परिमेय संख्या

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परिमेय संख्याओं के समुच्चय का प्रतीक

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परिमेय संख्याएं ($\mathbb {Q}$) वास्तविक संख्याओं में शामिल हैं ($\mathbb {R}$), जबकि स्वयं पूर्णांकों सहित ($\mathbb {Z}$), जिसमें बदले में प्राकृतिक संख्या एँ शामिल हैं ($\mathbb {N}$)

गणित में, परिमेयसंख्या एक संख्या है जिसे भागफल या भिन्न (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है p/q दो पूर्णांक ों का, एक अंश p और एक गैर-शून्य भाजक q. उदाहरण के लिए, −3/7 एक परिमेय संख्या है, जैसा कि प्रत्येक पूर्णांक है (उदा. 5 = 5/1). सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय (गणित), जिसे परिमेय भी कहा जाता है, तर्क का क्षेत्र या परिमेय संख्याओं के क्षेत्र को आमतौर पर बोल्डफेस द्वारा दर्शाया जाता है Q, याब्लैकबोर्ड बोल्ड $\mathbb {Q} .$

परिमेय संख्या एकवास्तविक संख्या होती है। वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय होती हैं वे हैं जिनका दशमलव प्रसार या तो संख्यात्मक अंक ों की एक सीमित संख्या के बाद समाप्त होता है (उदाहरण: 3/4 = 0.75), या अंततः दशमलव को अंकों के समान परिमित अनुक्रम को बार-बार दोहराना शुरू कर देता है (उदाहरण: 9/44 = 0.20454545...). यह कथन न केवलदशमलव में, बल्कि हर दूसरे पूर्णांक मूलांक में भी सत्य है, जैसे कि द्विआधारी अंक प्रणाली औरहेक्साडेसिमल वाले (देखें Repeating decimal § Extension to other bases)

एक वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं है,अपरिमेय संख्या कहलाती है। अपरिमेय संख्याओं में शामिल हैं √2, π, e, तथा φ. चूँकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं का समुच्चयबेशुमार समुच्चय है,लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं।

परिमेय संख्याओं को q ≠ 0 के साथ पूर्णांकों (p, q) के युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में औपचारिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है, तुल्यता संबंध को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\left(p_{1},q_{1}\right)\sim \left(p_{2},q_{2}\right)\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.$

अंश p/q वर्ग(पी, क्यू) को दर्शाता है.

परिमेय संख्याएं जोड़ और गुणा के साथ मिलकर एक फ़ील्ड (गणित) बनाती हैं जिसमें पूर्णांक होते हैं, और पूर्णांक वाले किसी भी क्षेत्र में समाहित होते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र एक अभाज्य क्षेत्र होता है, और एक क्षेत्र में विशेषता शून्य होती है यदि और केवल यदि इसमें उपक्षेत्र के रूप में परिमेय संख्याएँ हों। का परिमित क्षेत्र विस्तार Q बीजगणितीय संख्या क्षेत्र कहलाते हैं, और का बीजगणितीय समापन Q बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है।गणितीय विश्लेषण में, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक सघन समुच्चय बनाती हैं। कॉची अनुक्रम ों, डेडेकाइंड कट, या अनंत दशमलव ( वास्तविक संख्याओं का निर्माण देखें) का उपयोग करके, वास्तविक संख्याओं को पूर्णता (मीट्रिक स्पेस) से बनाया जा सकता है।

शब्दावली

सेट Q के संदर्भ में परिमेय शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि एक परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात का प्रतिनिधित्व करती है। गणित में, परिमेय का प्रयोग अक्सर परिमेय संख्या को संक्षिप्त करने वाली संज्ञा के रूप में किया जाता है। विशेषण परिमेय का कभी-कभी अर्थ होता है कि गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, एक परिमेय बिंदु परिमेय निर्देशांक वाला एक बिंदु है (अर्थात, एक ऐसा बिंदु जिसके निर्देशांक परिमेय संख्याएं हैं); एक परिमेय मैट्रिक्स परिमेय संख्याओं का एक मैट्रिक्स (गणित) है; एक तर्कसंगत बहुपद तर्कसंगत गुणांक के साथ बहुपद हो सकता है, हालांकि तर्कसंगत अंश और तर्कसंगत कार्य के बीच भ्रम से बचने के लिए तर्कसंगत पर बहुपद शब्द को आम तौर पर पसंद किया जाता है (बहुपद एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति है और एक तर्कसंगत कार्य को परिभाषित करता है, भले ही इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ नहीं हैं)। हालाँकि, एक परिमेय वक्र परिमेय पर परिभाषित वक्र नहीं है, बल्कि एक वक्र है जिसे परिमेय कार्यों द्वारा पैरामीटर किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

यद्यपि आजकल परिमेय संख्याओं को अनुपातों के रूप में परिभाषित किया जाता है, परिमेय शब्द अनुपात की रूपात्मक व्युत्पत्ति नहीं है। इसके विपरीत, यह अनुपात है जो तर्कसंगत से प्राप्त होता है: इसके आधुनिक अर्थ के साथ अनुपात का पहला प्रयोगअंग्रेजी में लगभग 1660 में प्रमाणित किया गया था, जबकि क्वालिफाइंग नंबरों के लिए परिमेय का उपयोग लगभग एक सदी पहले, 1570 में हुआ था। परिमेय का यह अर्थ अपरिमेय के गणितीय अर्थ से आया है, जिसे पहली बार 1551 में उपयोग किया गया था, और इसका उपयोग यूक्लिड के अनुवादों में किया गया था (उनके विचित्र उपयोग के बाद ἄλογος) . यह असामान्य इतिहास इस तथ्य से उत्पन्न हुआ है किग्रीक गणित ने खुद को उन [तर्कहीन] लंबाई को संख्याओं के रूप में सोचने से मना कर विधर्म से परहेज किया। तो ऐसी लंबाई तर्कहीन थी, अतार्किक के अर्थ में, जिसके बारे में बात नहीं की जानी चाहिए ( ग्रीक में ἄλογος )। यह व्युत्पत्ति काल्पनिक संख्या और वास्तविक संख्या के समान है।

अंकगणित

See also: Fraction (mathematics) § Arithmetic with fractions

अपरिवर्तनीय अंश

प्रत्येक परिमेय संख्या को अपरिमेय भिन्न के रूप में अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है a/b, जहां पे a तथा b सहअभाज्य पूर्णांक हैं और b > 0 हैं. इसे बहुधा परिमेय संख्या का विहित रूप कहा जाता है।

एक परिमेय संख्या a/b से शुरू, इसका विहित रूप a और b को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, और यदि b < 0 है तो परिणामी अंश और भाजक के चिह्न को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है।

पूर्णांकों का अंत:स्थापन

किसी भी पूर्णांक n को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है n/1, जो एक परिमेय संख्या के रूप में इसका विहित रूप है।

समानता

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ यदि और केवल यदि $ad=bc$

यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं, तो:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ यदि और केवल यदि $a=c$ तथा $b=d$

आदेश देना

यदि दोनों भाजक धनात्मक हैं (विशेषकर यदि दोनों अंश भिन्न विहित रूप में हैं):

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$ यदि और केवल यदि $ad<bc.$

दूसरी ओर, यदि कोई भी भाजक ऋणात्मक है, तो ऋणात्मक भाजक वाले प्रत्येक अंश को पहले उसके अंश और हर दोनों के चिह्नों को बदलकर एक सकारात्मक भाजक के साथ एक समतुल्य रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

जोड़

दो अंशों को इस प्रकार जोड़ा जाता है:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

यदि दोनों अंश विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में है यदि और केवल यदि b तथा d सहअभाज्य पूर्णांक हैं।

घटाव

${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.$

यदि दोनों अंश भिन्न विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में है यदि और केवल यदि b तथा d सहअभाज्य पूर्णांक हैं।

गुणन

गुणन का नियम है:

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.$

जहां परिणाम एक कम करने योग्य अंश हो सकता है - भले ही दोनों मूल अंश विहित रूप में हों।

उलटा

प्रत्येक परिमेय संख्या a/b एक योज्य प्रतिलोम है, जिसे अक्सर इसके विपरीत कहा जाता है,

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.$

यदि a/b विहित रूप में है, इसके विपरीत के लिए भी यही सच है।

एक शून्येतर परिमेय संख्या a/b का एक गुणनात्मक प्रतिलोम है, जिसे इसका व्युत्क्रम भी कहा जाता है,

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.$

यदि a/b विहित रूप में है, तो उसके व्युत्क्रम का विहित रूप या तो है b/a या −b/−a, a के चिह्न पर निर्भर करता है.