हॉफ फिब्रेशन

File:Hopf Fibration.png

हॉपफ फ़िब्रेशन को S³ से R³ के स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण का उपयोग करके और फिर R³ को एक गेंद में संपीड़ित करके देखा जा सकता है। यह छवि S² और उनके संगत फाइबरों पर समान रंग के बिंदु दिखाती है।

युग्‍मानूसार रूप से जुड़े हुए कीरिंग्स हॉफ फ़िब्रेशन के भाग की नकल करते हैं।

अवकलन सांस्थिति के गणितीय क्षेत्र में, हॉपफ फ़िब्रेशन (जिसे हॉपफ बंडल या हॉपफ प्रतिचित्र के रूप में भी जाना जाता है) वृत्तों और एक साधारण गोले के संदर्भ में एक 3-गोले (चार-आयामी समष्टि में एक अति गोला) का वर्णन करता है।

1931 में हेंज हॉपफ द्वारा खोजा गया, यह फाइबर बंडल का एक प्रबल प्रारंभिक उदाहरण है। तकनीकी रूप से, होपफ ने 3-गोले से 2-गोले तक एक अनेक-से-एक सतत फलन (या "मानचित्र") पाया, जैसे कि 2-गोले के प्रत्येक विशिष्ट बिंदु को 3-गोले के एक अलग विशेष वृत्त से प्रतिचित्रित किया जाता है। (हॉपफ 1931)।

इस फाइबर बंडल संरचना को दर्शाया गया है

$S^{1}\hookrightarrow S^{3}\xrightarrow {\ p\,} S^{2},$

जिसका अर्थ है कि फाइबर समष्टि S¹ (एक वृत्त) कुल समष्टि S³ (3-गोले) में अंतःस्थापित है, और p: S³ → S² (हॉपफ का मानचित्र) S³ को आधार समष्‍टि S² (साधारण 2-गोले) पर प्रक्षिप्त करता है। हॉपफ फ़िब्रेशन, किसी भी फ़ाइबर बंडल के जैसा, यह महत्वपूर्ण गुण रखता है कि यह स्थानीय रूप से एक गुणन समष्‍टि है। हालाँकि, यह एक साधारण फाइबर बंडल नहीं है, यानी, S³ विश्व स्तर पर S² और S¹ का गुणनफल नहीं है |

इसके कई तात्पर्य हैं उदाहरण के लिए इस बंडल की स्थिति से पता चलता है कि गोले के उच्च होमोटॉपी समूह सामान्य रूप से लघु नहीं हैं| यह वृत्त समूह के साथ फाइबर की पहचान करके, एक प्रमुख बंडल का मूल उदाहरण भी प्रदान करता है।

हॉपफ फिब्रेशन का स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण R³ पर एक विशिष्ट संरचना उत्पन्न करता है जिसमें z-अक्ष के अलावा सभी 3-विमीय समष्टि, विलाआरसीयू वृत्तों को शृंखलन करने से बने नेस्टेड टोरी से भरे हुए हैं। यहाँ प्रत्येक फाइबर समष्टि में एक वृत्त की ओर प्रक्षेपित होता है (जिनमें से एक एक रेखा है, जिसे "अनंत के माध्यम से वृत्त" के रूप में माना जाता है)। प्रत्येक टोरस 2-गोले के अक्षांश के एक वृत्त के व्युत्क्रम प्रतिबिंब के स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण है। (सांस्थितिकी, एक टोरस दो वृत्तों का गुणनफल है।) ये टोरी दाईं ओर के प्रतिबिम्बों में चित्रित हैं। जब R³ को एक गेंद की सीमा तक संपीड़ित किया जाता है, तो कुछ ज्यामितीय संरचना लुप्त हो जाती है, हालांकि सांस्थितिकी संरचना पूर्ण बनी रहती है (सांस्थिति और ज्यामिति देखें)। लूप (पाश) वृत्तों के समरूप हैं, हालाँकि वे ज्यामितीय वृत्त नहीं हैं।

हॉफ फिब्रेशन के कई सामान्यीकरण हैं | इकाई गोलक सम्मिश्र निर्देशक समष्टि Cⁿ⁺¹ फाइबरों में स्वाभाविक रूप से सम्मिश्र प्रक्षेप्य समष्टि CPⁿ पर फाइबरों के रूप में वृत्तों के साथ होते हैं, और इन फाइबरों के वास्तविक, चतुर्धातुक और ऑक्टोनियोनिक संस्करण भी होते हैं। विशेष रूप से हॉपफ, हॉपफ फ़िब्रेशन चार फाइबर बंडलों के एक समूह से संबंधित है जिसमें कुल समष्टि, आधार समष्‍टि और फाइबर समष्‍टि सभी गोले हैं,

$S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},$

$S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},$

$S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},$

$S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.$

एडम्स प्रमेय के अनुसार ऐसे फ़िब्रेशन केवल इन आयामों में ही हो सकते हैं।

ट्विस्टर सिद्धांत में हॉफ फिब्रेशन महत्वपूर्ण है।

परिभाषा और निर्माण

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, एक n-विमीय गोले या n-गोले, को $(n+1)$-विमीय समष्टि में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो एक केंद्रीय बिंदु से एक निश्चित दूरी पर हैं। ठोसता के लिए, केंद्रीय बिंदु को मूल बिंदु माना जा सकता है, और इस मूल बिंदु से गोले के बिंदुओं की दूरी को एक इकाई लंबाई माना जा सकता है। इस कन्वेंशन के साथ, n-गोला, $S^{n}$, $\mathbb {R} ^{n+1}$ में _x1² + x₂² + ⋯+ x_{n + 1}² = 1 के साथ बिंदुओं $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$ से बना है।

उदाहरण के लिए, 3-गोले में R⁴ में x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = 1 के साथ बिंदु (x₁, x₂, x₃, x₄) सम्मिलित हैं।

2-गोले पर 3-गोले के हॉपफ फ़िब्रेशन p: S³ → S² को कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष निर्माण

R⁴ को C² से और R³ को C × R से पहचाने (जहाँ C सम्मिश्र संख्याओं को दर्शाता है) लिखकर:

$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4})$

और

$(x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})$.

इस प्रकार S³ को C² में सभी (z₀, z₁) के उपसमुच्चय के साथ पहचाना जाता है, जैसे कि |z₀|² + |z₁|² = 1 और S² को C×R में सभी (z, x) के उपसमुच्चय के साथ पहचाना जाता है, जैसे कि |z|² + x² = 1 | (यहां, एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy के लिए, |z|² = z z^∗ = x² + y², जहां स्टार (तारा) सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है।)

$p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).$

पहला घटक एक सम्मिश्र संख्या है, जबकि दूसरा घटक वास्तविक है। 3-गोले के किसी भी बिंदु में यह गुण होना चाहिए कि |z₀|² + |z₁|² = 1| यदि ऐसा है, तो p(z₀, z₁) C × R में इकाई 2-गोले पर स्थित है, जैसा कि p के सम्मिश्र और वास्तविक घटकों का वर्ग करके दिखाया जा सकता है

$2z_0{z}_1^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->2z_0^{\ast <!--\; \ast \; -->}{z}_1+{\left({\left|z_0\right|}^2-<!--\; -\; -->{\left|z_1\right|}^2\right)}^2=4{\left|z_0\right|}^2$