असंयुक्त संघ

This article is about the operation on sets. For the computer science meaning of the term, see Tagged union. For the operation on graphs, see disjoint union of graphs.

Not to be confused with Disjunctive union.

Disjoint union

Type	Set operation
Field	Set theory
Statement	The disjoint union $A\sqcup B$ of the sets A and B is the set formed from the elements of A and B labelled (indexed) with the name of the set from which they come. So, an element belonging to both A and B appears twice in the disjoint union, with two different labels.
Symbolic statement	$$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}$$

गणित में, समुच्चयों के एक परिवार का एक असंयुक्त संघ (या विभेदित संघ)। $(A_{i}:i\in I)$ एक सेट है $A,$ अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ प्रत्येक के एक इंजेक्शन समारोह के साथ $A_{i}$ में $A,$ जैसे कि इन इंजेक्शनों की छवि (गणित) एक विभाजन (सेट सिद्धांत) बनाती है $A$ (अर्थात, प्रत्येक तत्व $A$ बिल्कुल इन छवियों में से एक से संबंधित है)। जोड़ीवार असंयुक्त समुच्चयों के परिवार का असंयुक्त मिलन ही उनका संघ (सेट सिद्धांत) है।

श्रेणी सिद्धांत में, असंयुक्त संघ समुच्चयों की श्रेणी का सहउत्पाद है, और इस प्रकार एक आक्षेप तक परिभाषित किया गया है। इस संदर्भ में, संकेतन ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$ अक्सर प्रयोग किया जाता है.

दो समुच्चयों का असंयुक्त मिलन $A$ और $B$ इन्फिक्स संकेतन के साथ लिखा गया है $A\sqcup B$. कुछ लेखक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करते हैं $A\uplus B$ या $A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B$ (संबंधित के साथ ${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ या ${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$).

असंबद्ध संघ के निर्माण का एक मानक तरीका परिभाषित करना है $A$ क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में $(x,i)$ ऐसा है कि $x\in A_{i},$ और इंजेक्शन $A_{i}\to A$ जैसा $x\mapsto (x,i).$

उदाहरण

सेट पर विचार करें $A_{0}=\{5,6,7\}$ और $A_{1}=\{5,6\}.$ संबंधित सेट बनाकर सेट तत्वों को सेट मूल के अनुसार अनुक्रमित करना संभव है ${\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}$ जहां प्रत्येक जोड़ी में दूसरा तत्व मूल सेट की सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है (उदाहरण के लिए,)। $0$ में $(5,0)$ में सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है $A_{0},$ वगैरह।)। असंयुक्त संघ $A_{0}\sqcup A_{1}$ फिर इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$$A_0\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->A_1=A_0^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cup <!--\; \cup \; -->A_1^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}$$