मिश्रित मॉडल

Not to be confused with मिश्रित नमूना.

मिश्रित मॉडल या मिश्रित त्रुटि-घटक मॉडल एक सांख्यिकीय मॉडल होता है जिसमें निश्चित प्रभाव और यादृच्छिक प्रभाव दोनों होते है। यह मॉडल भौतिक, जैविक और सामाजिक विज्ञान के विविध विषयों में उपयोगी होता है। वह उन सेटिंग्स में विशेष रूप से उपयोगी होते है जहां बार-बार माप डिजाइन एक ही सांख्यिकीय इकाइयों (अनुदैर्ध्य अध्ययन) पर किए जाते है, या जहां माप संबंधित सांख्यिकीय इकाइयों के समूहों पर किए जाते है। अनुपस्थित मूल्यों को मिश्रित प्रभाव मॉडल अधिकांशतः अधिक पारंपरिक दृष्टिकोण विश्लेषण पर प्राथमिकता दी जाती है।

यह पृष्ठ सामान्यीकृत रैखिक मिश्रित मॉडल या गैर-रेखीय मिश्रित-प्रभाव मॉडल के अतिरिक्त मुख्य रूप से रैखिक मिश्रित-प्रभाव मॉडल (एलएमईएम) पर तर्क करता है।

इतिहास और वर्तमान स्थिति

रोनाल्ड फिशर ने गुण मूल्यों के सहसंबंधों का अध्ययन करने के लिए यादृच्छिक प्रभाव मॉडल प्रस्तुत किया था। 1950 के दशक में, चार्ल्स रॉय हेंडरसन निश्चित प्रभाव अनुमानक का गॉस-मार्कोव प्रमेय और यादृच्छिक प्रभावों की सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष भविष्यवाणियाँ प्रदान की गईं थी। इसके बाद, मिश्रित मॉडल सांख्यिकीय अनुसंधान का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया था, जिसमें अधिकतम संभावना अनुमान, गैर-रेखीय मिश्रित प्रभाव मॉडल के बायेसियन सांख्यिकी अनुमान की गणना करना सम्मलित होता है। मिश्रित मॉडल कई विषयों में उपयुक्त किए जाते है जहां रुचि की प्रत्येक इकाई पर कई सहसंबद्ध माप किए जाते है। आनुवंशिकी से लेकर विपणन तक के क्षेत्रों में मानव और पशु विषयों से जुड़े अनुसंधान में इनका प्रमुखता से उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

आव्यूह संकेतन में एक रैखिक मिश्रित मॉडल को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

${\boldsymbol {y}}=X{\boldsymbol {\beta }}+Z{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\epsilon }}$

जहाँ

• ${\boldsymbol {y}}$ माध्य के साथ प्रेक्षणों का एक ज्ञात वेक्टर है $E({\boldsymbol {y}})=X{\boldsymbol {\beta }}$;
• ${\boldsymbol {\beta }}$ निश्चित प्रभावों का एक अज्ञात वेक्टर है;
• ${\boldsymbol {u}}$ माध्य के साथ यादृच्छिक प्रभावों का एक अज्ञात वेक्टर है $E({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}$ और विचरण-सहप्रसरण आव्यूह है $\operatorname {var} ({\boldsymbol {u}})=G$;
• ${\boldsymbol {\epsilon }}$ माध्य के साथ यादृच्छिक त्रुटियों का एक अज्ञात वेक्टर है $E({\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}$ और विचरण है $\operatorname {var} ({\boldsymbol {\epsilon }})=R$;
• $X$ और $Z$ अवलोकनों से संबंधित डिज़ाइन आव्यूह ${\boldsymbol {y}}$ को ${\boldsymbol {\beta }}$