मोटर चर

गणित में, मोटर वैरिएबल का फलन विभाजित-सम्मिश्र संख्या विमान में तर्कों और मानो के साथ फलन (गणित) होता है, जैसे कि सम्मिश्र वैरिएबल के कार्यों में सामान्य सम्मिश्र संख्याएं सम्मिलित होती हैं। विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने अपने प्रिलिमिनरी स्केच ऑफ़ बिक्वाटर्नियंस (1873) में गतिज संचालक के लिए मोटर शब्द गढ़ा है। उन्होंने अपने स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियनमें अदिशों के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्याओं का उपयोग किया गया था। व्यंजना और परंपरा के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स वेरिएबल के स्थान पर मोटर वेरिएबल का उपयोग यहां किया जाता है।

उदाहरण के लिए,

$f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.$

मोटर वैरिएबल के कार्य वास्तविक विश्लेषण को विस्तारित करने और विमान की मैपिंग का कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व प्रदान करने के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं। चूँकि, सिद्धांत सम्मिश्र विश्लेषण से अधिक कम है। फिर भी, पारंपरिक सम्मिश्र विश्लेषण के कुछ विधियों की व्याख्या मोटर वैरिएबल के साथ दी गई है और समान्यत: हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण में उपस्थित है।

प्राथमिक कार्य

माना D = $\{z=x+jy:x,y\in R\}$, विभाजित-सम्मिश्र विमान है जिसमे निम्नलिखित अनुकरणीय फलन f का डोमेन और रेंज 'D' में है:

एक वर्सोर की क्रिया या हाइपरबोलिक वर्सोर $u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a$ एफ़िन परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए अनुवाद (ज्यामिति) के साथ जोड़ा जाता है

$f(z)=uz+c\$. जब c = 0, फलन स्क़ुईज़ मानचित्रण के समान होता है।

साधारण सम्मिश्र अंकगणित में वर्ग फलन की कोई समानता नहीं है। होने देना

$f(z)=z^{2}\$ और उस पर ध्यान दें $f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\$

परिणाम यह है कि चार चतुर्भुजों को एक, पहचान घटक में मैप किया गया है:

$U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}$.

ध्यान दें कि $zz^{*}=1\$ इकाई हाइपरबोला $x^{2}-y^{2}=1$ बनाता है इस प्रकार

गुणात्मक प्रतिलोम

$f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{where}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}$

C में वृत्त के विपरीत हाइपरबोला को संदर्भ वक्र के रूप में सम्मिलित किया गया है।

रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन

एक वलय के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रक्षेप्य रेखा P(D) बनाई जाती है। इस प्रकार निर्माण विभाजित-सम्मिश्र संख्या घटकों के साथ सजातीय निर्देशांक का उपयोग करता है। प्रक्षेप्य रेखा P(D) रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा रूपांतरित होती है:

$[z:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b:cz+d],$ कभी-कभी लिखा जाता है

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$ परन्तु cz + d 'D' में इकाई है।

प्राथमिक रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों में सम्मिलित हैं

• अतिशयोक्तिपूर्ण घुमाव ${\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},$
• अनुवाद ${\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},$ और
• विपरीत ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

इनमें से प्रत्येक का व्युत्क्रम है, और रचनाएँ रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों के समूह को भरती हैं। मोटर वैरिएबल को इसके ध्रुवीय निर्देशांक में अतिपरवलयिक कोण की विशेषता होती है, और यह कोण मोटर वैरिएबल रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संरक्षित होता है, जैसे वृत्ताकार कोण सामान्य सम्मिश्र विमान के मोबियस परिवर्तनों द्वारा संरक्षित होता है। कोणों को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों को अनुरूप कहा जाता है, इसलिए रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन अनुरूप मानचित्र होते हैं।

ट्रांसफॉर्मेशन बाउंडिंग क्षेत्रों की तुलना की जा सकती है: उदाहरण के लिए, सामान्य सम्मिश्र विमान पर, केली ट्रांसफॉर्म या कॉम्प्लेक्स होमोग्राफी ऊपरी आधे-तल को यूनिट डिस्क तक ले जाती है, इस प्रकार इसे बांधती है। पहचान घटक U₁ का मानचित्रण आयत में D की तुलनीय बाउंडिंग क्रिया प्रदान करता है:

$$