अंतर्वेशन

संख्यात्मक विश्लेषण के गणित क्षेत्र में, अंतर्वेशन एक प्रकार का अनुमान है, ज्ञात डेटा बिंदुओं के असतत सेट की सीमा के आधार पर नए डेटा बिंदुओं के निर्माण (खोज) की एक विधि है।^[1]^[2]

अभियांत्रिकी और विज्ञान में, प्रायः कई डेटा बिंदु होते हैं, जो नमूनाकरण (सांख्यिकी) या प्रयोग द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, जो आश्रित और स्वतंत्र चर के सीमित मूल्यों के लिए एक फलन के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसे प्रायः अंतर्वेशनित करने की आवश्यकता होती है; अर्थात्, स्वतंत्र चर के मध्यवर्ती मान के लिए उस फलन के मान का अनुमान लगाएं।

एक निकट से संबंधित समस्या एक साधारण फलन द्वारा एक जटिल फलन का फलन सन्निकटन है। मान लीजिए कि किसी दिए गए फलन का सूत्र ज्ञात है, लेकिन कुशलता से मूल्यांकन करने के लिए बहुत जटिल है। मूल फलन से कुछ डेटा बिंदुओं को एक सरल फलन बनाने के लिए अंतर्वेशनित किया जा सकता है जो अभी भी मूल के काफी निकट है। सादगी में परिणामी लाभ इंटरपोलेशन त्रुटि से होने वाले नुकसान से अधिक हो सकता है और गणना प्रक्रिया में बेहतर प्रदर्शन दे सकता है।

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एक एपिट्रोकॉइड पर बिंदुओं के एक परिमित सेट का अंतर्वेशन। लाल रंग के बिंदु केवल लाल बिंदुओं से काटे गए नीले अंतर्वेशनित तख़्ता (गणित) द्वारा जुड़े हुए हैं। अंतर्वेशनित वक्रों में मूल एपिट्रोकॉइड वक्र की तुलना में बहुपद सूत्र बहुत सरल होते हैं।

उदाहरण

यह तालिका अज्ञात फलन के कुछ मान देती है $f(x)$ .

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तालिका में दिए गए डेटा बिंदुओं का प्लॉट।

$x$	$f(x)$
0	0
1	0	.	8415
2	0	.	9093
3	0	.	1411
4	−0	.	7568
5	−0	.	9589
6	−0	.	2794

इंटरपोलेशन मध्यवर्ती बिंदुओं पर फलन का अनुमान लगाने का एक साधन प्रदान करता है, जैसे कि $x=2.5.$

हम अंतर्वेशन के कुछ कलन विधि का वर्णन करते हैं, जो इस तरह के गुणों में भिन्न हैं: सटीकता, लागत, आवश्यक डेटा बिंदुओं की संख्या, और परिणामी इंटरपोलेंट फलन का सुचारू कार्य ।

टुकड़ावार निरंतर अंतर्वेशन

File:Piecewise constant.svg

टुकड़े-टुकड़े निरंतर अंतर्वेशन, या निकटतम-पड़ोसी अंतर्वेशन ।

सबसे सरल इंटरपोलेशन विधि निकटतम डेटा मान का पता लगाना है, और उसी मान को असाइन करना है। साधारण समस्याओं में, इस पद्धति का उपयोग करने की संभावना नहीं है, क्योंकि रैखिक अंतर्वेशन (नीचे देखें) लगभग उतना ही आसान है, लेकिन उच्च-आयामी बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन में, यह इसकी गति और सादगी के लिए एक अनुकूल विकल्प हो सकता है।

रैखिक अंतर्वेशन

File:Interpolation example linear.svg

रेखीय अंतर्वेशन के साथ डेटा का प्लॉट आरोपित

सबसे सरल तरीकों में से एक रैखिक अंतर्वेशन है (कभी-कभी लेर्प के रूप में जाना जाता है)। f(2.5) के आकलन के उपरोक्त उदाहरण पर विचार करें। चूँकि 2.5 2 और 3 के बीच में है, f(2.5) को f(2) = 0.9093 और f(3) = 0.1411 के बीच में लेना उचित है, जो 0.5252 प्राप्त करता है।

सामान्यतः रैखिक अंतर्वेशन में दो डेटा बिंदु होते हैं, मान लीजिए (x_a,y_a) और (x_b,y_b), और इंटरपोलेंट द्वारा दिया जाता है:

y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}{\text{ at the point }}\left(x,y\right)

{\frac {y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}}={\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}

{\frac {y-y_{a}}{x-x_{a}}}={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}

यह पिछला समीकरण बताता है कि नई रेखा के बीच का ढलान $(x_{a},y_{a})$ तथा $(x,y)$ के बीच की रेखा के ढलान के समान है $(x_{a},y_{a})$ तथा $(x_{b},y_{b})$

रैखिक अंतर्वेशन त्वरित और आसान है, लेकिन यह बहुत सटीक नहीं है। एक और नुकसान यह है कि इंटरपोलेंट बिंदु x_k पर व्युत्पन्न नहीं हैl

निम्नलिखित त्रुटि अनुमान से पता चलता है कि रैखिक अंतर्वेशन बहुत सटीक नहीं है। उस फलन को निरूपित करें जिसे हम g द्वारा अंतर्वेशनित करना चाहते हैं, और मान लें कि x, x_a के बीच स्थित है और x_b और वह g दो बार लगातार अवकलनीय है। तब रैखिक अंतर्वेशन त्रुटि है

|f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\text{where}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\in [x_{a},x_{b}]}|g''(r)|.

शब्दों में, त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्ग के समानुपाती होती है। बहुपद अंतर्वेशन और स्प्लाइन अंतर्वेशन (नीचे वर्णित) सहित कुछ अन्य विधियों में त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी की उच्च शक्तियों के समानुपाती होती है। ये विधियां चिकनी इंटरपोलेंट भी उत्पन्न करती हैं।

बहुपद अंतर्वेशन

File:Interpolation example polynomial.svg

बहुपद अंतर्वेशन के साथ डेटा का प्लॉट लागू किया गया

बहुपद अंतर्वेशन रैखिक अंतर्वेशन का एक सामान्यीकरण है। ध्यान दें कि रैखिक इंटरपोलेंट एक रैखिक कार्य है। अब हम इस अंतरपोषक को एक बहुपद के उच्च घात वाले बहुपद से प्रतिस्थापित करते हैं।

ऊपर दी गई समस्या पर फिर से विचार करें। निम्नलिखित छठी डिग्री बहुपद सभी सात बिंदुओं से होकर गुजरता है:

f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.

x = 2.5 को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि f(2.5) = ~0.59678।

सामान्यतः यदि हमारे पास n डेटा बिंदु हैं, तो सभी डेटा बिंदुओं के माध्यम से जाने वाले अधिकांश n−1 पर डिग्री का एक बहुपद है। इंटरपोलेशन त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी n के बीच की दूरी के समानुपाती होती है। इसके अलावा, इंटरपोलेंट एक बहुपद है और इस प्रकार असीम रूप से भिन्न है। इसलिए, हम देखते हैं कि बहुपद अंतर्वेशन रैखिक अंतर्वेशन की अधिकांश समस्याओं पर विजय प्राप्त करता है।

हालाँकि, बहुपद अंतर्वेशन के कुछ नुकसान भी हैं। रैखिक इंटरपोलेशन की तुलना में इंटरपोलिंग बहुपद की गणना कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी है (कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत देखें)। इसके अलावा, बहुपद अंतर्वेशन दोलन कलाकृतियों को प्रदर्शित कर सकता है, विशेष रूप से अंत बिंदुओं पर (देखें रनगे की घटना)।

बहुपद अंतर्वेशन रैखिक अंतर्वेशन के विपरीत, नमूनों की सीमा से बाहर स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा का अनुमान लगा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए इंटरपोलेंट का स्थानीय अधिकतम x 1.566, f(x) 1.003 और स्थानीय न्यूनतम x ≈ 4.708, f(x) −1.003 है। हालांकि, ये मैक्सिमा और मिनिमा फलन की सैद्धांतिक सीमा से अधिक हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, एक फलन जो हमेशा सकारात्मक होता है, उसमें ऋणात्मक मानों वाला एक इंटरपोलेंट हो सकता है, और जिसके व्युत्क्रम में शून्य से गलत विभाजन होता है।

अधिक सामान्यतः परिणामी वक्र का आकार, विशेष रूप से स्वतंत्र चर के बहुत उच्च या निम्न मानों के लिए, सामान्य ज्ञान के विपरीत हो सकता है; वह है, जो उस प्रायोगिक प्रणाली के बारे में जाना जाता है जिसने डेटा बिंदु उत्पन्न किए हैं। इन नुकसानों को स्प्लाइन अंतर्वेशन का उपयोग करके या चेबीशेव बहुपद पर ध्यान सीमित करके कम किया जा सकता है।

स्प्लाइन अंतर्वेशन

File:Interpolation example spline.svg

लागू किए गए स्प्लाइन अंतर्वेशन के साथ डेटा का प्लॉट

याद रखें कि रैखिक अंतर्वेशन प्रत्येक अंतराल के लिए एक रैखिक फलन का उपयोग करता है [x_k, x_k+1]. स्पलाइन इंटरपोलेशन प्रत्येक अंतराल में निम्न-डिग्री बहुपद का उपयोग करता है, और बहुपद टुकड़ों को इस तरह चुनता है कि वे एक साथ आसानी से फिट हो जाएं। परिणामी फलन को स्पलाइन कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक घन स्पलाइन खंडशः घन है और दो बार लगातार भिन्न हो सकती है। इसके अलावा, इसका दूसरा व्युत्पन्न अंतिम बिंदुओं पर शून्य है। ऊपर दी गई तालिका में बिंदुओं को अंतर्वेशनित करने वाली प्राकृतिक घन रेखा किसके द्वारा दी गई है

f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}

इस स्थिति में हमें f(2.5) = 0.5972 मिलता है।

बहुपद अंतर्वेशन की तरह, स्प्लाइन अंतर्वेशन में रैखिक अंतर्वेशन की तुलना में एक छोटी त्रुटि होती है, जबकि बहुपद अंतर्वेशन में उपयोग किए जाने वाले उच्च-डिग्री बहुपदों की तुलना में इंटरपोलेंट का मूल्यांकन करना आसान और आसान होता है। हालांकि, आधार कार्यों की वैश्विक प्रकृति खराब कंडीशनिंग की ओर ले जाती है। यह पूरी तरह से कॉम्पैक्ट सपोर्ट के स्प्लिन का उपयोग करके कम किया जाता है, जैसे कि Boost.Math में लागू किया गया है और क्रेस में चर्चा की गई है।^[3]

मिमेटिक अंतर्वेशन

क्षेत्रों के अंतर्निहित विवेक के आधार पर, विभिन्न इंटरपोलेंट की आवश्यकता हो सकती है। अन्य इंटरपोलेशन विधियों के विपरीत, जो लक्ष्य बिंदुओं पर कार्यों का अनुमान लगाते हैं, मिमेटिक इंटरपोलेशन फ़ील्ड के प्रकार (स्केलर, वेक्टर, छद्म-वेक्टर या छद्म-स्केलर) के आधार पर लक्ष्य रेखाओं, क्षेत्रों या वॉल्यूम पर फ़ील्ड के अभिन्न का मूल्यांकन करता है।

मिमेटिक इंटरपोलेशन की एक प्रमुख विशेषता यह है कि वेक्टर कैलकुलस पहचान संतुष्ट हैं, जिसमें स्टोक्स की प्रमेय और विचलन प्रमेय सम्मिलित हैं। नतीजतन, मिमेटिक इंटरपोलेशन लाइन, एरिया और वॉल्यूम इंटीग्रल को संरक्षित करता है।^[4] उदाहरण के लिए, विद्युत क्षेत्र को अंतर्वेशनित करते समय लाइन इंटीग्रल का संरक्षण वांछनीय हो सकता है, क्योंकि लाइन इंटीग्रल एकीकरण पथ के समापन बिंदुओं पर विद्युत संभावित अंतर देता है।^[5] मिमेटिक इंटरपोलेशन यह सुनिश्चित करता है कि विद्युत क्षेत्र के लाइन इंटीग्रल का अनुमान लगाने की त्रुटि एकीकरण पथ की लंबाई की परवाह किए बिना, एकीकरण पथ के अंतिम बिंदुओं पर क्षमता को अंतर्वेशनित करके प्राप्त त्रुटि के समान है।

लीनियर इंटरपोलेशन, [[ बि रेखिक आंतरिक ]] और त्रिरेखीय अंतर्वेशन को भी मिमेटिकल माना जाता है, भले ही यह फील्ड वैल्यू ही हो जो संरक्षित हैं (फील्ड का इंटीग्रल नहीं)। रैखिक अंतर्वेशन के अलावा, क्षेत्र भारित अंतर्वेशन को विकसित किए जाने वाले पहले अनुकरणीय अंतर्वेशन पद्धति में से एक माना जा सकता है।^[6]

फलन सन्निकटन

अनुमानित कार्यों के लिए इंटरपोलेशन एक सामान्य तरीका है। एक फलन दिया $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ अंकों के एक समुच्चय के साथ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]$ कोई एक फलन बना सकता है $s:[a,b]\to \mathbb {R}$ ऐसा है कि $f(x_{i})=s(x_{i})$ के लिये $i=1,2,\dots ,n$ (वह है वह $s$ अंतर्वेशनित करना $f$ इन बिंदुओं पर)। सामान्य तौर पर, एक इंटरपोलेंट को एक अच्छा सन्निकटन नहीं होना चाहिए, लेकिन वहां अच्छी तरह से ज्ञात और प्रायः उचित स्थितियां होती हैं जहां यह होगा। उदाहरण के लिए, यदि $f\in C^{4}([a,b])$ (चार बार लगातार अवकलनीय) तो स्प्लाइन अंतर्वेशन में त्रुटि बाउंड द्वारा दी गई है

$\|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}$ कहाँ पे $h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|$ तथा $C$ एक स्थिरांक है।^[7]

गाऊसी प्रक्रियाओं के माध्यम से

गाऊसी प्रक्रिया एक शक्तिशाली गैर-रेखीय अंतर्वेशन उपकरण है। कई लोकप्रिय अंतर्वेशन उपकरण वास्तव में विशेष गाऊसी प्रक्रियाओं के बराबर हैं। गाऊसी प्रक्रियाओं का उपयोग न केवल एक इंटरपोलेंट को फिट करने के लिए किया जा सकता है जो कि दिए गए डेटा बिंदुओं से बिल्कुल गुजरता है बल्कि प्रतिगमन के लिए भी; वह है, रव डेटा के माध्यम से एक वक्र फिट करने के लिए। भू-सांख्यिकी समुदाय में गाऊसी प्रक्रिया प्रतिगमन को युद्ध के रूप में भी जाना जाता है।

अन्य रूप

इंटरपोलेंट के एक अलग वर्ग को चुनकर इंटरपोलेशन के अन्य रूपों का निर्माण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिमेय अंतर्वेशन पाद सन्निकटन का उपयोग करते हुए परिमेय कार्यों द्वारा अंतर्वेशन है, और त्रिकोणमितीय अंतर्वेशन फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके त्रिकोणमितीय बहुपद ों द्वारा अंतर्वेशन है। तरंगों का उपयोग करने की एक और संभावना है।

व्हिटेकर-शैनन अंतर्वेशन सूत्र का उपयोग किया जा सकता है यदि डेटा बिंदुओं की संख्या अनंत है या यदि फलन को अंतर्वेशनित करने के लिए कॉम्पैक्ट समर्थन है।

कभी-कभी, हम न केवल उस फलन का मान जानते हैं जिसे हम कुछ बिंदुओं पर अंतर्वेशनित करना चाहते हैं, बल्कि इसके व्युत्पन्न भी हैं। इससे साधु ट्वीन समस्याएं होती हैं।

जब प्रत्येक डेटा बिंदु स्वयं एक फलन होता है, तो इंटरपोलेशन समस्या को प्रत्येक डेटा बिंदु के बीच आंशिक संवहन समस्या के रूप में देखना उपयोगी हो सकता है। यह विचार परिवहन सिद्धांत (गणित) में प्रयुक्त विस्थापन अंतर्वेशन समस्या की ओर ले जाता है।

उच्च आयामों में

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Comparison of some 1- and 2-dimensional interpolations.
Black and red/yellow/green/blue dots correspond to the interpolated point and neighbouring samples, respectively.
Their heights above the ground correspond to their values.

बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन एक से अधिक चर के कार्यों का अंतर्वेशन है।

विधियों में दो आयामों में बिलिनियर इंटरपोलेशन और बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन और तीन आयामों में ट्रिलिनियर इंटरपोलेशन सम्मिलित हैं।

उन्हें ग्रिड या बिखरे हुए डेटा पर लागू किया जा सकता है। मिमेटिक इंटरपोलेशन को सामान्यीकृत करता है $n$ आयामी रिक्त स्थान जहां $n>3$ .^[8]^[9]

Nearest neighbor
BilinearInterpolExample.png

Bilinear
BicubicInterpolationExample.png

Bicubic

डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग

डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के क्षेत्र में, इंटरपोलेशन शब्द विभिन्न डिजिटल फ़िल्टरिंग तकनीकों का उपयोग करके एक नमूना डिजिटल सिग्नल (जैसे एक नमूना ऑडियो सिग्नल) को एक उच्च नमूना दर (अपसैंपलिंग ) में परिवर्तित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, कनवल्शन के साथ एक आवृत्ति-सीमित आवेग संकेत)। इस एप्लिकेशन में एक विशिष्ट आवश्यकता है कि मूल सिग्नल की हार्मोनिक सामग्री को सिग्नल की मूल नीक्वीस्ट आवृत्ति (यानी, मूल सिग्नल नमूना दर के fs / 2 से ऊपर) के ऊपर मूल सिग्नल की अलियास्ड हार्मोनिक सामग्री बनाए बिना संरक्षित किया जाए। . इस विषय पर एक प्रारंभिक और काफी प्रारंभिक चर्चा राबिनर और क्रोचियर की पुस्तक मल्टीरेट डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में पाई जा सकती है।^[10]

सामान्यीकरण

अगर हम विचार करें $x$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में एक चर के रूप में, और फलन $f(x)$ एक बनच स्पेस में मैपिंग, फिर समस्या को ऑपरेटरों के इंटरपोलेशन के रूप में माना जाता है।^[11] ऑपरेटरों के अंतर्वेशन के बारे में शास्त्रीय परिणाम रिज़-थोरिन प्रमेय और मार्सिंक्यूविज़ प्रमेय हैं। इसके बाद के कई अन्य परिणाम भी हैं।

यह भी देखें

बैरीसेंट्रिक कोऑर्डिनेट सिस्टम (गणित) | बैरीसेंट्रिक कोऑर्डिनेट - एक त्रिभुज या टेट्राहेड्रोन पर इंटरपोलिंग के लिए
ब्रह्मगुप्त का प्रक्षेप सूत्र
फ्रैक्टल कम्प्रेशन#फ्रैक्टल इंटरपोलेशन
आरोप (आंकड़े)
लैग्रेंज बहुपद
लापता आँकड़े
न्यूटन-कोट्स सूत्र
रेडियल आधार फ़ंक्शन इंटरपोलेशन
सरल तर्कसंगत सन्निकटन

संदर्भ

↑ Sheppard, William Fleetwood (1911). "Interpolation" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica (in English). Vol. 14 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 706–710.
↑ Steffensen, J. F. (2006). प्रक्षेप (Second ed.). Mineola, N.Y. ISBN 978-0-486-15483-1. OCLC 867770894.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
↑ Kress, Rainer (1998). संख्यात्मक विश्लेषण. ISBN 9781461205999.
↑ Pletzer, Alexander; Hayek, Wolfgang (2019-01-01). "अराकावा सी/डी ग्रिड पर वेक्टर फ़ील्ड्स का मिमिक इंटरपोलेशन". Monthly Weather Review (in English). 147 (1): 3–16. doi:10.1175/MWR-D-18-0146.1. ISSN 1520-0493.
↑ Stern, Ari; Tong, Yiying; Desbrun, Mathieu; Marsden, Jerrold E. (2015), Chang, Dong Eui; Holm, Darryl D.; Patrick, George; Ratiu, Tudor (eds.), "Geometric Computational Electrodynamics with Variational Integrators and Discrete Differential Forms", Geometry, Mechanics, and Dynamics, New York, NY: Springer New York, vol. 73, pp. 437–475, doi:10.1007/978-1-4939-2441-7_19, ISBN 978-1-4939-2440-0, retrieved 2022-06-15
↑ Jones, Philip. "गोलाकार निर्देशांक में ग्रिड के लिए प्रथम और द्वितीय-क्रम कंजर्वेटिव रीमैपिंग योजनाएं". Monthly Weather Review. 127 (9): 2204–2210.
↑ Hall, Charles A.; Meyer, Weston W. (1976). "घन तख़्ता प्रक्षेप के लिए इष्टतम त्रुटि सीमा". Journal of Approximation Theory. 16 (2): 105–122. doi:10.1016/0021-9045(76)90040-X.
↑ Whitney, Hassler (1957). ज्यामितीय एकीकरण सिद्धांत. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486445830.
↑ Pletzer, Alexander; Fillmore, David. "विभेदक रूपों का उपयोग करते हुए n आयामी संरचित ग्रिड पर किनारे और चेहरे के डेटा का रूढ़िवादी प्रक्षेप". Journal of Computational Physics. 302: 21–40 – via ScienceDirect.
↑ R.E. Crochiere and L.R. Rabiner. (1983). Multirate Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall.
↑ Colin Bennett, Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press 1988

बाहरी संबंध

Online tools for linear, quadratic, cubic spline, and polynomial interpolation with visualisation and JavaScript source code.
Sol Tutorials - Interpolation Tricks
Compactly Supported Cubic B-Spline interpolation in Boost.Math
Barycentric rational interpolation in Boost.Math
Interpolation via the Chebyshev transform in Boost.Math

[1] Sheppard, William Fleetwood (1911). "Interpolation" . In Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica (in English). Vol. 14 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 706–710.

[2] Steffensen, J. F. (2006). प्रक्षेप (Second ed.). Mineola, N.Y. ISBN 978-0-486-15483-1. OCLC 867770894.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[3] Kress, Rainer (1998). संख्यात्मक विश्लेषण. ISBN 9781461205999.

[4] Pletzer, Alexander; Hayek, Wolfgang (2019-01-01). "अराकावा सी/डी ग्रिड पर वेक्टर फ़ील्ड्स का मिमिक इंटरपोलेशन". Monthly Weather Review (in English). 147 (1): 3–16. doi:10.1175/MWR-D-18-0146.1. ISSN 1520-0493.

[5] Stern, Ari; Tong, Yiying; Desbrun, Mathieu; Marsden, Jerrold E. (2015), Chang, Dong Eui; Holm, Darryl D.; Patrick, George; Ratiu, Tudor (eds.), "Geometric Computational Electrodynamics with Variational Integrators and Discrete Differential Forms", Geometry, Mechanics, and Dynamics, New York, NY: Springer New York, vol. 73, pp. 437–475, doi:10.1007/978-1-4939-2441-7_19, ISBN 978-1-4939-2440-0, retrieved 2022-06-15

[6] Jones, Philip. "गोलाकार निर्देशांक में ग्रिड के लिए प्रथम और द्वितीय-क्रम कंजर्वेटिव रीमैपिंग योजनाएं". Monthly Weather Review. 127 (9): 2204–2210.

[7] Hall, Charles A.; Meyer, Weston W. (1976). "घन तख़्ता प्रक्षेप के लिए इष्टतम त्रुटि सीमा". Journal of Approximation Theory. 16 (2): 105–122. doi:10.1016/0021-9045(76)90040-X.

[8] Whitney, Hassler (1957). ज्यामितीय एकीकरण सिद्धांत. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486445830.

[9] Pletzer, Alexander; Fillmore, David. "विभेदक रूपों का उपयोग करते हुए n आयामी संरचित ग्रिड पर किनारे और चेहरे के डेटा का रूढ़िवादी प्रक्षेप". Journal of Computational Physics. 302: 21–40 – via ScienceDirect.

[10] R.E. Crochiere and L.R. Rabiner. (1983). Multirate Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall.

[11] Colin Bennett, Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press 1988

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