हैंकेल आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, हेंकेल मैट्रिक्स (या उत्प्रेरक मैट्रिक्स), जिसका नाम हरमन हैंकेल के नाम पर रखा गया है, वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें बाएं से दाएं प्रत्येक आरोही तिरछा-विकर्ण स्थिर है, उदाहरण के लिए:

$$\qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.$$

अधिक सामान्यतः, हेंकेल मैट्रिक्स कोई भी होता है $n\times n$ आव्यूह $A$ रूप का

$$A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&&\vdots \\a_{2}&&&&&\vdots \\\vdots &&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.$$

घटकों के संदर्भ में, यदि $i,j$ का तत्व $A$ से दर्शाया गया है $A_{ij}$, और मान रहा हूँ $i\leq j$, तो हमारे पास हैं $A_{i,j}=A_{i+k,j-k}$ सभी के लिए $k=0,...,j-i.$

गुण

• हैंकेल मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स है।
• होने देना $J_{n}$ हो $n\times n$ विनिमय मैट्रिक्स. अगर $H$ है $m\times n$ हैंकेल मैट्रिक्स, फिर $H=TJ_{n}$ कहाँ $T$ है $m\times n$ टोएप्लिट्ज़ मैट्रिक्स।
  • अगर $T$ तो, वास्तविक संख्या सममित है $H=TJ_{n}$ के समान eigenvalues ​​होंगे $T$ हस्ताक्षर करने तक.
• हिल्बर्ट मैट्रिक्स हेंकेल मैट्रिक्स का उदाहरण है।

हैंकेल ऑपरेटर

हिल्बर्ट स्थान पर हेंकेल ऑपरेटर (गणित) वह है जिसका मैट्रिक्स ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में (संभवतः अनंत) हेंकेल मैट्रिक्स है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, हैंकेल मैट्रिक्स मैट्रिक्स है जिसके एंटीडायगोनल्स के साथ स्थिर मान होते हैं, जिसका अर्थ है कि हैंकेल मैट्रिक्स $A$ सभी पंक्तियों के लिए संतुष्ट होना चाहिए $i$ और कॉलम $j$, $(A_{i,j})_{i,j\geq 1}$. ध्यान दें कि प्रत्येक प्रविष्टि $A_{i,j}$ पर ही निर्भर करता है $i+j$.

माना कि संगत हेंकेल ऑपरेटर है $H_{\alpha }$. हैंकेल मैट्रिक्स दिया गया है $A$, फिर संबंधित हैंकेल ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $H_{\alpha }(u)=Au$.

हम अक्सर हेंकेल ऑपरेटरों में रुचि रखते हैं $H_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2\left({\mathbb{Z}}^{+}\cup <!--\; \cup \; -->\{0\}\right)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2($