प्राचलिक सतह

एक प्राचलिक सतह यूक्लिडियन समष्टि में एक सतह (गणित) है $\mathbb {R} ^{3}$ जिसे दो मापदंडों के साथ एक प्राचलिक समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है $\mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$. प्राचलिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ अंतर्निहित अभ्यावेदन को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है। वेक्टर कलन , स्टोक्स प्रमेय और विचलन प्रमेय के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक प्राचलिक रूप में दिया जाता है। सतह पर वक्रता और घटता की चाप लंबाई, सतह क्षेत्र , विभेदक ज्यामितीय निश्चर कापहला मौलिक रूप और दूसरा मौलिक रूप , गाऊसी वक्रता , माध्य वक्रता , और प्रमुख वक्रता सभी की गणना किसी दिए गए प्राचलीकरण से की जा सकती है।

उदाहरण

टोरस्र्स , समीकरणों के साथ बनाया गया: x = r sin v; y = (R + r cos v) sin u; z = (R + r cos v) cos u.

एक ट्रेफिल गाँठ बनाने वाली पैरामीट्रिक सतह, संलग्न स्रोत कोड में समीकरण विवरण।

* सबसे सरल प्रकार की प्राचलिक सतहों को दो चर के कार्यों के आरेख द्वारा दिया जाता है:

$$z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).$$

• एक परिमेय सतह एक ऐसी सतह है जो एक परिमेय फलन द्वारा प्राचलीकरण को स्वीकार करती है। एक परिमेय सतह एक बीजीय सतह है। एक बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना प्रायः आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत प्राचलीकरण की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
• [1] परिभ्रमण की सतह सतहों का एक और महत्वपूर्ण वर्ग देती है जिसे आसानी से प्राचलीकरण किया जा सकता है। अगर ग्राफ z = f(x), a ≤ x ≤ b z-अक्ष के तकरीबन घुमाया जाता है तो परिणामी सतह में एक प्राचलीकरण होता है
  $$\mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi .$$
  इसे पैरामिट्रीकृत भी किया जा सकता है
  $$\mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,$$
  दिखा रहा है कि, अगर कार्यात्मक f तर्कसंगत है, तो सतह तर्कसंगत है।
• x-अक्ष के परितः R त्रिज्या के सीधे वृत्तीय बेलनाकार (ज्यामिति) में निम्नलिखित पैरामीट्रिक निरूपण है:
  $$\mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).$$
• गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके, इकाई वृत्त को निम्न के द्वारा पैरामिट्रीकृत किया जा सकता है
  $$\mathbf {r} (\theta ,\phi )=(\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ),\quad 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \phi \leq \pi .$$
  यह प्राचलीकरण उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर टूट जाता है जहां दिगंश कोण θ विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है। गोला एक तर्कसंगत सतह है।

एक ही सतह कई अलग-अलग प्राचलीकरण स्वीकार करती है। उदाहरण के लिए, समन्वय z-समतल को पैरामिट्रीकृत किया जा सकता है

$$\mathbf {r} (u,v)=(au+bv,cu+dv,0)$$

िरांक a, b, c, d के लिए ऐसा है कि ad − bc ≠ 0, यानी मैट्रिक्स ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ उलटा मैट्रिक्स है।

स्थानीय अंतर ज्यामिति

एक पैरामीट्रिक सतह के स्थानीय आकार का विश्लेषण उस फ़ंक्शन के टेलर विस्तार पर विचार करके किया जा सकता है जो इसे पैरामीट्रिज़ करता है। अभिन्न का उपयोग करके सतह और सतह क्षेत्र पर एक वक्र की चाप की लंबाई पाई जा सकती है।

संकेतन

मान लें कि पैरामीट्रिक सतह समीकरण द्वारा दी गई है

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),$$

कहाँ पे $\mathbf {r}$ पैरामीटर (यू, वी) का एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है और पैरामीटर पैरामीट्रिक यूवी-प्लेन में एक निश्चित डोमेन डी के भीतर भिन्न होता है। मापदंडों के संबंध में पहला आंशिक डेरिवेटिव आमतौर पर निरूपित किया जाता है ${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}$ तथा $\mathbf {r} _{v},$ और इसी तरह उच्च डेरिवेटिव के लिए, ${\mathbf{r}}_{uu}$