केन्द्रीयता

For सांख्यिकीय अवधारणा, see केंद्रीय टेन्डन्सी.

ग्राफ सिद्धांत और केंद्रीयता के नेटवर्क विश्लेषण सूचक ग्राफ के भीतर अपनी नेटवर्क स्थिति के अनुरूप नोड्स को संख्या या रैंकिंग के रूप में निर्दिष्ट करते हैं। जबकि अनुप्रयोगों में सोशल नेटवर्क में सबसे प्रभावशाली व्यक्तियों की पहचान करते है और इस प्रकार इंटरनेट या अर्बन नेटवर्क में प्रमुख मौलिक ढांचे के नोड्स, डिजीज के सुपर-स्प्रेडर्स और ब्रेन नेटवर्क के रूप में सम्मलित होते है। केंद्रीयता अवधारणाओं को सबसे पहले सोशल नेटवर्क विश्लेषण में विकसित किया गया था और केंद्रीयता को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई शब्द उनके समाजशास्त्र मूल को दर्शाते हैं।

केंद्रीयता सूचकांकों की परिभाषा और लक्षण वर्णन

केंद्रीयता सूचकांक इस प्रश्न का उत्तर हैं कि एक महत्वपूर्ण शीर्ष की विशेषता क्या है? इसका उत्तर ग्राफ़ के शीर्षों पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन के संदर्भ में दिया जाता है, जहां उत्पादन मान एक रैंकिंग प्रदान करने की उम्मीद कर रहे हैं, जो सबसे महत्वपूर्ण नोड्स की पहचान करती है।

वाइड शब्द के व्यापक अर्थ हैं, इसके परिणामस्वरूप केंद्रीयता की कई भिन्न -भिन्न परिभाषाएँ होती हैं। दो वर्गीकरण योजनाएं प्रस्तावित की गई हैं और इस प्रकार पूरे नेटवर्क में एक प्रकार के प्रवाह या स्थानांतरण के संबंध में महत्व की कल्पना की जा सकती है। इससे केंद्रीयताओं को प्रवाह के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है जिसे वे महत्वपूर्ण मानते हैं। जबकि महत्व को वैकल्पिक रूप से नेटवर्क की एकीकरण में भागीदारी के रूप में माना जाता है। यह केंद्रीयताओं को इस आधार पर वर्गीकृत करने की अनुमति देता है कि वे एकीकरण को कैसे मापते हैं। इन दोनों दृष्टिकोंण के माध्यम से भिन्न -भिन्न श्रेणी के संकेतकों को विभाजित किया जाता है। एक अन्य निष्कर्ष यह है कि एक केंद्रीयता जो एक श्रेणी के लिए उपयुक्त है, वह किसी अन्य श्रेणी पर प्रयुक्त होने पर अधिकांशतः गलत मान लिया जाता है।

केंद्रीयता के उपाय यद्यपि सभी नहीं होते हैं पर केंद्रीयता के उपायों में किसी दिये गये शीर्ष से गुजरने वाले किसी प्रकार के पथ (ग्राफ सिद्धांत) की संख्या को भी सम्मलित किया जा सकता है। जिसे वॉक भी कहा जाता है प्रासंगिक वॉक को कैसे परिभाषित और प्रभावी ढंग से गिना जाता है, इसके उपाय भिन्न -भिन्न हैं। इस समूह पर विचार को सीमित करने से टैक्सोनॉमी की अनुमति मिलती है जो एक स्पेक्ट्रम पर कई केंद्रीयताओं को रखती है, जो कि एक डिग्री की केंद्रीयता की लंबाई से लेकर अनंत वॉक की अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता तक होता है। अन्य केंद्रीयता उपाय, जैसे मध्यनेस की केंद्रीयता न केवल समग्र कनेक्टिविटी पर ध्यान केंद्रित करती है, बल्कि उन स्थितियों पर ध्यान केंद्रित करती है, जो नेटवर्क की कनेक्टिविटी के लिए महत्वपूर्ण होते हैं।

नेटवर्क प्रवाह द्वारा विशेषता

नेटवर्क को पथ का विवरण माना जा सकता है जिनके साथ कुछ प्रवाह होता है। यह प्रवाह के प्रकार और केंद्रीयता द्वारा एन्कोड किए गए पथ प्रकार के आधार पर लक्षण वर्णन की अनुमति देता है और इस प्रकार प्रवाह स्थानांतरण पर आधारित हो सकता है, जहां प्रत्येक अविभाज्य वस्तु एक नोड से दूसरे नोड में जाती है, जैसे पैकेज डिलीवरी साइट से ग्राहक के घर तक जाती है। दूसरी स्थिति क्रमिक दोहराव के रूप में होती है, जिसमें एक आइटम को दोहराया जाता है जिससे कि स्रोत और लक्ष्य दोनों के पास वह हो सकती है। इसका एक उदाहरण गॉसिप के माध्यम से सूचना का प्रसार किया जाता है, जिसमें सूचना को निजी तरीके से प्रचारित किया जाता है और प्रक्रिया के अंत में स्रोत और लक्ष्य नोड्स दोनों को सूचित किया जाता है। अंतिम विषय समानांतर दोहराव के रूप में होता है, जिसमें आइटम को एक ही समय में कई लिंक पर डुप्लिकेट किया जाता है, जैसे एक रेडियो प्रसारण जो एक ही समय में कई श्रोताओं को एक ही जानकारी प्रदान करता है।

इसी तरह, पथ के प्रकार को दूरी (ग्राफ़ सिद्धांत) के सबसे छोटे पथ पर बाध्य किया जा सकता है इससे अधिक बार किसी भी शीर्ष पर एक से अधिक बार निरीक्षण नहीं किया जा सकता है और इस प्रकार ग्राफ़ सिद्धांत के शब्दों की शब्दावली शीर्षों पर कई बार जाया जा सकता है, किसी भी किनारे को एक से अधिक बार पार नहीं किया जाता है या ग्राफ़ सिद्धांत शब्दों की शब्दावली वॉक शीर्षों और किनारों पर अनेक बार देखा और पार किया जा सकता है।

वॉक संरचना द्वारा लक्षण वर्णन

वैकल्पिक वर्गीकरण इस बात से प्राप्त किया जा सकता है कि केंद्रीयता का निर्माण कैसे किया जाता है। यह पुनः दो वर्गों में विभाजित हो जाता है। केन्द्रीयताएँ या तो रेडियल या औसत दर्जे की होती हैं। रेडियल केन्द्रीयताएँ उन वॉक की गिनती करती हैं जो दिए गए शीर्ष से शुरू या समाप्ति होती हैं। डिग्री केंद्रीयता और अभिलक्षणिक मान केंद्रीयताएं रेडियल केंद्रीयता के उदाहरण हैं और इस प्रकार रेडियल केंद्रीयताएं लंबाई अनन्तता क्षेत्र की संख्या की गणना मध्यवर्ती केंद्रता में दूरी की गणना होती है। जो दिए गए शीर्ष से होकर गुजरती हैं। इसका कैनोनिकल उदाहरण है और इस प्रकार फ्रीमैन की मध्यवर्ती केंद्रीयता है और दिए गए शीर्ष से गुजरने वाले सबसे छोटे रास्तों की संख्या के रूप में होता है।

इसी तरह, गिनती या तो वॉक की मात्रा या लंबाई को कैप्चर कर सकती है। वॉल्यूम दिए गए प्रकार के वॉक की कुल संख्या होती है। पिछले पैराग्राफ के तीन उदाहरण इस श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार लंबाई ग्राफ़ में दिए गए शीर्ष से शेष शीर्ष तक की दूरी को दर्शाती है। जिससे निकटता केंद्रीयता किसी दिए गए शीर्ष से अन्य सभी शीर्षों तक की कुल भूभौतिकी दूरी का सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण है। ध्यान दें कि यह वर्गीकरण गिने जाने वाले वॉक के प्रकार से स्वतंत्र है अर्थात वॉक, ट्रेल, पगडंडी, पथ, जियोडेसिक के रूप में होते है।

बोर्गट्टी और एवरेट का प्रस्ताव है कि यह टाइपोलॉजी केंद्रीयता उपायों की तुलना करने के सर्वोत्तम तरीके के बारे में अंतर्दृष्टि प्रदान करती है। इस 2×2 वर्गीकरण में एक ही बॉक्स में रखी गई केन्द्रीयताएँ प्रशंसनीय विकल्प बनाने के लिए पर्याप्त समान हैं और इस प्रकार कोई भी उचित रूप से तुलना कर सकता है कि किसी दिए गए एप्लिकेशन के लिए कौन सा अच्छा है। चूंकि, विभिन्न बक्सों के माप स्पष्ट रूप से भिन्न होते हैं। जबकि सापेक्ष फिटनेस का कोई भी मूल्यांकन केवल पूर्व निर्धारित करने के संदर्भ में हो सकता है कि कौन सी श्रेणी अधिक प्रयुक्त है, जिससे तुलना विवादास्पद रूप में हो सकती है।

रेडियल-वॉल्यूम केंद्रीयताएं स्पेक्ट्रम पर मौजूद होती हैं

वॉक संरचना द्वारा कैरिक्टरिज़ेशन से पता चलता है कि व्यापक उपयोग में लगभग सभी केंद्रीयताएं रेडियल-वॉल्यूम माप के रूप में होती है। ये इस बिलीफ को कूटबद्ध करते हैं कि एक शीर्ष की केंद्रीयता उन शीर्षों की केंद्रीयता का एक कार्य है जिनके साथ यह जुड़ा हुआ होता है। केंद्रीयताएं खुद को भिन्न करती हैं कि एसोसिएशन कैसे परिभाषित किया जाता है।

बोनाकिच ने दिखाया कि यदि एसोसिएशन को ग्राफ सिद्धांत की शब्दावली वॉक के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, तो वॉक की लंबाई के आधार पर केंद्रीयताओं के एक फॅमिली को परिभाषित किया जा सकता है। डिग्री केंद्रीयता लंबाई वॉक को गिनती है, जबकि अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता लंबाई अनंत के वॉक को गिनती है और इस प्रकार संघ की वैकल्पिक परिभाषाएँ भी उचित हैं। अल्फ़ा केंद्रीयता शीर्षों को प्रभाव का बाहरी स्रोत रखने की अनुमति देती है। एस्ट्राडा की सबग्राफ केंद्रीयता केवल बंद रास्तों त्रिकोण वर्ग आदि की गिनती का प्रस्ताव करती है।

ऐसे उपायों का मूल अवलोकन यह है कि ग्राफ़ के आसन्न आव्यूह की घात उस घात द्वारा दी गई लंबाई के वॉक की संख्या देती हैं। इसी प्रकार आव्यूह घातांक भी किसी दी गई लंबाई के वॉक की संख्या से निकटता से संबंधित होते है और इस प्रकार आसन्न आव्यूह का प्रारंभिक परिवर्तन गणना किए गए वॉक के प्रकार की एक भिन्न परिभाषा की अनुमति देता है। किसी भी दृष्टिकोण के अनुसार किसी शीर्ष की केंद्रीयता को अनंत योग के रूप में व्यक्त किया जाता है

$\sum _{k=0}^{\infty }A_{R}^{k}\beta ^{k}$

आव्यूह घात या

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(A_{R}\beta )^{k}}{k!}}$

आव्यूह घातांक, जहां

• $k$ वॉक की लंबाई है,
• $A_{R}$ परिवर्तित आसन्नता आव्यूह है और
• $\beta$ डिस्कॉउंट पैरामीटर है, जो योग का कन्वर्जेन्स सुनिश्चित करता है।

बोनासिच मापन फॅमिली आसन्नता आव्यूह को परिवर्तित नहीं करता है। जबकि अल्फ़ा केंद्रीयता आसन्नता आव्यूह को उसके संकल्पात्मक औपचारिकता के साथ प्रतिस्थापित करती है। उपग्राफ केंद्रीयता आसन्न आव्यूह को उसके ट्रेस से बदल देती है। एक आश्चर्यजनक निष्कर्ष यह है कि आसन्न आव्यूह के प्रारंभिक रूपांतरण की परवाह किए बिना ऐसे सभी दृष्टिकोणों में सामान्य सीमित व्यवहार के रूप में होते है। जैसा $\beta$ शून्य के निकट सूचकांक डिग्री केंद्रीयता के रूप में परिवर्तित होते हैं। जैसा $\beta$ अपने अधिकतम मूल्य की ओर जाता है और इस प्रकार यह सूचकांक अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं।

खेल-सैद्धांतिक केंद्रीयता

उपरोक्त अधिकांश मानक उपायों की सामान्य विशेषता यह है कि वे इसका आकलन करते हैं केवल उस भूमिका पर ध्यान केंद्रित करके एक नोड का महत्व जो एक नोड स्वयं निभाता है। चूंकि , कई अनुप्रयोगों में तालमेल के कारण ऐसा दृष्टिकोण अपर्याप्त है यदि नोड्स की कार्यप्रणाली को समूहों में माना जाता है।

खेल-सैद्धांतिक केंद्रीयता का उदाहरणउदाहरण के लिए, किसी महामारी को रोकने की समस्या पर विचार करें। नेटवर्क की उपरोक्त छवि को देखते हुए, हमें किन नोड्स का टीकाकरण करना चाहिए? पहले वर्णित उपायों के आधार पर, हम उन नोड्स की पहचान करना चाहते हैं जो रोग फैलाने में सबसे महत्वपूर्ण हैं। केवल केंद्रीयताओं पर आधारित दृष्टिकोण, जो नोड्स की व्यक्तिगत विशेषताओं पर ध्यान केंद्रित करते हैं, अच्छा विचार नहीं हो सकता है। लाल वर्ग में नोड्स, व्यक्तिगत रूप से बीमारी को फैलने से नहीं रोक सकते हैं, लेकिन उन्हें एक समूह के रूप में विचार करने पर, हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि यदि नोड्स में बीमारी शुरू हो गई है तो वे बीमारी को रोक सकते हैं। $v_{1}$, $v_{4}$, और $v_{5}$. गेम-सैद्धांतिक केंद्रीयताएं गेम-थ्योरी के टूल का उपयोग करके वर्णित समस्याओं और अवसरों से परामर्श करने का प्रयास करती हैं। में प्रस्तावित दृष्टिकोण शैप्ले मान का उपयोग करता है। शेपली मूल्य गणना की समय-जटिलता कठोरता के कारण, इस डोमेन में अधिकांश प्रयास नए एल्गोरिदम और तरीकों को प्रयुक्त करने में प्रेरित होते हैं जो नेटवर्क की एक विशिष्ट टोपोलॉजी या समस्या के एक विशेष चरित्र पर निर्भर करते हैं। इस तरह के दृष्टिकोण से समय-जटिलता को घातांक से बहुपद तक कम करने में मदद मिल सकती है।

इसी प्रकार, समाधान अवधारणा प्राधिकरण वितरण () खिलाड़ियों के बीच द्विपक्षीय प्रत्यक्ष प्रभाव को मापने के लिए शेपली मूल्य के बजाय शेपली-शुबिक पावर इंडेक्स प्रयुक्त करता है। वितरण वास्तव में एक प्रकार की अभिलक्षणिक मान केंद्रीयता है। इसका उपयोग हू (2020) में बड़े डेटा ऑब्जेक्ट को सॉर्ट करने के लिए किया जाता है। जैसे कि अमेरिकी कॉलेजों की रैंकिंग।

महत्वपूर्ण सीमाएँ

केंद्रीयता सूचकांकों की दो महत्वपूर्ण सीमाएँ हैं, एक स्पष्ट और दूसरी सूक्ष्म। स्पष्ट सीमा यह है कि एक केंद्रीयता जो एक अनुप्रयोग के लिए इष्टतम है, अक्सर एक भिन्न अनुप्रयोग के लिए उप-इष्टतम होती है। दरअसल, अगर ऐसा नहीं होता, तो हमें इतनी सारी भिन्न -भिन्न केंद्रीयताओं की आवश्यकता नहीं होती। इस घटना का एक उदाहरण