विनिमय आव्यूह

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, एक्सचेंज मैट्रिक्स (जिसे रिवर्सल मैट्रिक्स, बैकवर्ड आइडेंटिटी, या मानक अनैच्छिक क्रमपरिवर्तन भी कहा जाता है) क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के विशेष मामले हैं, जहां 1 तत्व मेन_डायगोनल # एंटीडायगोनल पर रहते हैं और अन्य सभी तत्व शून्य हैं। दूसरे शब्दों में, वे पहचान मैट्रिक्स के 'पंक्ति-उलट' या 'स्तंभ-उलट' संस्करण हैं।

$J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}};\quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}.$

परिभाषा

यदि J एक n × n एक्सचेंज मैट्रिक्स है, तो J के तत्व हैं

$$J_{i,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}$$

गुण

• एक एक्सचेंज मैट्रिक्स द्वारा एक मैट्रिक्स को पूर्वगुणित करने से पूर्व की पंक्तियों की स्थिति लंबवत रूप से फ़्लिप हो जाती है, अर्थात,

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}}.$

• एक एक्सचेंज मैट्रिक्स द्वारा एक मैट्रिक्स को पोस्टगुणित करने से पूर्व के कॉलम की स्थिति क्षैतिज रूप से फ़्लिप हो जाती है, अर्थात,

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2&1\\6&5&4\\9&8&7\end{pmatrix}}.$

• एक्सचेंज मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स हैं; यानी जे_n^टी = जे_n.
• किसी भी पूर्णांक k, J के लिए_n^k = I यदि k समता (गणित) और J है_n^क = जे_n यदि k समता (गणित) है। विशेष रूप से, जे_n एक अनैच्छिक मैट्रिक्स है; यानी जे_n⁻¹ = जे_n.
• जे का ट्रेस (रैखिक बीजगणित)।_n यदि n विषम है तो 1 है और यदि n सम है तो 0 है। दूसरे शब्दों में, जे का निशान_n के बराबर होती है $n{\bmod {2}}$.
• जे का निर्धारक_n के बराबर होती है $(-1)^{n(n-1)/2}$. n के एक फलन के रूप में, इसका आवर्त 4 है, जो 1, 1, −1, −1 देता है जब n क्रमशः 0, 1, 2, और 3 का मॉड्यूलर अंकगणित है।
• जे का अभिलक्षणिक बहुपद_n है $\det(\lambda I-J_{n})={\big (}(\lambda +1)(\lambda -1){\big )}^{n/2}$ जब n सम हो, और $(\lambda -1)^{(n+1)/2}(\lambda +1)^{(n-1)/2}$ जब n विषम हो.
• जे का सहायक मैट्रिक्स_n है $\mathrm{adj}<!--\; \; -->(J_n)=\mathrm{sgn}<!--\; \; -->({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_n){}_{}$