यूनिपोटेंसी

This article is about the algebraic term. For a biological cell having the capacity to develop into only one cell type, see Cell potency § Unipotency.

गणित में, एक वलय का एक अनिपोटेंट तत्व r (गणित) R एक ऐसा है कि r − 1 एक निलपोटेंट तत्व है; दूसरे शब्दों में, (r − 1)ⁿ कुछ n के लिए शून्य है।

विशेष रूप से, एक वर्ग मैट्रिक्स M एक 'यूनिपोटेंट मैट्रिक्स' है यदि और केवल यदि इसका अभिलक्षणिक बहुपद P(t) t − 1 की घात है। इस प्रकार एक यूनिपोटेंट मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​1 हैं।

'अर्ध-एकशक्तिशाली' शब्द का अर्थ है कि कुछ शक्ति एकशक्तिशाली है, उदाहरण के लिए eigenvalues ​​​​के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए जो एकता की सभी जड़ें हैं।

बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत में, एक समूह तत्व 'यूनीपोटेंट' होता है यदि यह एक निश्चित प्राकृतिक समूह प्रतिनिधित्व में यूनिपोटेंट रूप से कार्य करता है। एक 'यूनिपोटेंट एफाइन अलजेब्रिक ग्रुप' तब एक ऐसा समूह होता है जिसके सभी तत्व यूनिपोटेंट होते हैं।

परिभाषा

मैट्रिक्स के साथ परिभाषा

समूह पर विचार करें (गणित) $\mathbb {U} _{n}$ ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ|ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ $1$विकर्ण के अनुदिश है, इसलिए वे मैट्रिक्स (गणित) का समूह हैं

$\mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.$

फिर, एक एकशक्तिशाली समूह को कुछ लोगों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\mathbb {U} _{n}$. योजना (गणित) का उपयोग करके समूह $\mathbb {U} _{n}$ समूह योजना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)$

और एक एफ़िन समूह योजना अप्रभावी है यदि यह इस योजना की एक बंद समूह योजना है।

रिंग सिद्धांत के साथ परिभाषा

एक एफ़िन बीजगणितीय समूह का एक तत्व x एकसमान होता है जब उसका संबद्ध सही अनुवाद ऑपरेटर, r होता है_x, जी के एफ़िन कोऑर्डिनेट रिंग ए[जी] पर, ए[जी] के रैखिक मानचित्र के रिंग के एक तत्व के रूप में स्थानीय रूप से यूनिपोटेंट है। (स्थानीय रूप से यूनिपोटेंट का मतलब है कि ए [जी] के किसी भी परिमित-आयामी स्थिर उप-स्थान पर इसका प्रतिबंध सामान्य रिंग-सैद्धांतिक अर्थ में यूनिपोटेंट है।)

एक एफ़िन बीजगणितीय समूह को 'यूनिपोटेंट' कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व यूनिपोटेंट हैं। कोई भी एकरूपी बीजगणितीय समूह विकर्ण प्रविष्टियों 1 के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों के समूह के एक बंद उपसमूह के लिए समरूपी है, और उलटा (तर्क) ऐसा कोई भी उपसमूह एकरूपी है। विशेष रूप से कोई भी एकशक्तिशाली समूह एक शून्यशक्तिशाली समूह है, हालांकि इसका विपरीत सत्य नहीं है (प्रतिउदाहरण: जीएल के विकर्ण मैट्रिक्स)_n(क))।

उदाहरण के लिए, का मानक प्रतिनिधित्व $\mathbb {U} _{n}$ पर $k^{n}$ मानक आधार के साथ $e_{i}$ निश्चित वेक्टर है $e_{1}$.

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ परिभाषा

यदि एक यूनिपोटेंट समूह एक एफ़िन विविधता पर कार्य करता है, तो इसकी सभी कक्षाएँ बंद हो जाती हैं, और यदि यह एक परिमित-आयामी सदिश स्थल पर रैखिक रूप से कार्य करता है तो इसमें एक गैर-शून्य निश्चित वेक्टर होता है। वास्तव में, बाद वाली संपत्ति एकाधिकारहीन समूहों की विशेषता बताती है।विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि कोई गैर-तुच्छ अर्धसरल निरूपण नहीं हैं।

उदाहरण

यू_n

बेशक, मैट्रिक्स का समूह $\mathbb {U} _{n}$ अशक्तिशाली है. निचली केंद्रीय श्रृंखला का उपयोग करना

$\mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e$

कहाँ

$\mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]$ और $\mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]$

वहाँ संबद्ध एकाधिकार समूह हैं। उदाहरण के लिए, पर $n=4$, केंद्रीय श्रृंखला मैट्रिक्स समूह हैं

$\mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$, ${\mathbb{U}}_4^{(1)}=\{[\begin{array}{cccc}1& 0& \ast <!--\; \ast \; -->& \ast <!--\; \ast \; -->\\ 0& 1& 0& \ast <!--\; \ast \; -->\\ 0& 0& 1& \end{array}$