मोटर चर

गणित में, मोटर वैरिएबल का एक फ़ंक्शन [[विभाजित-जटिल संख्या]] विमान में तर्कों और मूल्यों के साथ एक फ़ंक्शन (गणित) होता है, जैसे कि एक जटिल चर के कार्यों में सामान्य जटिल संख्याएं शामिल होती हैं। विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने अपने प्रिलिमिनरी स्केच ऑफ़ बिक्वाटर्नियंस (1873) में गतिज संचालक के लिए मोटर शब्द गढ़ा। उन्होंने अपने स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन्स में अदिशों के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्याओं का उपयोग किया। व्यंजना और परंपरा के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स वेरिएबल के स्थान पर मोटर वेरिएबल का उपयोग यहां किया जाता है।

उदाहरण के लिए,

$f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.$

मोटर वैरिएबल के कार्य वास्तविक विश्लेषण को विस्तारित करने और विमान की मैपिंग का कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व प्रदान करने के लिए एक संदर्भ प्रदान करते हैं। हालाँकि, सिद्धांत जटिल विश्लेषण से काफी कम है। फिर भी, पारंपरिक जटिल विश्लेषण के कुछ पहलुओं की व्याख्या मोटर चर के साथ दी गई है, और आमतौर पर हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण में।

प्राथमिक कार्य

चलो डी = $\{z=x+jy:x,y\in R\}$, विभाजित-जटिल विमान। निम्नलिखित अनुकरणीय फ़ंक्शन f का डोमेन और रेंज 'D' में है:

एक वर्सोर की क्रिया#हाइपरबोलिक वर्सोर $u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a$ एफ़िन परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए अनुवाद (ज्यामिति) के साथ जोड़ा जाता है

$f(z)=uz+c\$. जब c = 0, फ़ंक्शन निचोड़ मानचित्रण के बराबर होता है।

साधारण जटिल अंकगणित में वर्ग फलन की कोई समानता नहीं है। होने देना

$f(z)=z^{2}\$ और उस पर ध्यान दें $f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\$

नतीजा यह है कि चार चतुर्भुजों को एक, पहचान घटक में मैप किया गया है:

$U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}$.

ध्यान दें कि $zz^{*}=1\$ इकाई हाइपरबोला बनाता है $x^{2}-y^{2}=1$. इस प्रकार गुणात्मक प्रतिलोम

$f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{where}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}$

C में वृत्त के विपरीत हाइपरबोला को संदर्भ वक्र के रूप में शामिल किया गया है।

रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन

एक वलय के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रक्षेप्य रेखा P(D) बनाई जाती है। निर्माण विभाजित-जटिल संख्या घटकों के साथ सजातीय निर्देशांक का उपयोग करता है। प्रक्षेप्य रेखा P(D) रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा रूपांतरित होती है:

$[z:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b:cz+d],$ कभी-कभी लिखा जाता है

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$ बशर्ते cz + d 'D' में एक इकाई है।

प्राथमिक रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों में शामिल हैं

• अतिशयोक्तिपूर्ण घुमाव ${\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},$
• अनुवाद ${\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},$ और
• उलटाव ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

इनमें से प्रत्येक का एक व्युत्क्रम है, और रचनाएँ रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों के एक समूह को भरती हैं। मोटर चर को इसके ध्रुवीय निर्देशांक में अतिपरवलयिक कोण की विशेषता होती है, और यह कोण मोटर चर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संरक्षित होता है, जैसे वृत्ताकार कोण सामान्य जटिल विमान के मोबियस परिवर्तनों द्वारा संरक्षित होता है। कोणों को संरक्षित करने वाले परिवर्तनों को अनुरूप कहा जाता है, इसलिए रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन अनुरूप मानचित्र होते हैं।

ट्रांसफॉर्मेशन बाउंडिंग क्षेत्रों की तुलना की जा सकती है: उदाहरण के लिए, सामान्य जटिल विमान पर, केली ट्रांसफॉर्म#कॉम्प्लेक्स होमोग्राफी ऊपरी आधे-तल को यूनिट डिस्क तक ले जाती है, इस प्रकार इसे बांधती है। पहचान घटक यू का मानचित्रण₁ एक आयत में D की एक तुलनीय बाउंडिंग क्रिया प्रदान करता है:

${\displaystyle }$