बलोच का प्रमेय

This article is about क्वांटम यांत्रिकी में एक प्रमेय. For सम्मिश्र विश्लेषण में प्रयुक्त प्रमेय, see बलोच का प्रमेय (सम्मिश्र वेरिएबल).

सिलिकॉन जालक में बलोच अवस्था के वर्ग मापांक की आइसोसतह

ठोस रेखा: आयाम में विशिष्ट बलोच अवस्था के वास्तविक भाग का योजनाबद्ध। बिंदीदार रेखा कारक से है e^ik·r. प्रकाश वृत्त परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संघनित पदार्थ भौतिकी में, बलोच के प्रमेय में कहा गया है कि आवधिक क्षमता में श्रोडिंगर समीकरण या समय-स्वतंत्र समीकरण या श्रोडिंगर समीकरण के समाधान आवधिक कार्य द्वारा संशोधित समतल तरंग का रूप लेते हैं। प्रमेय का नाम भौतिक विज्ञानी फ़ेलिक्स बलोच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1929 में प्रमेय की खोज की थी। गणितीय रूप से, वह लिखे गए हैं

Bloch function

$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )$

जहां $\mathbf {r}$ स्थिति है, $\psi$ तरंग कार्य है, $u$ क्रिस्टल के समान आवधिकता वाला आवधिक कार्य है, तरंग सदिश $\mathbf {k}$ क्रिस्टल गति सदिश है, e यूलर की संख्या है, और $i$ काल्पनिक इकाई है.

इस रूप के कार्यों को बलोच कार्यों या बलोच अवस्थाओं के रूप में जाना जाता है, और क्रिस्टलीय ठोस पदार्थों में तरंग कार्यों या इलेक्ट्रॉनों की अवस्थाओं के लिए उपयुक्त आधार के रूप में कार्य करते हैं।

स्विस भौतिक विज्ञानी फेलिक्स बलोच के नाम पर, बलोच कार्यों के संदर्भ में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन, जिसे बलोच इलेक्ट्रॉन (या कम अधिकांशत: बलोच तरंगें) कहा जाता है, इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचनाओं की अवधारणा को रेखांकित करता है।

इन आइजनस्टेट्स को उपस्क्रिप्ट के साथ $\psi _{n\mathbf {k} }$ के रूप में लिखा गया है, जहां $n$ भिन्न सूचकांक है, जिसे बैंड इंडेक्स कहा जाता है, जो उपस्थित है क्योंकि ही $\mathbf {k}$ के साथ अनेक भिन्न -भिन्न तरंग कार्य हैं (प्रत्येक का भिन्न आवधिक घटक $u$ है) . बैंड के अंदर (अथार्त , निश्चित $n$ $\psi _{n\mathbf {k} }$के लिए $\mathbf {k}$ के साथ निरंतर परिवर्तन होता है, जैसा कि इसकी ऊर्जा में होता है। इसके अतिरिक्त , $\psi _{n\mathbf {k} }$ केवल निरंतर पारस्परिक जालक सदिश $\mathbf {K}$, या, $\psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}$ तक अद्वितीय है। इसलिए, तरंग सदिश $\mathbf {k}$ को व्यापकता के हानि के बिना पारस्परिक जालक के पहले ब्रिलोइन क्षेत्र तक सीमित किया जा सकता है।

अनुप्रयोग और परिणाम

प्रयोज्यता

बलोच के प्रमेय का सबसे समान्य उदाहरण क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करना है, विशेष रूप से क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉनिक गुणों, जैसे इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना को चिह्नित करने में है चूँकि, बलोच-वेव विवरण समान्य रूप से किसी आवधिक माध्यम में किसी भी तरंग जैसी घटना पर उपस्थित होता है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व में आवधिक परावैद्युत संरचना फोटोनिक क्रिस्टल की ओर ले जाती है, और आवधिक ध्वनिक माध्यम ध्वन्यात्मक क्रिस्टल की ओर ले जाती है। इसका व्यवहार समान्यत: विवर्तन के गतिशील सिद्धांत के विभिन्न रूपों में किया जाता है।

तरंग सदिश

बलोच वेव कार्य (नीचे) को आवधिक कार्य (शीर्ष) और प्लेन-वेव (केंद्र) के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है। बाईं ओर और दाईं ओर तरंग सदिश को सम्मिलित करते हुए दो भिन्न -भिन्न तरीकों से विभाजित ही बलोच स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं k₁ (बाएं) या k₂ (सही)। के अंतर (k₁ − k₂) व्युत्क्रम जालक सदिश है। सभी कथानकों में, नीला वास्तविक भाग है और लाल काल्पनिक भाग है।

मान लीजिए कि इलेक्ट्रॉन बलोच अवस्था में है

$$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$$

जहां u क्रिस्टल जालक के समान आवधिकता के साथ आवर्त है। इलेक्ट्रॉन की वास्तविक क्वांटम स्थिति पूरी तरह से $\psi$ द्वारा निर्धारित होती है, सीधे k या u से नहीं। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि k और u अद्वितीय नहीं हैं। विशेष रूप से, यदि $\psi$ को k का उपयोग करके उपरोक्त के रूप में लिखा जा सकता है, तो इसे (k + K) का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है, जहां K कोई व्युत्क्रम जालक सदिश है (दाईं ओर चित्र देखें)। इसलिए, तरंग सदिश जो पारस्परिक जालक सदिश से भिन्न होते हैं, समतुल्य होते हैं, इस अर्थ में कि वे बलोच अवस्थाओ के समान सेट की विशेषता रखते हैं।

पहला ब्रिलौइन ज़ोन इस गुण के साथ k के मानों का प्रतिबंधित सेट है कि उनमें से कोई भी दो समकक्ष नहीं हैं, फिर भी प्रत्येक संभावित k पहले ब्रिलौइन ज़ोन में (और केवल एक) सदिश के समान है। इसलिए, यदि हम k को पहले ब्रिलॉइन ज़ोन तक सीमित रखते हैं, तो प्रत्येक बलोच अवस्था में अद्वितीय k होता है। इसलिए, पहले ब्रिलोइन ज़ोन का उपयोग अधिकांशत: सभी बलोच अवस्थाओ को बिना अतिरेक के चित्रित करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए बैंड संरचना में, और इसका उपयोग अनेक गणनाओं में ही कारण से किया जाता है।

जब k को कम किए गए प्लैंक स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो यह इलेक्ट्रॉन के क्रिस्टल संवेग के समान हो जाता है। इससे संबंधित, इलेक्ट्रॉन के समूह वेग की गणना इस आधार पर की जा सकती है कि बलोच अवस्था की ऊर्जा k के साथ कैसे परिवर्तित करती है; अधिक जानकारी के लिए क्रिस्टल मोमेंटम देखें।

विस्तृत उदाहरण

विस्तृत उदाहरण के लिए जिसमें बलोच के प्रमेय के परिणामों पर विशिष्ट स्थिति में काम किया जाता है, लेख एक-आयामी जालक (आवधिक क्षमता) में कण देखें।

प्रमेय

बलोच का प्रमेय इस प्रकार है:

आदर्श क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के लिए, निम्नलिखित दो गुणों के साथ तरंग कार्यों का आधार (रैखिक बीजगणित) होता है:

• इनमें से प्रत्येक तरंग कार्य ऊर्जा आइजेनस्टेट है,
• इनमें से प्रत्येक तरंग कार्य बलोच अवस्था है, जिसका अर्थ है कि इस तरंग कार्य को $\psi$ के रूप में लिखा जा सकता है
  $$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$$
  जहाँ u(r) में क्रिस्टल की परमाणु संरचना के समान ही आवधिकता होती है, जैसे कि
  $$u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).$$

प्रमाण

जालक आवधिकता का उपयोग करना

प्रारंभिक: क्रिस्टल समरूपता, जालक , और पारस्परिक जालक

क्रिस्टल की परिभाषित गुण ट्रांसलेशनल समरूपता है, जिसका अर्थ है कि यदि क्रिस्टल को उचित मात्रा में स्थानांतरित किया जाता है, तो यह अपने सभी परमाणुओं के साथ ही स्थान पर समाप्त हो जाता है। ( परिमित आकार के क्रिस्टल में पूर्ण अनुवादात्मक समरूपता नहीं हो सकती है, किंतु यह उपयोगी सन्निकटन है।)

त्रि-आयामी क्रिस्टल में तीन प्राचीन जालक सदिश a₁, a₂, a₃ होते हैं . यदि क्रिस्टल को इन तीन सदिशो में से किसी एक, या उनके रूप के संयोजन द्वारा स्थानांतरित किया जाता है

$$n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},$$

जहाँ n_i तीन पूर्णांक हैं, तो परमाणु उन्हीं स्थानों के समूह में समाप्त हो जाते हैं जहां से वे प्रारंभ हुए थे।

प्रमाण में अन्य सहायक घटक पारस्परिक जालक सदिश है। ये तीन सदिश b₁, b₂, b₃ (व्युत्क्रम लंबाई की इकाइयों के साथ) हैं, इस गुण के साथ कि a_i · b_i = 2π, लेकिन a_i · b_j = 0 जब ii ≠ j। (b_i के सूत्र के लिए, पारस्परिक जालक सदिश देखें।)

अनुवाद ऑपरेटरों के बारे में लेम्मा\

माना ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ अनुवाद ऑपरेटर को दर्शाता है जो प्रत्येक तरंग कार्य को n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃ की मात्रा से परिवर्तित करता है (जैसा कि ऊपर है, n_j पूर्णांक हैं)। निम्नलिखित तथ्य बलोच प्रमेय के प्रमाण के लिए सहायक है:

Lemma — यदि एक वेव फ़ंक्शन ψ सभी अनुवाद ऑपरेटरों (एक साथ) का एक eigenstate है, तो ψ एक बलोच अवस्था है।

Proof of Lemma

Assume that we have a wave function ψ which is an eigenstate of all the translation operators. As a special case of this,

$$\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )$$

for j = 1, 2, 3, where C_j are three numbers (the eigenvalues) which do not depend on r. It is helpful to write the numbers C_j in a different form, by choosing three numbers θ₁, θ₂, θ₃ with e^2πiθ_j = C_j:

$$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$