हैंकेल आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, हेंकेल आव्यूह (या उत्प्रेरक आव्यूह ), जिसका नाम हरमन हैंकेल के नाम पर रखा गया है, इस प्रकार से यह वर्ग आव्यूह है जिसमें बाएं से दाएं प्रत्येक आरोही तिरछा-विकर्ण स्थिर है, उदाहरण के लिए:

$$\qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.$$

अधिक सामान्यतः, हेंकेल आव्यूह कोई भी होता है $n\times n$ आव्यूह $A$ रूप का

$$A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&&\vdots \\a_{2}&&&&&\vdots \\\vdots &&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.$$

घटकों के संदर्भ में, यदि $i,j$ का तत्व $A$ से दर्शाया गया है $A_{ij}$, और मान रहा हूँ $i\leq j$, तो हमारे पास हैं $A_{i,j}=A_{i+k,j-k}$ सभी के लिए $k=0,...,j-i.$

गुण

• हैंकेल आव्यूह सममित आव्यूह है।
• होने देना $J_{n}$ हो $n\times n$ विनिमय आव्यूह . अगर $H$ है $m\times n$ हैंकेल आव्यूह , फिर $H=TJ_{n}$ कहाँ $T$ है $m\times n$ टोएप्लिट्ज़ आव्यूह ।
  • अगर $T$ तो, वास्तविक संख्या सममित है $H=TJ_{n}$ के समान eigenvalues ​​होंगे $T$ हस्ताक्षर करने तक.
• हिल्बर्ट आव्यूह हेंकेल आव्यूह का उदाहरण है।

हैंकेल ऑपरेटर

हिल्बर्ट स्थान पर हेंकेल ऑपरेटर (गणित) वह है जिसका आव्यूह ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में (संभवतः अनंत) हेंकेल आव्यूह है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, हैंकेल आव्यूह आव्यूह है जिसके एंटीडायगोनल्स के साथ स्थिर मान होते हैं, जिसका अर्थ है कि हैंकेल आव्यूह $A$ सभी पंक्तियों के लिए संतुष्ट होना चाहिए $i$ और कॉलम $j$, $(A_{i,j})_{i,j\geq 1}$. ध्यान दें कि प्रत्येक प्रविष्टि $A_{i,j}$ पर ही निर्भर करता है $i+j$.

माना कि संगत हेंकेल ऑपरेटर है $H_{\alpha }$. हैंकेल आव्यूह दिया गया है $A$, फिर संबंधित हैंकेल ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $H_{\alpha }(u)=Au$.

हम अक्सर हेंकेल ऑपरेटरों में रुचि रखते हैं