उछलता है), और कुएं के लिए 0 (कण बिना किसी बाधा के कुएं से गुजरता है)।

संचरण की संभावना है

$$T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.$$

टिप्पणियाँ और आवेदन

ऊपर प्रस्तुत गणना पहली बार में अवास्तविक और शायद ही उपयोगी लग सकती है। हालाँकि, यह विभिन्न वास्तविक जीवन प्रणालियों के लिए उपयुक्त मॉडल साबित हुआ है।

ऐसा उदाहरण दो विद्युत चालकता सामग्रियों के बीच इंटरफेस से संबंधित है। अधिकांश सामग्रियों में, इलेक्ट्रॉनों की गति अर्ध-मुक्त होती है और इसे प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) के साथ उपरोक्त हैमिल्टनियन में गतिज शब्द द्वारा वर्णित किया जा सकता है। m. अक्सर, ऐसी सामग्रियों की सतहें ऑक्साइड परतों से ढकी होती हैं या अन्य कारणों से आदर्श नहीं होती हैं। इस पतली, गैर-संवाहक परत को ऊपर बताए अनुसार स्थानीय डेल्टा-फ़ंक्शन क्षमता द्वारा मॉडल किया जा सकता है। फिर इलेक्ट्रॉन पदार्थ से दूसरे पदार्थ तक सुरंग बना सकते हैं, जिससे करंट उत्पन्न होता है।

स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप (एसटीएम) का संचालन इस टनलिंग प्रभाव पर निर्भर करता है। उस स्थिति में, बाधा एसटीएम की नोक और अंतर्निहित वस्तु के बीच हवा के कारण होती है। अवरोध की ताकत अलगाव से संबंधित है, दोनों जितना अधिक दूर होंगे, उतना ही मजबूत होगा। इस स्थिति के अधिक सामान्य मॉडल के लिए, परिमित संभावित अवरोध (क्यूएम) देखें। डेल्टा फ़ंक्शन संभावित बाधा बहुत उच्च और संकीर्ण बाधाओं के लिए वहां माने जाने वाले मॉडल का सीमित मामला है।

उपरोक्त मॉडल एक-आयामी है जबकि हमारे आस-पास का स्थान त्रि-आयामी है। तो, वास्तव में, किसी को श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में हल करना चाहिए। दूसरी ओर, कई प्रणालियाँ केवल समन्वय दिशा में बदलती हैं और दूसरों के साथ अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीय होती हैं। श्रोडिंगर समीकरण को तब इस प्रकार के तरंग फ़ंक्शन के लिए एन्सैट्ज़ द्वारा यहां विचार किए गए मामले में कम किया जा सकता है $\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$.

वैकल्पिक रूप से, कुछ डोमेन डी की सतह पर मौजूद डेल्टा फ़ंक्शन को सामान्य बनाना संभव है (संकेतक का लाप्लासियन देखें)। डेल्टा फ़ंक्शन मॉडल वास्तव में डुडले आर. हर्शबैक के समूह द्वारा विकसित आयामी स्केलिंग विधि के अनुसार हाइड्रोजन परमाणु का आयामी संस्करण है। डेल्टा फ़ंक्शन मॉडल डबल-वेल डिराक डेल्टा फ़ंक्शन मॉडल के साथ विशेष रूप से उपयोगी हो जाता है जो हाइड्रोजन अणु आयन के एक-आयामी संस्करण का प्रतिनिधित्व करता है, जैसा कि निम्नलिखित अनुभाग में दिखाया गया है।

डबल डेल्टा क्षमता

आंतरिक दूरी के साथ डबल-वेल डिराक डेल्टा फ़ंक्शन मॉडल के लिए सममित और विरोधी-सममित तरंग फ़ंक्शन R = 2

डबल-वेल डिराक डेल्टा फ़ंक्शन संबंधित श्रोडिंगर समीकरण द्वारा डायटोमिक हाइड्रोजन अणु को मॉडल करता है:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$$

जहां अब संभावना है

$$V(x)=-q\left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\lambda \delta \left(x-{\frac {R}{2}}\right)\right],$$

कहाँ $0<R<\infty$ डायराक डेल्टा-फ़ंक्शन (नकारात्मक) चोटियों के साथ आंतरिक परमाणु दूरी है x = ±R/2 (चित्र में भूरे रंग में दिखाया गया है)। इस मॉडल के त्रि-आयामी आणविक समकक्ष के साथ संबंध को ध्यान में रखते हुए, हम परमाणु इकाइयों और सेट का उपयोग करते हैं $\hbar =m=1$. यहाँ $0<\lambda <1$ औपचारिक रूप से समायोज्य पैरामीटर है। एकल-कुएं मामले से, हम समाधान के लिए ansatz का अनुमान लगा सकते हैं

$$\psi (x)=Ae^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}.$$

डिराक डेल्टा-फ़ंक्शन शिखर पर तरंग फ़ंक्शन के मिलान से निर्धारक प्राप्त होता है

$${\begin{vmatrix}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{vmatrix}}=0,\quad {\text{where }}E=-{\frac {d^{2}}{2}}.$$

इस प्रकार, $d$ छद्म-द्विघात समीकरण द्वारा शासित पाया जाता है

$$d_{\pm }(\lambda )={\frac {1}{2}}q(\lambda +1)\pm {\frac {1}{2}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\lambda q^{2}\left[1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}\right]\right\}^{1/2},$$

जिसके दो समाधान हैं $d=d_{\pm }$. समान आवेशों के मामले में (सममित होमोन्यूक्लियर केस), λ = 1, और छद्म-द्विघात कम हो जाता है

$$d_{\pm }=q\left[1\pm e^{-d_{\pm }R}\right].$$

+ मामला मध्यबिंदु के बारे में सममित तरंग फ़ंक्शन से मेल खाता है (आरेख में लाल रंग में दिखाया गया है), जहां A = B, और आणविक पद चिन्ह कहलाता है। तदनुसार, - मामला तरंग फ़ंक्शन है जो मध्यबिंदु के बारे में विरोधी-सममित है, जहां A = −B, और इसे अनगेरेड कहा जाता है (आरेख में हरे रंग में दिखाया गया है)। वे त्रि-आयामी की दो निम्नतम असतत ऊर्जा अवस्थाओं के अनुमान का प्रतिनिधित्व करते हैं ${\ce {H2^+}}$ और इसके विश्लेषण में उपयोगी हैं। सममित आवेशों के मामले के लिए ऊर्जा eigenvalues ​​​​के लिए विश्लेषणात्मक समाधान दिए गए हैं

$$d_{\pm }=q+W(\pm qRe^{-qR})/R,$$

जहां W मानक लैम्बर्ट W फ़ंक्शन है। ध्यान दें कि सबसे कम ऊर्जा सममित समाधान से मेल खाती है $d_{+}$. असमान आवेशों के मामले में, और उस मामले के लिए त्रि-आयामी आणविक समस्या, समाधान लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन के सामान्यीकरण द्वारा दिए जाते हैं (देखें) Lambert W function § Generalizations).

सबसे दिलचस्प मामलों में से है जब qR ≤ 1, जिसका परिणाम होता है $d_{-}=0$. इस प्रकार, किसी के पास गैर-तुच्छ बाध्य अवस्था समाधान है E = 0. इन विशिष्ट मापदंडों के लिए, कई दिलचस्प गुण होते हैं, जिनमें से असामान्य प्रभाव यह है कि ट्रांसमिशन गुणांक शून्य ऊर्जा पर एकता है।

यह भी देखें

• मुक्त कण
• डिब्बे में कण
• सीमित क्षमता अच्छी तरह से
• वलय में कण
• गोलाकार सममित विभव में कण
• क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर
• हाइड्रोजन परमाणु या हाइड्रोजन जैसा परमाणु
• रिंग वेव गाइड
• आयामी जाली में कण (आवधिक क्षमता)
• हाइड्रोजन आणविक आयन
• होल्स्टीन-हेरिंग विधि
• सूचक का लाप्लासियन
• विश्लेषणात्मक समाधानों के साथ क्वांटम-मैकेनिकल प्रणालियों की सूची

संदर्भ

• Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. pp. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
• For the 3-dimensional case look for the "delta shell potential"; further see K. Gottfried (1966), Quantum Mechanics Volume I: Fundamentals, ch. III, sec. 15.

बाहरी संबंध

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